Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1079703]: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đạo hàm với mọi

Lập bảng biến thiên:
 Hàm số đồng biến trên khoảng .
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 2 [1082918]: Cho tứ diện Đặt Gọi là trọng tâm của tam giác Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ diện với và là trọng tâm của tam giác
Gọi là trọng tâm của tam giác Khi đó, với mọi điểm bất kỳ ta có:

Chọn điểm gốc trùng với điểm ta được:


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 3 [1077727]: Hàm số gián đoạn tại điểm bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Tập xác định của hàm số là: nên hàm số gián đoạn tại điểm
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 4 [1079103]: Cho hàm số với Đạo hàm cấp hai của hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 5 [1038245]: Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ong cho kết quả như sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là: .
🔑 Chọn đáp án: . Đáp án: C
Câu 6 [1082690]: Trong hình học không gian
A, qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
B, qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
C, qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng.
D, qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét mệnh đề A: Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Mệnh đề sai vì nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng cùng đi qua ba điểm đó.
Xét mệnh đề B: Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Mệnh đề sai vì ba điểm phân biệt vẫn có thể thẳng hàng, khi đó không xác định duy nhất một mặt phẳng.
Xét mệnh đề C: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng.
Mệnh đề sai vì qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng chỉ xác định duy nhất một mặt phẳng.
Xét mệnh đề D: Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng.
Đây là tiên đề cơ bản của hình học không gian nên mệnh đề đúng.
🔑 Chọn đáp án: qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Đáp án: D
Câu 7 [1078125]: Giá trị của biểu thức là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Biểu thức



🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 8 [1025549]: An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường cùng Bình (như hình vẽ dưới đây và không có con đường nào khác)?
A, 24.
B, 10.
C, 16.
D, 36.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi
Số cách chọn đến nhà Cường cùng Bình của An là: (cách)
🔑 Chọn đáp án: 24. Đáp án: A
Câu 9 [1082922]: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh AB. Tích vô hướng bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ diện đều có các cạnh bằng là trung điểm của cạnh
Ta có là trung điểm của nên
Suy ra
Tương tự
Xét tích vô hướng:


Vì là tứ diện đều cạnh nên các cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một tạo với nhau góc
Do đó

Thay vào biểu thức trên:


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 10 [1081435]: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ có diện tích là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 11 [1080237]: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích của khối hộp được tạo thành là và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
A, 2 dm.
B,
C, 4 dm.
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích của khối hộp được tạo thành là và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi cạnh đáy hình vuông là thì chiều cao của khối hộp là
Diện tích toàn phần của khối hộp là:


Dấu bằng xảy ra khi
Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là 2dm.
🔑 Chọn đáp án: 2 dm. Đáp án: A
Câu 12 [1080042]: Cho đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Tập hợp giá trị của a là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đường thẳng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Tập xác định của hàm số là:


Tập hợp giá trị của a là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 13 [1077598]: Chọn kết quả đúng của
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 14 [324926]: Cho hình chóp có và , đáy là hình chữ nhật có Tính góc giữa và mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.

💡 Phương pháp:
Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của chúng, sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Dựng suy ra .
Do đó góc giữa hai mặt phẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và , tức là .
Xét tam giác vuông tại , gọi là đường cao.
Ta có:
.
Thay số ta được:
.
.
Suy ra:
.
.
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 15 [329097]: Cho hình nón có bán kính đáy bằng và chiều cao bằng Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp mô hình 5 theo mối liên hệ giữa chiều cao và bán kính đáy.
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo mô hình 5 ta có công thức:
.
Thay vào công thức trên ta được:
.
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 16 [1083054]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hình lăng trụ đứng có Góc giữa và bằng
A, 30°.
B, 45°.
C, 60°.
D, 90°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hình lăng trụ đứng có


Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là:

Xét tích vô hướng:


Suy ra góc giữa hai đường thẳng và bằng
🔑 Chọn đáp án: 90°. Đáp án: D
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [143804]: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức xác suất cổ điển dựa trên số cách chọn tổ hợp, kết hợp biến cố đối và công thức xác suất có điều kiện để xét từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xác suất chọn cả hai người đều là nữ là .
mệnh đề a) sai.
Xác suất chọn cả hai người đều là nam là .
xác suất để ít nhất một nữ được chọn là .
mệnh đề b) đúng.
Gọi là biến cố “cả hai nữ được chọn”, là biến cố “ít nhất một nữ được chọn”.
Ta có .
mệnh đề c) sai.
Gọi là biến cố “Hoa được chọn”.
Ta có .
Suy ra .
mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Câu 18 [1032370]: Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc khi gắn hệ trục tọa độ được mô phỏng ở hình 2. Biết đường chạy của nó có dạng đồ thị hàm số bậc ba ; tàu lượn xuất phát từ điểm đồng thời đi qua các điểm (như hình vẽ). Coi trục là mặt đất, đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng mét. Mệnh đề sau đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào đồ thị hàm số để xác định số nghiệm, lập biểu thức hàm đa thức bậc ba từ các nghiệm đã biết, sau đó sử dụng đạo hàm để xét cực trị của hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại điểm phân biệt .
mệnh đề a) đúng.
Phương trình có nghiệm phân biệt .
.
mệnh đề b) sai.
Ta có .
.
Điểm .
.
.
.
.
mệnh đề c) đúng.
Giải phương trình .
.
hàm số đạt cực đại tại .
vị trí cao nhất của tàu lượn là .
mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1081580]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ Oxy, là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ O và điểm có tọa độ cùng nhận trục Oy làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 3 cm. Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là và để khoét làm mắt.

Diện tích giấy được bạn An sử dụng để làm chiếc mặt nạ này là bao nhiêu cm2?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Diện tích giấy làm mặt nạ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường Parabol trừ đi diện tích hai hình thoi bị khoét. Ta lần lượt xác định phương trình các Parabol, dùng tích phân để tính diện tích, rồi áp dụng công thức diện tích hình thoi.
Lời giải chi tiết:
Do Parabol đối xứng qua trục nên có dạng với .
Xét Parabol đi qua và , giả sử .
Ta có và .
Suy ra .
Xét Parabol đi qua và , giả sử .
Ta có và .
Suy ra .
Diện tích phần giới hạn bởi hai Parabol là
.
Tính được (nhân vì mỗi đơn vị trên trục tọa độ dài ).
Diện tích hai hình thoi bị cắt là
.
Vậy diện tích giấy cần dùng là
.
🔑 Điền đáp án: .
Câu 20 [1028230]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Có __________ giá trị nguyên của tham số m để phương trình: có nghiệm?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình: có nghiệm

Kết hợp với dữ kiện:

🔑 Điền đáp án: 3.
Câu 21 [1078346]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
Đặt


Tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng: 5.
🔑 Điền đáp án: 5.
Câu 22 [82649]: Trong không gian tọa độ , cho các điểm và đường thẳng Gọi là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất. Biết có dạng giá trị bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.

💡 Phương pháp:
Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng .
Khoảng cách từ đến mặt phẳng chính là với là hình chiếu của lên .
Ta có .
Để khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất thì .
mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến cùng phương với .
✒️ Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
Gọi .
Khi đó .
Do là hình chiếu vuông góc nên .
Ta có .
.
.
Thay vào ta được .
Chọn vectơ pháp tuyến của là .
Mặt phẳng đi qua nên có phương trình .
.
So sánh với dạng suy ra .
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1081561]: Hai người A và B ở cách nhau 180 m trên một đoạn đường thẳng và cùng chuyển động thẳng theo một hướng với vận tốc biến thiên theo thời gian, A chuyển động với vận tốc B chuyển động với vận tốc (a là hằng số), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A, B bắt đầu chuyển động. Biết rằng lúc đầu A đuổi theo B và sau 10 giây thì đuổi kịp. Hỏi sau 20 giây A cách B bao nhiêu mét?
✍️ Hướng dẫn giải:
Vận tốc tương đối của A so với B là
.
Do A đuổi kịp B sau giây nên quãng đường tương đối bằng m:
.


.
Khi đó .
Quãng đường tương đối sau giây là
.
Khoảng cách giữa A và B sau giây là
.
🔑 Đáp án:
Câu 24 [1105728]: Cho Điểm thoả đạt giá trị nhỏ nhất. Tính
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Biến đổi biểu thức cần tìm về dạng chứa bằng cách chọn điểm thích hợp.
Sử dụng hằng đẳng thức vectơ để gom các hạng tử.
Chọn sao cho hệ số của bằng nhằm đưa bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất của .
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét .
Ta có , , .
.
.
Chọn điểm thỏa mãn .


.
Khi đó .
Do không đổi nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất.
khi và chỉ khi .
Suy ra .
Khi đó .
🔑 Điền đáp án:
Câu 25 [1105729]: Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là 10 cm và độ dài đường sinh là Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?

11.png
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.

💡 Phương pháp:
Xét mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy hình nón.
Khi đó thiết diện của hình cầu với là một đường tròn lớn.
Đường kính viên kẹo lớn nhất khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác .
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy hình nón.
Thiết diện của hình cầu với là đường tròn lớn.
Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác .
Nửa chu vi tam giác là .
Diện tích tam giác là
.
Ta có và .
.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là
.
🔑 Điền đáp án: