A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [805935]: Cho cấp số cộng 
có số hạng đầu 
và công sai 
Giá trị 
bằng
có số hạng đầu và công sai Giá trị bằng A, 8074.
B, 4074.
C, 8078.
D, 4078.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là
.
Áp dụng vào bài toán ta được
.
.
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là
.
Áp dụng vào bài toán ta được
.
.
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 2 [149223]: Biết 
. Khi đó 
nhận giá trị bằng
. Khi đó nhận giá trị bằng A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa tích phân xác định và giải phương trình tìm tham số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.
Theo giả thiết
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
💡 Phương pháp:
Áp dụng định nghĩa tích phân xác định và giải phương trình tìm tham số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.
Theo giả thiết
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
Câu 3 [1037741]: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 
Số hạng tổng quát của dãy số này là
Số hạng tổng quát của dãy số này là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số có các số hạng đầu là:
Viết lại dãy số:
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số có các số hạng đầu là:
Viết lại dãy số:
Công thức số hạng tổng quát của dãy là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 4 [1037594]: Rút gọn biểu thức: 
ta được
ta được A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức cộng:
❶
❷
❸
❹
❺
❻
Dựa vào dữ kiện: Biểu thức
Rút gọn biểu thức
Khi đó biểu thức trở thành:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức cộng:
❶
❷
❸
❹
❺
❻
Dựa vào dữ kiện: Biểu thức
Rút gọn biểu thức
Khi đó biểu thức trở thành:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 5 [1106498]: Cho hàm số 
. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định?
. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định? A, 3.
B, 4.
C, 5.
D, 6.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xét tập xác định của hàm số, tính đạo hàm và điều kiện để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
✒️ Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là
.
Ta có
.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
.
.
Do
là số nguyên âm nên 
.
🔑 Điền đáp án: 3 Đáp án: A
💡 Phương pháp:
Xét tập xác định của hàm số, tính đạo hàm và điều kiện để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
✒️ Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là
.Ta có
.Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
..Do
là số nguyên âm nên .🔑 Điền đáp án: 3 Đáp án: A
Câu 6 [899208]: Trong không gian toạ độ 
cho 2 điểm 
và 
Phương trình mặt phẳng 
qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là
cho 2 điểm và Phương trình mặt phẳng qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng điều kiện mặt phẳng chứa một đường thẳng thì vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, đồng thời hai mặt phẳng vuông góc thì hai vectơ pháp tuyến vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
.
Do
chứa 
nên 
.
Mặt khác
.
.
Chọn vectơ pháp tuyến của
là 
.
Mặt phẳng
đi qua điểm 
nên có phương trình
.
.
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
💡 Phương pháp:
Sử dụng điều kiện mặt phẳng chứa một đường thẳng thì vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương của đường thẳng đó, đồng thời hai mặt phẳng vuông góc thì hai vectơ pháp tuyến vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là .
Do
chứa nên .
Mặt khác
.
.
Chọn vectơ pháp tuyến của
là .
Mặt phẳng
đi qua điểm nên có phương trình
.
.
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
Câu 7 [1079034]: Đạo hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức:
và 
Dựa vào dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức:
và
Dựa vào dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 8 [1082952]: Trong mặt phẳng 
cho ba điểm 
Giá trị của 
để 
là ba điểm thẳng hàng là
cho ba điểm Giá trị của để là ba điểm thẳng hàng là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba điểm
suy ra 
Kết hợp với dữ kiện: Ba điểm
thẳng hàng suy ra 
cùng phương với 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba điểm
suy ra
Kết hợp với dữ kiện: Ba điểm
thẳng hàng suy ra cùng phương với
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 9 [1037504]: Hệ số của số hạng chứa 
trong khai triển 
với 
là số tự nhiên thỏa mãn 
là
trong khai triển với là số tự nhiên thỏa mãn là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Điều kiện
Kết hợp với dữ kiện:
là số tự nhiên thỏa mãn 
Khi đó
trở thành:
📒 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
Số hạng thứ 
trong khai triển 
là:
Để tìm hệ số của số hạng chứa 
thì:
(thoả mãn)
Hệ số của số hạng chứa 
là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Điều kiện
Kết hợp với dữ kiện:
là số tự nhiên thỏa mãn Khi đó
trở thành:📒 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:
Số hạng thứ trong khai triển là: Để tìm hệ số của số hạng chứa thì: (thoả mãn)
Hệ số của số hạng chứa là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 10 [1077634]: Biết 
với a và b là hai số thực. Giá trị của 
bằng
với a và b là hai số thực. Giá trị của bằng A, 1.
B, 2.
C, 4.
D, 5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
với a và b là hai số thực.
Để giới hạn tồn tại hữu hạn, ta cần
chia hết cho 
.
Thay
vào tử số:
Khi đó
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: A
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
với a và b là hai số thực. Để giới hạn tồn tại hữu hạn, ta cần
chia hết cho .Thay
vào tử số:Khi đó
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: A
Câu 11 [1079810]: Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Ta có:
Hàm số có 2 điểm cực trị 
và 
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Ta có:
Hàm số có 2 điểm cực trị và Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 12 [1079892]: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn 
bằng
trên đoạn bằng A, –2.
B, –11.
C, –26.
D, –27.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Xét đoạn
🔑 Chọn đáp án: –27. Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Xét đoạn
🔑 Chọn đáp án: –27. Đáp án: D
Câu 13 [1082824]: Cho tứ diện đều cạnh a và điểm I bất kì nằm trong tứ diện. Tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của 
là trọng tâm của tam giác 
Khi đó tứ diện
là tứ diện đều cạnh 
Có
Do đó
Và
Dựa vào hình vẽ:
Vậy tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện bằng
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của là trọng tâm của tam giác Khi đó tứ diện
là tứ diện đều cạnh Có
Do đó
Và
Dựa vào hình vẽ:
Vậy tổng khoảng cách từ I đến các mặt của tứ diện bằng
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 14 [1081226]: Nguyên hàm của hàm số 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, Suy ra câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Sử dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và nhận diện biểu thức dưới dấu tích phân là đạo hàm của một tích.
Lời giải chi tiết: Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm ta có
.
Xét biểu thức
.
Ta viết
mà 
.
Do đó
.
Theo công thức đạo hàm tích
, biểu thức trên chính là 
.
Vì vậy
.
Kết luận: Giá trị của biểu thức đã cho là
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Sử dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và nhận diện biểu thức dưới dấu tích phân là đạo hàm của một tích.
Lời giải chi tiết: Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm ta có
.Xét biểu thức
.Ta viết
mà .Do đó
.Theo công thức đạo hàm tích
, biểu thức trên chính là .Vì vậy
.Kết luận: Giá trị của biểu thức đã cho là
.🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 15 [792250]: Tổ một có 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Tổ hai có 5 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ một học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất sao cho chọn được hai học sinh có cả nam và nữ.
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Xét các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán.
Tính xác suất bằng công thức
.
✒️ Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu là số cách chọn mỗi tổ một học sinh:
Gọi
là biến cố chọn được hai học sinh gồm cả nam và nữ.
Xét các trường hợp:
Tổ
chọn 
nam và tổ 
chọn 
nữ:
Tổ
chọn 
nữ và tổ 
chọn 
nam:
Suy ra:
Xác suất của biến cố
là:
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
💡 Phương pháp:
Xác định số phần tử của không gian mẫu.
Xét các trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán.
Tính xác suất bằng công thức
.✒️ Lời giải chi tiết:
Không gian mẫu là số cách chọn mỗi tổ một học sinh:
Gọi
là biến cố chọn được hai học sinh gồm cả nam và nữ.Xét các trường hợp:
Tổ
chọn nam và tổ chọn nữ:Tổ
chọn nữ và tổ chọn nam:Suy ra:
Xác suất của biến cố
là:🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 16 [1078239]: Cho ba số 
Đồ thị các hàm số 
được cho trong hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đồ thị các hàm số được cho trong hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba số
Kết hợp với hình vẽ: Đồ thị các hàm số
được cho trong hình vẽ.
Hàm số
và 
là các hàm số đồng biến nên 
Hàm số
là hàm nghịch biến nên 
Với
ta thấy 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba số
Kết hợp với hình vẽ: Đồ thị các hàm số
được cho trong hình vẽ. Hàm số
và là các hàm số đồng biến nên Hàm số
là hàm nghịch biến nên Với
ta thấy 🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [380490]: Trong không gian 
cho các điểm 
cho các điểm
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Sử dụng tọa độ điểm đối xứng qua gốc tọa độ, công thức trọng tâm tam giác và các phép toán vectơ để xét song song và vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết: Gọi
là điểm đối xứng của 
qua gốc tọa độ 
là trung điểm của 
.
Suy ra
.
Trọng tâm tam giác
là 
.
Ta có
và 
.
Suy ra
.
Do đó tứ giác
là hình thang.
Lại có
và 
.
Suy ra
.
Do đó
không vuông góc với 
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
💡 Phương pháp: Sử dụng tọa độ điểm đối xứng qua gốc tọa độ, công thức trọng tâm tam giác và các phép toán vectơ để xét song song và vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết: Gọi
là điểm đối xứng của qua gốc tọa độ là trung điểm của .Suy ra
.Trọng tâm tam giác
là .Ta có
và .Suy ra
.Do đó tứ giác
là hình thang.Lại có
và .Suy ra
.Do đó
không vuông góc với .🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Câu 18 [1106499]: Cho biết 
và 
và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Xác định góc phần tư của
để suy ra dấu của các giá trị lượng giác, sau đó sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất tuần hoàn để kiểm tra từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết: Đề bài cho
và 
thuộc góc phần tư thứ II nên 
, 
.
Áp dụng
.
Do
.
Suy ra
.
Xét mệnh đề a:
.
Ta có
.
Có
.
Do
có chu kì 
.
Suy ra
.
mệnh đề a đúng.
Xét mệnh đề b: Điều kiện
là đúng nhưng 
mệnh đề b sai.
Xét mệnh đề c: Do hàm số sin có chu kì
nên 
mệnh đề c đúng.
Xét mệnh đề d:
.
So sánh
với 
mệnh đề d sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
💡 Phương pháp: Xác định góc phần tư của
để suy ra dấu của các giá trị lượng giác, sau đó sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất tuần hoàn để kiểm tra từng mệnh đề.✒️ Lời giải chi tiết: Đề bài cho
và thuộc góc phần tư thứ II nên , .Áp dụng
.Do
.Suy ra
.Xét mệnh đề a:
.Ta có
.Có
.Do
có chu kì .Suy ra
. mệnh đề a đúng.Xét mệnh đề b: Điều kiện
là đúng nhưng mệnh đề b sai.Xét mệnh đề c: Do hàm số sin có chu kì
nên mệnh đề c đúng.Xét mệnh đề d:
.So sánh
với mệnh đề d sai.🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1038220]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Khối lượng 27 củ khoai tây (đơn vị: gam) thu hoạch tại nông trường được ghi lại như sau:
Khi chuyển mẫu số liệu trên về dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau và bắt đầu bởi nhóm
thì tần số của nhóm thứ tư là __________.
Khối lượng 27 củ khoai tây (đơn vị: gam) thu hoạch tại nông trường được ghi lại như sau:
Khi chuyển mẫu số liệu trên về dạng ghép nhóm, các nhóm có độ dài bằng nhau và bắt đầu bởi nhóm
thì tần số của nhóm thứ tư là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào số liệu:
Độ dài các nhóm là:
Lập bảng tần số ghép nhóm:
Nhóm thứ 4 là
có tần số là 4.
🔑 Điền đáp án: 4.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào số liệu:
Độ dài các nhóm là:
Lập bảng tần số ghép nhóm:
Nhóm thứ 4 là
có tần số là 4.🔑 Điền đáp án: 4.
Câu 20 [1081608]: Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ. Người ta đo được đường kính của miệng ly là 4 cm và chiều cao là 6 cm. Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng qua trục đối xứng là một Parabol.
Thể tích V của vật đã cho là bao nhiêu cm3 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Thể tích V của vật đã cho là bao nhiêu cm3 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số hàng đơn vị”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi đường cong parabol có dạng
Dựa vào hình vẽ: Parabol đi qua các điểm
Do đó
suy ra 
Khi đó thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình
giới hạn bởi đường cong 
và hai đường thẳng 
quanh trục tung.
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi đường cong parabol có dạng
Dựa vào hình vẽ: Parabol đi qua các điểm
Do đó
suy ra
Khi đó thể tích của vật là thể tích khối tròn xoay khi quay hình
giới hạn bởi đường cong và hai đường thẳng quanh trục tung.
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1079858]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Cho hàm số
có đạo hàm trên 
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số
là __________.
Cho hàm số
có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.Số điểm cực trị của hàm số
là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng biên thiên:
Bảng biến thiên:
Hàm số có 5 cực trị.
🔑 Điền đáp án: 5.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng biên thiên:
Bảng biến thiên:
Hàm số có 5 cực trị.
🔑 Điền đáp án: 5.
Câu 22 [1083066]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
có phương trình 
Xét mặt phẳng 
với 
là tham số thực. Gọi 
là tập hợp tất cả giá trị của 
để 
tạo với 
góc 
Tổng các phần tử của 
bằng bao nhiêu?
cho mặt phẳng có phương trình Xét mặt phẳng với là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả giá trị của để tạo với góc Tổng các phần tử của bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
có phương tình lần lượt là 
và 
nên 
và 
Kết hợp với dữ kiện:
tạo với 
góc 
nên 
Vậy tổng các phần tử của
là 
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
có phương tình lần lượt là và nên và Kết hợp với dữ kiện:
tạo với góc nên Vậy tổng các phần tử của
là 🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1080309]: Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều ngang 80 m, một bên cao 40 m và một bên cao 30 m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây.
Con đường XY xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình
Hai cột đỡ dọc MN và PQ (song song với trục Oy) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường XY. Tính tổng độ dài đoạn MN và PQ biết rằng N, Q là hai điểm đối xứng qua Oy và MN là đoạn có độ dài lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Con đường XY xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình
Hai cột đỡ dọc MN và PQ (song song với trục Oy) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường XY. Tính tổng độ dài đoạn MN và PQ biết rằng N, Q là hai điểm đối xứng qua Oy và MN là đoạn có độ dài lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Hẻm có chiều ngang
, một bên cao 
và một bên cao 
• Con đường
xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình 
• Hai cột đỡ dọc
và 
(song song với trục 
) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường 
Phương trình Parabol đi qua 4 điểm
là 
Parabol đi qua điểm
nên 
Gọi
Phương trình 
là 
khi 
Suy ra
Vậy
Dựa vào dữ kiện:
• Hẻm có chiều ngang
, một bên cao và một bên cao • Con đường
xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình • Hai cột đỡ dọc
và (song song với trục ) là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường Phương trình Parabol đi qua 4 điểm
là Parabol đi qua điểm
nên Gọi
Phương trình là khi Suy ra
Vậy
Câu 24 [1106501]: Gọi 
là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 
. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?
là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?
✍️ Hướng dẫn giải:
Tập xác định
và có đạo hàm 
Giả sử
. Khi đó 
và 
Suy ra tam giác
vuông cân tại 
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
bằng: 
Tập xác định
và có đạo hàm Giả sử
. Khi đó và Suy ra tam giác
vuông cân tại Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
bằng:
Câu 25 [1038658]: Một công nhân đi làm ở thành phố khi trở về nhà có 2 cách: hoặc đi theo đường ngầm hoặc đi qua cầu. Biết rằng ông ta đi lối đường ngầm trong 
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn). Tìm xác suất để công nhân đó đã đi lối cầu biết rằng ông ta về đến nhà sau 6 giờ tối.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu.
• Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn).
Gọi
là biến cố “Ông ta về đến nha sau 6 giờ tối”
lần lượt là biến cố : “Ông ta đi đường ngầm” và “ Ông ta đi lối cầu”
Dựa vào dữ kiện:
• Ông ta đi lối đường ngầm trong
các trường hợp, còn lại đi lối cầu. • Nếu đi lối đường ngầm 75% trường hợp ông ta về đến nhà trước 6 giờ tối; còn nếu đi lối cầu chỉ có 70% trường hợp (nhưng đi lối cầu thích hơn).
Gọi
là biến cố “Ông ta về đến nha sau 6 giờ tối” lần lượt là biến cố : “Ông ta đi đường ngầm” và “ Ông ta đi lối cầu”