Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1082691]: Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì
A, cùng thuộc đường tròn.
B, cùng thuộc đường elip.
C, cùng thuộc đường thẳng.
D, cùng thuộc mặt cầu.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Theo tiên đề hình học không gian, nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất đi qua điểm đó, gọi là giao tuyến.
Đề bài cho ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt cả ba điểm đều nằm trong phần chung của hai mặt phẳng này.
Do giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng nên các điểm nằm trong giao tuyến đó phải cùng thuộc một đường thẳng.
Suy ra ba điểm đã cho là ba điểm thẳng hàng, hay cùng thuộc một đường thẳng.
🔑 Chọn đáp án: cùng thuộc đường thẳng. Đáp án: C
Câu 2 [1079704]: Cho hàm số có đạo hàm Khẳng định nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đạo hàm
nên
Lập bảng biến thiên:
 Hàm đồng biến trên khoảng và
Hàm nghịch biến trên khoảng Xét các khẳng định:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 3 [1037451]: Một tổ có 12 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một tổ có 12 học sinh
Số cách chọn 2 học sinh từ tổ để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó là:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 4 [1082919]: Cho hình lăng trụ Gọi là trung điểm của cạnh Đặt Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hình lăng trụ với là trung điểm của cạnh
Điểm là trung điểm của nên
Kết hợp với dữ kiện:
Do hình lăng trụ có các cạnh bên song song và bằng nhau nên
📒 Áp dụng quy tắc cộng vectơ theo đường gãy khúc từ đến ta có:

và

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 5 [1038246]: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng sau là
A, 25.
B, 20.
C, 28.
D, 35.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
🔑 Chọn đáp án: 28. Đáp án: C
Câu 6 [1081436]: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích hình phẳng cần tìm là
Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 7 [1079104]: Đạo hàm cấp hai của hàm số bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 8 [1077728]: Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào các hình vẽ:
Hình vẽ thứ 4 là đồ thị của hàm số có nên hàm số không liên tục tại
🔑 Chọn đáp án:
 Đáp án: D
Câu 9 [977112]: Trong không gian cho hai vectơ tạo với nhau một góc , và Tích vô hướng bằng
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Vectơ trong không gian).
Mức độ: Nhận biết.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ theo độ dài và góc tạo bởi chúng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có công thức tích vô hướng .
Thay số vào ta được .
Vì nên .
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 10 [7936]: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Cạnh bên và vuông góc với mặt đáy . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng và .
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó, sau đó áp dụng kiến thức hình học tam giác để tính tỉ số lượng giác.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là trung điểm của là trung tuyến đồng thời là đường trung trực của vì đều.
Ta có và .
Mặt khác nên .
Do đó là giao tuyến của và đồng thời và .
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là .
Xét ta có .
Xét vuông tại ta có .
Suy ra .
🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
Câu 11 [233909]: [Đề thi TN THPT 2022]: Cho hình nón có góc ở đỉnh là và chiều cao bằng Gọi là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Tính diện tích của bằng
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng quan hệ lượng giác trong tam giác, kết hợp công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và công thức diện tích mặt cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta có .
Xét tam giác vuông ta có .
Suy ra .
Thay số .
Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, khi đó là bán kính mặt cầu đồng thời là bán kính đường tròn ngoại tiếp .
Theo công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có
.
Suy ra .
Vì nên .
Diện tích mặt cầu là .
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 12 [1078127]: Rút gọn biểu thức với ta được kết quả nào sau đây?
A,
B,
C,
D, 2.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Biểu thức với
Rút gọn biểu thức:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 13 [1080043]: Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số


là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 14 [1077599]: Tính
A,
B,
C,
D, 0.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có:
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 15 [1080238]: Tính diện tích lớn nhất của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính và một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.
Dựng hình như hình vẽ:



Đặt
Khi đó,

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 16 [1083055]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo là
A, 0°.
B, 30°.
C, 60°.
D, 90°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: và nên và
Do đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [693782]: Độ cứng của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng và bình phương chiều dài của nó (theo đơn vị cm). Biết rằng nếu thanh gỗ có chiều dài là 6cm, chiều rộng là 3cm thì độ cứng của nó bằng Một khúc gỗ hình tròn có đường kính là người ta cắt thành một thanh gỗ hình chữ nhật như hình vẽ bên.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Áp dụng định lý Pythagore để thiết lập mối liên hệ giữa và ; biểu diễn độ cứng theo một biến; xét miền xác định; dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Áp dụng định lý Pythagore ta có

b) Sai.
Độ cứng của một thanh gỗ hình chữ nhật tỉ lệ thuận với tích của chiều rộng và bình phương chiều dài

Với thanh gỗ có cm, cm thì


Vậy
c) Sai.
Từ suy ra


Do nên



d) Đúng.
Xét hàm số
Ta có
Giải ta được hoặc
Trong miền suy ra
🔑 Điền đáp án: Độ cứng lớn nhất là khi
Câu 18 [145406]: Ba xạ thủ A, B, C độc lập với nhau cùng bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của 3 người A, B và C tương ứng là 0,7, 0,6 và 0,9.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).

💡 Phương pháp:
Gọi là các biến cố xạ thủ bắn trúng bia.
Sử dụng tính độc lập của các biến cố để tính xác suất các trường hợp.
Xác suất “chỉ một”, “đúng hai”, “ít nhất một” được tính bằng cách liệt kê các khả năng phù hợp.
Xác suất có điều kiện dùng công thức

✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
Các biến cố độc lập.
a) Đúng.
Xác suất chỉ xạ thủ trúng là

Xác suất chỉ xạ thủ trúng là

Xác suất chỉ xạ thủ trúng là

Vậy
b) Đúng.
Xác suất trúng và trượt là

Xác suất trúng và trượt là

Xác suất trúng và trượt là

Vậy
c) Đúng.
Xác suất ít nhất một xạ thủ trúng là


d) Sai.
Xác suất xạ thủ trúng khi biết có đúng xạ thủ trúng là


🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1028232]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Có __________ giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn để phương trình có nghiệm?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình có nghiệm
• Nếu thì phương trình đã cho vô nghiệm
• Nếu thì phương trình

Kết hợp với các dữ kiện:
•
•

Có 4036 giá trị của tham số thỏa mãn
🔑 Điền đáp án: 4036.
Câu 20 [1078347]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình

Đặt . Khi đó phương trình (1) trở thành:


Tích tất cả các nghiệm thực của phương trình bằng -1.
🔑 Điền đáp án: .
Câu 21 [1081581]: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước trong đó hai Parabol đối xứng với qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4 m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 nghìn đồng trên một mét vuông.

Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Đặt hình chữ nhật vào hệ tọa độ Oxy sao cho tâm hình chữ nhật trùng với góc tọa độ, chiều dài của hình chữ nhật vuông góc với trục Ox.
Theo đề bài ta có Parabol đi qua các điểm
Từ đây ta có hệ phương trình
Suy ra
Suy ra
Gọi lần lượt là diện tích phần hoa văn và diện tích phần trắng
Ta có:
Tổng chi phí trang trí là 74.4 (triệu đồng)
🔑 Điền đáp án:
Câu 22 [82651]: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương trình Mặt phẳng đi qua song song với và khoảng cách từ đến là lớn nhất có một vectơ pháp tuyến là Giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.

💡 Phương pháp:
Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm đã cho và có vectơ chỉ phương tương ứng.
Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng song song với .
Sử dụng điều kiện khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dùng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và điều kiện vuông góc để tìm phương trình .

✒️ Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
Ta có .
Mặt phẳng chứa đường thẳng với đi qua và song song với .
Khi đó phương trình đường thẳng là .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên .
Khi đó , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Áp dụng công thức tính nhanh vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình mặt phẳng có dạng .
So sánh với dạng suy ra .

🔑 Điền đáp án:

Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1081562]: Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình (với t là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được 10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
✍️ Hướng dẫn giải:
Quãng đường Tít chạy được là
.
Quãng đường Mít chạy được là
.
Ta xét thời điểm mỗi bạn đạt km.
Với Mít, tại ta có
.
Vậy Mít đạt km tại (giờ).
Tại thời điểm này, quãng đường Tít chạy được là
.
Khoảng cách giữa hai bạn khi cuộc đua kết thúc là
.
🔑 Đáp án:
Câu 24 [1105730]: Trong không gian , cho ba điểm và Gọi là một điểm nằm trên mặt phẳng sao cho Tìm giá trị nhỏ nhất của (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.

💡 Phương pháp: Quy về bài toán hình học phẳng bằng cách xét điểm thuộc mặt phẳng .
Sử dụng quỹ tích elip từ điều kiện tổng khoảng cách không đổi.
Biến bài toán tìm khoảng cách nhỏ nhất về bài toán cực trị của hàm số một biến.
✒️ Lời giải chi tiết: Vì và nên thuộc elip .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng , suy ra .
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông tại ta có .
Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Ta có nên .
Vì nên .
Suy ra .
Rút gọn được với .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có .
.
Tính và .
Suy ra .
Do đó .
Vậy .
🔑 Điền đáp án: .
Câu 25 [1105731]: Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính đáy của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh)
13.png
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Tính thể tích nước ban đầu trong hình trụ.
Tính thể tích các vật chiếm chỗ trong cốc gồm viên bi và khối nón.
Lấy thể tích ban đầu trừ đi tổng thể tích các vật chiếm chỗ để được thể tích nước còn lại.
Cuối cùng lập tỉ số thể tích nước còn lại và thể tích ban đầu.
✒️ Lời giải chi tiết: Gọi là bán kính đáy của hình trụ.
Suy ra chiều cao của hình trụ là .
Thể tích của khối trụ ban đầu là .
Thể tích của viên bi là .
Chiều cao của khối nón là .
Thể tích của khối nón là .
Thể tích nước còn lại trong cốc là .
Suy ra .
Do đó .
Tỉ số thể tích của lượng nước còn lại và lượng nước ban đầu là .
🔑 Đáp án: .