Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1082924]: Cho tứ diện ABCD, gọi lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm tam giác Khẳng định nào sau đây là sai?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ diện gọi lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm tam giác
•
• là trung điểm của nên
Trong khi đó
• là trọng tâm tam giác nên
• lần lượt là trung điểm của nên và

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 2 [1077732]: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số gián đoạn tại điểm bằng
A, -1.
B, 0.
C, 1.
D, 2.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Kết hợp với hình vẽ:
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số gián đoạn tại
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: C
Câu 3 [1037457]: Cho lục giác ABCDEF. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0 có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác trên?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Lục giác ABCDEF
Số vectơ khác vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác ABCDEF là:
(vectơ)
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 4 [1079106]: Cho hàm số Đạo hàm cấp hai của hàm số là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 5 [1079706]: Cho hàm số Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số

Điều kiện:

Trục xét dấu:
 Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 6 [380259]: Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa hai vectơ và
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
taaa21.png
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất song song và vuông góc của các vectơ để so sánh góc giữa hai vectơ.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Mặt khác .
.
.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 7 [1082693]: Trong không gian cho 4 điểm phân biệt, không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, có bao nhiêu mặt phẳng đi qua 3 trong số 4 điểm trên?
A, 1.
B, 2.
C, 3.
D, 4.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Có 4 điểm phân biệt, không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng nên cứ qua 3 điểm thì xác định được một và chỉ một mặt phẳng.
Vậy số mặt phẳng cần tìm là
🔑 Chọn đáp án: 4. Đáp án: D
Câu 8 [1038248]: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Trung vị nằm ở vị trí thứ: nằm ở vị nhóm .
🔑 Chọn đáp án: . Đáp án: C
Câu 9 [1080240]: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1 m như hình vẽ. Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng Tìm giá trị của x để khối chóp nhận được có thể tích lớn nhất.
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Người ta cắt phần tô đậm của tấm nhôm rồi gập thành một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng
Đặt cạnh bên là và cạnh đáy của chóp đều là
Độ dài đường cao của một mặt bên là:
Kết hợp với hình vẽ:
(bằng nhau và bằng đường chéo hình vuông)





Xét hàm số: trên ta có:

đạt được khi
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 10 [1077601]: Cho a, b, c là các số thực khác 0. Để giới hạn thì
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Ta có

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 11 [8646]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác cân tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường thẳng tạo với đáy một góc Tính tan góc giữa 2 mặt phẳng và
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.

💡 Phương pháp:
Xác định đường cao của hình chóp bằng quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng.
Sử dụng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính chiều cao.
Quy về góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là trung điểm của .
Vì tam giác cân tại nên .
Mặt phẳng theo giao tuyến nên .
là chiều cao của hình chóp.
Hình chiếu vuông góc của lên là nên hình chiếu của là .
Góc giữa và là .
Xét vuông tại vì đáy là hình vuông.
.
.
.
Xét vuông tại .
.
Giao tuyến của và là .
Gọi là trung điểm của .
Vì là hình vuông và là trung điểm nên và .
.
Lại có .
.
Do đó góc giữa và là .
Xét vuông tại .
.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 12 [1078139]: Cho và là hai số thực dương thỏa mãn Giá trị của bằng
A, 3.
B, 6.
C, 12.
D, 2.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: a và b là hai số thực dương thỏa mãn

🔑 Chọn đáp án: 3. Đáp án: A
Câu 13 [1081438]: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tính theo
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:





Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 14 [1080045]: Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận xiên?
A, 2.
B, 1.
C, 0.
D, 3.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số

nên là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: B
Câu 15 [1083057]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
A, 60°.
B, 45°.
C, 150°.
D, 30°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng và đường thẳng nên
và
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ().
Khi đó
Có tích vô hướng và độ dài các vectơ bằng:
+)
+)
+)
Suy ra
Vậy
🔑 Chọn đáp án: 30°. Đáp án: D
Câu 16 [328573]: Người ta xếp hai quả cầu có cùng bán kính vào một chiếc hộp hình trụ sao cho các quả cầu đều tiếp xúc với hai đáy, đồng thời hai quả cầu tiếp xúc với nhau và mỗi quả cầu đề tiếp xúc với đường sinh của hình trụ ( tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối trụ là , thể tích của mỗi khối cầu bằng
2.png
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức thể tích hình trụ và hình cầu.
Dựa vào mối liên hệ giữa kích thước hình trụ và bán kính khối cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, chiều cao của hình trụ là .
Đường kính của hình trụ là bán kính hình trụ là .
Thể tích khối trụ là .
.
Theo giả thiết .
.
.
Vậy thể tích của mỗi khối cầu là .
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [146101]: Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để phát hiện ra 2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng quy tắc nhân xác suất cho các phép thử liên tiếp không hoàn lại.
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện .
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ hai là .
Mệnh đề đã cho không đúng Sai.
b) Xác suất dừng lại ở lần chọn thứ ba là .
.
Mệnh đề đã cho không đúng Sai.
c) Biết đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, xác suất dừng lại ở lần chọn thứ tư là .
.
Mệnh đề đã cho đúng Đúng.
d) Gọi là biến cố dừng lại ở lần chọn thứ ba, là biến cố lần đầu chọn được sản phẩm xấu.
Ta có .
.
Mệnh đề đã cho đúng Đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
Câu 18 [858964]: Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng . Người ta gập tấm nhôm theo hai cạnh và cho đến khi và trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức
b) Đúng.
Điều kiện.
Gọi là trung điểm của cạnh khi đó và .
Khi đó .
Diện tích tam giác bằng khi đó
Xét hàm số với
, .
Bảng biến thiên

Suy ra khi .
Khi đó .
Thể tích lăng trụ dấu bằng xảy ra khi .
Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi
c) Sai.
Diện tích tam giác bằng khi đó

d) Sai.
Thể tích lăng trụ dấu bằng xảy ra khi .
Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất gần bằng .
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1037724]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong khoảng phương trình có __________ nghiệm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
Giải phương trình
• Với
Phương trình vô nghiệm
• Với
Chia cả 2 vế của phương trình cho

Kết hợp với dữ kiện:

🔑 Điền đáp án: 4.
Câu 20 [1081583]: Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường đó.

Diện tích hình trên (kể cả lục giác) là bao nhiêu dm2?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét cánh hoa hình parabol đi qua các điểm với là đỉnh của và là hai đầu mút thỏa mãn là độ dài cạnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol là , điểm .
Diện tích hình cánh hoa được giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng là

Vậy diện tích cần tính là tổng diện tích của sáu cánh hoa ứng với sáu cạnh của lục giác cộng với diện tích của lục giác đều và bằng
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [658653]: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?
💡 Phương pháp: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình mũ về phương trình bậc hai, giải phương trình theo ẩn phụ rồi suy ra nghiệm của phương trình ban đầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét phương trình .
Đặt với .
Khi đó phương trình trở thành .
.
Với .
.
Với .
.
Tổng các nghiệm là .
🔑 Điền đáp án:
Câu 22 [82656]: Trong không gian , cho điểm , đường thẳng và mặt cầu . Mặt phẳng chứa đường thẳng thỏa mãn khoảng cách từ điểm đến lớn nhất. Mặt cầu cắt theo đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

💡 Phương pháp: Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng , tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng đó, rồi suy ra bán kính bằng công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng chứa và vuông góc với có vectơ pháp tuyến .
Phương trình mặt phẳng .
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Khoảng cách từ đến là .
Suy ra .
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1105734]: [Liên Trường Nghệ An 2024]: Trong không gian , cho hai điểm , . Xét điểm thuộc mặt phẳng sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó .
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Biến đổi biểu thức vectơ, đưa bài toán về dạng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa bình phương khoảng cách, kết hợp hình chiếu vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét .
Ta có .
.
Chọn điểm thỏa mãn .
.
Suy ra , .
Khi đó .
.
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
.
Ta có .
Dấu “=” xảy ra khi .
Suy ra .
Khi đó .
🔑 Điền đáp án:
Câu 24 [1105567]: Một viên đạn được bắn thử theo phương ngang vào một chất lỏng nhớt với vận tốc ban đầu . Khi vào môi trường nhớt do lực cản tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc nên gia tốc của viên đạn thỏa mãn với là vận tốc của vật trên môi trường nhớt tính bằng m/s , là thời gian kể từ lúc viên đạn đi vào môi trường nhớt tính bằng giây, là hằng số thực. Biết vận tốc của viên đạn tại thời điểm bằng 90 m/s.

Quãng đường mà viên đạn kể từ khi đi vào môi trường nhớt cho đến khi nó có vận tốc 450 m/s bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
📌 Chú ý: Đây là bài toán chuyển động có lực cản tỉ lệ với bình phương vận tốc, cần sử dụng phương trình vi phân và nguyên hàm để tìm quãng đường.
💡 Phương pháp: Lập phương trình vi phân từ gia tốc, giải để tìm hàm vận tốc theo thời gian, sau đó tính thời điểm tương ứng và lấy tích phân vận tốc để suy ra quãng đường.
✒️ Lời giải chi tiết: Viên đạn chuyển động trong môi trường nhớt với gia tốc
.
Suy ra
.
Lấy nguyên hàm hai vế ta được
.
Do nên
.
Suy ra
.
Mà nên
.
Do đó
.
Khi thì
.
Quãng đường viên đạn đi được từ lúc vào môi trường nhớt đến khi vận tốc còn là
.
🔑 Đáp án: .
Câu 25 [1105735]: Một ly nước hình trụ có chiều cao và bán kính đáy bằng Bạn Nam đổ nước vào ly cho đến khi mực nước cách đáy ly thì dừng lại. Sau đó, Nam lấy các viên đá lạnh hình cầu có cùng bán kính thả vào ly nước. Bạn Nam cần dùng ít nhất bao nhiêu viên đá để nước trào ra khỏi ly?1.png
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Tính thể tích phần không chứa nước của ly và so sánh với tổng thể tích các viên bi được thả vào để xác định số viên bi tối thiểu làm nước trào ra ngoài.
✒️ Lời giải chi tiết:
Phần không chứa nước là khối trụ có bán kính đáy và chiều cao .
Thể tích phần này là .
Thể tích mỗi viên bi là .
Để nước trào ra ngoài thì tổng thể tích các viên bi lớn hơn thể tích phần không chứa nước
.
.
Vì là số nguyên nên .
🔑 Điền đáp án: viên bi