Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1077632]: bằng
A,
B,
C,
D, 1.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 2 [224629]: Công sai của cấp số cộng có số hạng tổng quát là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định công sai của cấp số cộng bằng hiệu hai số hạng liên tiếp.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Suy ra .
Khi đó công sai của cấp số cộng là .
Do đó .
🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
Câu 3 [1079042]: Đạo hàm của hàm số trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức:
📒 Áp dụng công thức:
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 4 [149231]: Biết . Khi đó nhận giá trị bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Tính tích phân xác định theo công thức Newton – Leibniz rồi giải phương trình thu được.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Áp dụng công thức Newton – Leibniz:
.
.
.
Theo đề bài nên ta có:
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 5 [360649]: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đã cho có dạng với VTPT .
Giả sử điểm có tọa độ .
Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 6 [1078233]: Cho Khi đó
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Do
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 7 [6504]: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy bằng Thể tích khối chóp là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.

💡 Phương pháp: Tính thể tích khối chóp theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
Diện tích tam giác đáy là .
Ta có .
Đặt .
Ta có .
.
.
Lại có .
.
.
Thể tích khối chóp là .
.
.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 8 [1037597]: Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức cộng:
❶
❷
❸
❹
❺
❻
Xét vế phải các đáp án:


🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 9 [1025566]: Trong khai triển nhị thức Newton của có bao nhiêu số hạng?
A, 2023.
B, 2024.
C, 2025.
D, 2026.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Nhị thức
📒 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton:

Trong khai triển nhị thức Newton của có 2025 số hạng
🔑 Chọn đáp án: 2025. Đáp án: C
Câu 10 [1037744]: Cho dãy số với Với giá trị nào của thì dãy số đã cho là dãy số tăng?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải
Dựa vào dữ kiện: Cho dãy số với là dãy tăng



🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 11 [1079896]: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đạo hàm với mọi
Xét đoạn

Bảng biến thiên:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 12 [1079820]: Hàm số đạt cực đại tại điểm
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số


Trục xét dấu:
 Hàm số đạt cực đại tại điểm
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 13 [1081232]: Sau trận động đất, một hồ chứa nước bị rò rỉ. Giả sử lượng nước thất thoát kể từ khi hồ bị rò rỉ đến thời điểm t (phút) là (lít), biết rằng Tính lượng nước thất thoát sau 2 giờ kể từ khi hồ bị rò rỉ.
A, 590 520 lít.
B, 1 590 520 lít.
C, 11 590 520 lít.
D, 890 121 lít.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, Suy ra câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Đổi đơn vị thời gian về phút, sau đó tính lượng nước thất thoát bằng cách lấy tích phân xác định của tốc độ thất thoát trên khoảng thời gian tương ứng.
Lời giải chi tiết: Hàm số tốc độ thất thoát nước là , trong đó tính bằng phút.
Đề bài yêu cầu tính sau giờ nên ta đổi đơn vị: giờ phút.
Lượng nước thất thoát từ đến là .
Ta có .
Suy ra .
Do đó .
Tính được .
Suy ra lít.
Kết luận: Lượng nước thất thoát sau giờ là lít.
🔑 Chọn đáp án: 590 520 lít.
Đáp án: A
Câu 14 [1106508]: Cho hàm số m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định?
A, 1.
B, 3.
C, 2.
D, 5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xét dấu đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng xác định.
✒️ Lời giải chi tiết:
Tập xác định của hàm số là .
Ta có đạo hàm .
Vì với mọi nên dấu của phụ thuộc vào .
Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định thì .
.
.
Các giá trị nguyên của thỏa mãn là .
Có giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 15 [1106510]: Gọi là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp Tính xác suất để hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau.
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Tập hợp gồm các số tự nhiên có hai chữ số: .
Số phần tử của là .
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố: “Hai số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.
Các chữ số hàng đơn vị có thể là gồm trường hợp.
Mỗi nhóm ứng với một chữ số hàng đơn vị đều có số.
Số cách chọn hai số trong cùng một nhóm là .
Suy ra .
Xác suất của biến cố là .
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 16 [1082956]: Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1,5 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, Oy hướng về phía đông, Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo ki – lô – mét.

Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu gần bằng
A, 3,92 km.
B, 3,56 km.
C, 2,73 km.
D, 4,08 km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
+) Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát km về phía nam và km về phía đông, đồng thời cách mặt đất km nên có tọa độ là
+) Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát km về phía Bắc và km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất km nên có tọa độ là
Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là

🔑 Chọn đáp án: 3,92 km. Đáp án: A
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1106509]: Cho phương trình lượng giác
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Đưa phương trình lượng giác về dạng .
Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình .
Xét nghiệm trên các khoảng yêu cầu để kết luận đúng sai từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Do đó .
Suy ra hoặc .
Với trường hợp thứ nhất ta có .
Với trường hợp thứ hai ta có .
Suy ra nghiệm của phương trình là hoặc với .
Xét mệnh đề a), họ nghiệm thứ nhất phải là nhưng đề cho nên mệnh đề sai.
Xét mệnh đề b), nghiệm âm lớn nhất là nên mệnh đề đúng.
Xét mệnh đề c), trong khoảng ta có hai nghiệm là và .
Tổng các nghiệm là nên mệnh đề đúng.
Xét mệnh đề d), trong khoảng chỉ có nghiệm nên mệnh đề sai.
🔑 Điền đáp án: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
Câu 18 [380632]: Xét hệ trục toạ độ gắn với hình hộp chữ nhật như hình vẽ có điểm trùng với gốc toạ độ đơn vị của mỗi trục bằng độ dài cạnh hình hộp. Gọi là trọng tâm tam giác
ganhetoajdo1baichuong2.png
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định tọa độ các điểm trong không gian Oxyz.
Tìm trọng tâm của tam giác theo công thức tọa độ.
Sử dụng vectơ để kiểm tra tính thẳng hàng.
Áp dụng công thức thể tích khối chóp theo khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có , , .
Suy ra , , .
Khi đó .
Trọng tâm của tam giác là .
Ta có và .
Suy ra thẳng hàng.
Khoảng cách từ đến mặt phẳng là .
Diện tích đáy là .
Thể tích khối chóp là .
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1038228]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười thích hợp vào chỗ trống.
Một mẫu số liệu có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Cỡ mẫu của mẫu số liệu là:
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên có giá trị là:

🔑 Điền đáp án: 10,7.
Câu 20 [1106313]: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là như hình vẽ.

Diện tích S của mảnh đất Bernoulli là bao nhiêu biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Biến đổi phương trình đường cong để biểu diễn theo , sử dụng tính đối xứng của hình, sau đó thiết lập và tính tích phân diện tích.
✒️ Lời giải chi tiết: Ta có phương trình đường cong
.
Suy ra
.
Để xác định thì
.
Do phương trình chỉ chứa các lũy thừa chẵn của và nên hình phẳng đối xứng qua cả trục và .
Suy ra diện tích cần tìm bằng lần diện tích phần nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Với ta có
.
Diện tích hình phẳng là
.
Suy ra
.
Đặt .
Đổi cận .
Khi đó
.
.
Vì nên
.
🔑 Điền đáp án: .
Câu 21 [1079857]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Cho hàm số đa thức bậc bốn có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số là __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:


Bảng xét dấu của :

Hàm số có 1 điểm cực trị.
🔑 Điền đáp án: 1.
Câu 22 [1083065]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng m là tham số). Để hợp với một góc 90° thì giá trị của m bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: và suy ra và
Kết hợp với dữ kiện: hợp với một góc nên
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1106511]: Tìm khoảng đồng biến của hàm số
📌 Chú ý: Đây là dạng bài tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
💡 Phương pháp:
Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm .
Xét dấu đạo hàm trên tập xác định để suy ra khoảng đồng biến.
✒️ Lời giải chi tiết:
Hàm số xác định khi .
.
Phương trình có hai nghiệm , .
Vì hệ số nên tập xác định là .
Đạo hàm của hàm số là .
.
Với mọi thì .
.
Kết hợp với tập xác định suy ra .
🔑 Điền đáp án: Hàm số đồng biến trên khoảng .
Câu 24 [1106513]: Người ta thiết kế một thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích nhất định. Biết rằng giá của vật liệu làm mặt đáy và nắp của thùng bằng nhau và đắt gấp 3 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh của thùng (cho phí cho mỗi đơn vị diện tích). Gọi chiều cao của thùng là và bán kính đáy là Tính tỉ số sao cho chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ nhất.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh cần trình bày đầy đủ lập luận và các bước biến đổi để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Biểu diễn chi phí sản xuất theo bán kính của hình trụ, sau đó áp dụng bất đẳng thức AM–GM để tìm giá trị nhỏ nhất.
✒️ Lời giải chi tiết: Thùng có dạng hình trụ bán kính , chiều cao , thể tích không đổi .
Ta có .
Diện tích mặt xung quanh của thùng là .
Chi phí sản xuất mặt xung quanh là (đồng).
Tổng diện tích đáy và nắp là .
Do chi phí sản xuất đáy và nắp gấp lần chi phí mặt xung quanh nên chi phí phần này là (đồng).
Tổng chi phí sản xuất thùng là
.
Thay vào ta được
.
Viết lại biểu thức trong ngoặc:
.
Áp dụng bất đẳng thức AM–GM ta có
.
Suy ra
.
Dấu “=” xảy ra khi
.
Mà nên
.
🔑 Điền đáp án: .
Câu 25 [1038655]: Một người tham gia trò chơi với 3 hộp quà đặc biệt: hộp màu vàng có 2 điện thoại iPhone và 3 tai nghe; hộp màu bạc có 4 điện thoại iPhone và 1 tai nghe; hộp màu đồng có 3 điện thoại iPhone và 2 tai nghe. Luật chơi được thực hiện qua hai bước sau:
∎ Bước 1: Người chơi chọn ngẫu nhiên 1 hộp.
∎ Bước 2: Từ hộp đã chọn, người chơi lấy ngẫu nhiên 1 món quà:
Nếu quà là điện thoại iPhone, người chơi được giữ nó và lấy thêm 1 quà nữa từ cùng hộp.
Nếu quà là tai nghe, trò chơi kết thúc.
Biết rằng người chơi lấy được 2 điện thoại iPhone, tính xác suất để người đó lấy từ hộp màu bạc (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Một người tham gia trò chơi với 3 hộp quà đặc biệt: hộp màu vàng có 2 điện thoại iPhone và 3 tai nghe; hộp màu bạc có 4 điện thoại iPhone và 1 tai nghe; hộp màu đồng có 3 điện thoại iPhone và 2 tai nghe.
• Luật chơi được thực hiện qua hai bước sau:
 Bước 1: Người chơi chọn ngẫu nhiên 1 hộp.
 Bước 2: Từ hộp đã chọn, người chơi lấy ngẫu nhiên 1 món quà:
Nếu quà là điện thoại iPhone, người chơi được giữ nó và lấy thêm 1 quà nữa từ cùng hộp.
Nếu quà là tai nghe, trò chơi kết thúc.
• Người chơi lấy được 2 điện thoại iPhone
Gọi Y, S, B lần lượt là các biến cố chọn hộp vàng, bạc, đồng.
là biến cố: "người chơi lấy được 2 iPhone".



Xác suất rút được 2 iPhone là: