Quay lại
Đáp án
A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1038186]: Một vườn thú ghi lại tuổi thọ (đơn vị: năm) của 20 con hổ và thu được kết quả như sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Cỡ mẫu là:
Trung vị của mẫu số liệu là: nằm ở nhóm
Tứ phân vị thứ nhất là nằm ở nhóm
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 2 [522433]: Phương trình vô nghiệm khi
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xét điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm dựa vào miền giá trị của hàm số .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Để phương trình vô nghiệm thì hoặc
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 3 [1081433]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và trục hoành

Ta có diện tích cần tìm là

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 4 [27498]: Tập nghiệm của bất phương trình là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Đưa hai vế của bất phương trình về cùng một cơ số, sau đó so sánh số mũ và giải bất phương trình bậc hai thu được.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có

Vì nên khi so sánh số mũ ta phải đổi chiều bất phương trình


Nhân cả hai vế với và đổi chiều bất phương trình

Ta có

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
Câu 5 [806019]: Cho cấp số cộng có công sai và Khi đó tổng 20 số hạng đầu tiên là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức tính tổng số hạng đầu của cấp số cộng để xác định , sau đó tính tổng cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có

Mà nên
Theo giả thiết



Ta có


🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 6 [396702]: Biết rằng Tổng các giá trị của có thể nhận bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Tính tích phân theo cận, sau đó so sánh với biểu thức đã cho để lập phương trình tìm .
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có

Mà theo giả thiết




Tổng các giá trị của là
🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 7 [1079818]: Cho hàm số có đạo hàm Số điểm cực đại của hàm số đã cho là
A, 2.
B, 3.
C, 4.
D, 1.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số có đạo hàm

Bảng biến thiên của hàm số
Hàm số có một điểm cực đại.
🔑 Chọn đáp án: 1. Đáp án: D
Câu 8 [1080040]: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số
Phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là:

Do đó đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 9 [1080158]: Đồ thị sau là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là và tiệm cận ngang
Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm có hoành độ dương.
Đồ thị sau là của hàm số
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: D
Câu 10 [1081564]: Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là một Parabol bậc hai (xem hình vẽ). Biết rằng khoảng cách đoạn Diện tích của chiếc gương bạn An mua là bao nhiêu
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: và nên
Gọi phương trình đường parabol là
Do nên suy ra và
Vậy
Diện tích chiếc gương là diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi đường parabol, trục hoành và hai đường thẳng là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: C
Câu 11 [1083079]: Trong không gian Oxyz, cho các điểm Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc trục Oz có bán kính bằng
A, 3.
B,
C, 2.
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt cầu đi qua hai điểm và có tâm thuộc trục Gọi là tâm của mặt cầu.
Mặt cầu đi qua và nên

Ta có:
Ta có:
Do đó

Vậy tâm mặt cầu là
Bán kính thỏa mãn:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Câu 12 [398925]: [Đề mẫu ĐGNL ĐHQG HN]: Trong không gian mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng điều kiện mặt phẳng chứa hai điểm và vuông góc với mặt phẳng đã cho để xác định vectơ pháp tuyến, sau đó viết phương trình mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Vì nên
Vì nên
Ta có và


Mặt phẳng đi qua điểm
Phương trình mặt phẳng là


🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 13 [325692]: Cho hình lập phương Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt đáy tính
A,
B,
C,
D,

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong hình hộp chữ nhật, xác định góc cần tính thông qua tam giác vuông và áp dụng hệ thức lượng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là trung điểm của
Ta có và


Đặt

Ta có
Xét tam giác vuông


🔑 Chọn đáp án: B Đáp án: B
Câu 14 [547600]: Khảo sát chiều cao của 31 bạn học sinh ( đơn vị cm), ta có bảng tần số ghép nhóm

Số trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trong bảng trên là:
A, .
B, .
C, .
D, .
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xác định nhóm chứa trung vị, sau đó áp dụng công thức tính trung vị cho bảng phân bố ghép lớp.
✒️ Lời giải chi tiết:
Nhóm chứa trung vị là nên đây là nhóm thứ
Ta có ,
Tổng tần số các nhóm trước là
Độ rộng lớp là
Tổng số quan sát là
Áp dụng công thức trung vị



🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 15 [1038534]: Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình. Xác suất để Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại 4 chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên 1 chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp 1 chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Gọi A là biến cố: “chiếc kéo thứ nhất là sô cô la đen”, B là biến cố: “chiếc kéo thứ hai là sô cô la đen”.
Khi đó xác suất Bình nhận được 2 chiếc kẹo sô cô la đen là:

🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 16 [579686]: [Đề mẫu HSA 2024]: Cô giáo có 12 phần quà gồm 4 phần loại và 8 phần loại được đựng trong 12 hộp kín giống nhau. Cô chia đều cho 3 bạn, mỗi bạn 4 phần quà. Xác suất để mỗi bạn đều nhận được cả hai loại quà là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi, từ đó tính xác suất cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu là

Do mỗi bạn đều nhận hai loại quà nên mỗi phần quà phải có cả loại I và loại II
Mà có món quà loại I nên phải có ít nhất bạn nhận món quà loại I
Số cách thuận lợi là



Xác suất cần tìm là

🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [1106137]: Cho hàm số có đồ thị là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Thực hiện phép chia đa thức để xác định tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, từ đó xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
Chia đa thức ta được
Xét mệnh đề a)
Vì nên đồ thị không có tiệm cận ngang
Mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Tiệm cận đứng là nghiệm của

Mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Tiệm cận xiên của đồ thị là
Giao điểm với là
Giao điểm với là
Diện tích tam giác là
Mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Tiệm cận xiên của đồ thị là
Mệnh đề d) sai
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai
Câu 18 [405679]: Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng và điểm
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để xét các tính chất hình học và áp dụng công thức khoảng cách, phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mệnh đề a)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là


Mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng
Vì nên một vectơ chỉ phương của là
cũng là vectơ chỉ phương của
Phương trình đường thẳng là



Mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Từ mệnh đề c) ta có phương trình đường thẳng là



Gọi
Vì nên




Tung độ của bằng
Mệnh đề d) sai
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [57147]: Trong không gian với hệ trục tọa độ khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: So sánh các tỉ số hệ số tương ứng để kết luận hai mặt phẳng song song, sau đó dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Chọn .
Vì .
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
.
🔑 Điền đáp án: 2
Câu 20 [1105894]: Cơ hội để X, Y và Z trở thành người quản lý của một công ty nhất định là Xác suất mà chế độ thưởng sẽ được đưa ra nếu X, Y và Z trở thành người quản lý lần lượt là 0,3; 0,5 và 0,4. Nếu cơ chế thưởng được áp dụng, xác suất để X được bổ nhiệm làm người quản lý là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Sử dụng xác suất tiên nghiệm từ tỉ lệ đã cho và áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện .
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo đề bài, tỉ lệ trở thành quản lý thỏa mãn .
Tổng số phần bằng nhau là .
Xác suất có thưởng tương ứng là .
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
.
.
.
Áp dụng công thức Bayes:
.
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1106138]: Một lớp có 16 học sinh nữ, còn lại là học sinh nam. Trong giờ giáo dục thể chất thầy giáo khảo sát kết quả rèn luyện thể lực của học sinh bằng cách bốc thăm trong danh sách lớp để chọn hai bạn chạy tiếp sức. Biết xác suất để chọn được hai bạn tham gia khảo sát đều là nữ bằng Lớp đó có bao nhiêu học sinh?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: Gọi các biến cố tương ứng, biểu diễn xác suất chọn hai bạn nữ theo xác suất có điều kiện, từ đó lập phương trình tìm số học sinh của lớp.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là biến cố: “Lần thứ nhất chọn được bạn nữ”.
Gọi là biến cố: “Lần thứ hai chọn được bạn nữ”.
Gọi là biến cố: “Chọn được hai bạn tham gia khảo sát đều là nữ”.
Theo đề bài ta có .
Gọi số học sinh của lớp là .
Theo đề bài ta có và .
Do .
.
.
(loại nghiệm âm).
🔑 Điền đáp án: học sinh
Câu 22 [1080292]: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C. Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm trên bờ gần đảo C nhất là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (tham khảo hình vẽ). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km.

Người đó phải đi đường bộ bao nhiêu km để kinh phí nhỏ nhất?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số thập phân ”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Khoảng cách từ đảo đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo nhất là 40 km.
Kết hợp với hình vẽ:
Đặt
Kết hợp với dữ kiện: Kinh phí đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km.
Kinh phí người đó phải bỏ là
Khảo sát hàm số trên ta được:


Chi phí nhỏ nhất cần phải bỏ khi người đó đi bộ và chi phí thấp nhất là 160 USD.
🔑 Điền đáp án: 32,5.
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1106139]: Giả sử và là các số dương sao cho Tìm các giá trị p và q.

💡 Phương pháp: Đặt ẩn phụ là giá trị chung của các logarit, đưa bài toán về phương trình mũ, sau đó giải phương trình bằng cách đặt ẩn trung gian.
✒️ Lời giải chi tiết:
Đặt .
.
.
Chia hai vế cho ta được .
Mà .
Đặt .
.
Giải phương trình bậc hai ta được .
Suy ra .
Do đó , .
🔑 Điền đáp án:
Câu 24 [7760]: Cho hình chóp có và là hình vuông cạnh , khoảng cách đến là . Tính khoảng cách từ đến .

💡 Phương pháp: Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, kết hợp khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và tính chất tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có theo giao tuyến .
Trong kẻ , .
Suy ra .
Đặt . Ta có .
Theo đề bài .
Vì tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc nên
.
Thay , ta được
.
Do đó vuông cân tại nên .
Suy ra .
🔑 Điền đáp án:
Câu 25 [1081588]: Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m2. Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
✍️ Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Từ đường tròn đường kính và hình vuông cạnh suy ra , .
Suy ra các điểm đặc biệt: , , .
Parabol đi qua nên có dạng . Do đối xứng qua trục nên .
Thay tọa độ các điểm vào, suy ra phương trình parabol là .
Giao điểm của parabol với trục thỏa mãn .
Suy ra và .
Diện tích phần kính là .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục là
.
Chi phí sơn màu được tính theo công thức .
Thay số và tính toán thu được chi phí là triệu đồng.
🔑 Điền đáp án: .