A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1078908]: Cho hàm số 
xác định trên 
thỏa mãn 
Kết quả đúng là
xác định trên thỏa mãn Kết quả đúng là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức:
Suy ra
Kết hợp với dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức:
Suy ra
Kết hợp với dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 2 [1108473]: Bảng số liệu ghép nhóm dưới biểu diễn kết quả đọc được từ chiếc camera mà cảnh sát giao thông đã đặt để theo dõi tốc độ các xe ô tô lưu thông trên một quãng đường cao tốc.
Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ
Giá trị trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ
A, 93,5.
B, 84,5.
C, 80,4.
D, 91,4.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm, sau đó áp dụng công thức trung bình cộng có trọng số
.
✒️ Lời giải chi tiết:
Giá trị đại diện của nhóm
là 
.
Giá trị đại diện của nhóm
là 
.
Giá trị đại diện của nhóm
là 
.
Giá trị đại diện của nhóm
là 
.
Giá trị đại diện của nhóm
là 
.
Tổng tần số là
.
Tổng
.
Giá trị trung bình là
.
Làm tròn đến một chữ số thập phân được
.
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
💡 Phương pháp:
Tính giá trị đại diện cho mỗi nhóm, sau đó áp dụng công thức trung bình cộng có trọng số
.✒️ Lời giải chi tiết:
Giá trị đại diện của nhóm
là .Giá trị đại diện của nhóm
là .Giá trị đại diện của nhóm
là .Giá trị đại diện của nhóm
là .Giá trị đại diện của nhóm
là .Tổng tần số là
.Tổng
.Giá trị trung bình là
.Làm tròn đến một chữ số thập phân được
.🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [1108474]: Trong không gian Oxyz cho ba điểm 
và 
Điểm 
thoả mãn 
Tổng 
bằng
và Điểm thoả mãn Tổng bằng A, 3.
B, 5.
C, 7.
D, 9.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Chèn gốc toạ độ
vào các vectơ, đưa đẳng thức vectơ về dạng vectơ vị trí, từ đó suy ra toạ độ điểm cần tìm theo công thức trung bình cộng có trọng số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi
là gốc toạ độ. Từ đẳng thức 
, ta có:
.
Suy ra
.
Do đó
.
Suy ra
.
Điều này cho thấy toạ độ điểm
là trung bình cộng có trọng số của các điểm 
.
Hoành độ:
.
Tung độ:
.
Cao độ:
.
Vậy
.
Tổng
.
🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
💡 Phương pháp:
Chèn gốc toạ độ
vào các vectơ, đưa đẳng thức vectơ về dạng vectơ vị trí, từ đó suy ra toạ độ điểm cần tìm theo công thức trung bình cộng có trọng số.✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi
là gốc toạ độ. Từ đẳng thức , ta có:.Suy ra
.Do đó
.Suy ra
.Điều này cho thấy toạ độ điểm
là trung bình cộng có trọng số của các điểm .Hoành độ:
.Tung độ:
.Cao độ:
.Vậy
.Tổng
.🔑 Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 4 [975436]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình thoi tâm 
Biết rằng 
và 
Khẳng định nào sau đây là sai?
có đáy là hình thoi tâm Biết rằng và Khẳng định nào sau đây là sai? A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất tam giác cân để xác định các quan hệ vuông góc.
Kết hợp các điều kiện vuông góc để suy ra quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, từ đó suy ra quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Do tam giác
và 
cân tại 
nên 
và 
.
.Lại có
và 
nên 
.Suy ra
.Do đó hai mặt phẳng
và 
vuông góc với nhau.Vì vậy các khẳng định A, B và C đều đúng.
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 5 [1082193]: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm 
và đường thẳng 
Đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng 
có phương trình
và đường thẳng Đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đường tròn tâm
và tiếp xúc với đường thẳng 
Đường tròn tâm 
và tiếp xúc với đường thẳng 
có bán kính :
Vậy đường tròn có phương trình là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đường tròn tâm
và tiếp xúc với đường thẳng
Đường tròn tâm và tiếp xúc với đường thẳng có bán kính :Vậy đường tròn có phương trình là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 6 [8517]: Cho chóp 
có đáy 
là hình vuông cạnh 
. Tam giác 
đều cạnh 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy 
. Tính cot của góc giữa 
và 
.
có đáy là hình vuông cạnh . Tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính cot của góc giữa và . A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất tam giác đều và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tính các độ dài cần thiết rồi so sánh các tỉ số lượng giác của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi
là trung điểm của 
thì 
.
Mặt khác
nên giao tuyến 
.
Do
đều nên 
.
Ta có
.
Suy ra
.
Mà
.
🔑 Chọn đáp án: A.
Đáp án: A
💡 Phương pháp:
Sử dụng tính chất tam giác đều và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tính các độ dài cần thiết rồi so sánh các tỉ số lượng giác của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi
là trung điểm của thì .Mặt khác
nên giao tuyến .Do
đều nên .Ta có
.Suy ra
.Mà
.🔑 Chọn đáp án: A.
Đáp án: A
Câu 7 [56303]: Trong không gian 
cho hai điểm 
Mặt phẳng 
đi qua 
và chứa trục 
có phương trình là
cho hai điểm Mặt phẳng đi qua và chứa trục có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp:
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng từ tích có hướng của hai vectơ chỉ phương đã cho.
Sau đó viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã biết.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng
nhận 
làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có
và 
.
Suy ra
.
Mặt phẳng
đi qua 
nên có phương trình:
.
🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
💡 Phương pháp:
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng từ tích có hướng của hai vectơ chỉ phương đã cho.
Sau đó viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm đã biết.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng
nhận làm một vectơ pháp tuyến.Ta có
và .Suy ra
.Mặt phẳng
đi qua nên có phương trình:.🔑 Chọn đáp án: C. Đáp án: C
Câu 8 [1037521]: Một bánh xe có 
răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 
răng là
răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển răng là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bánh xe có 72 răng
Số đo tương ứng với 1 răng bánh xe là: 
Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: 
🔑 Chọn đáp án: 50°. Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bánh xe có 72 răng
Số đo tương ứng với 1 răng bánh xe là: Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: 🔑 Chọn đáp án: 50°. Đáp án: D
Câu 9 [1080156]: Đồ thị sau là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
tiệm cận ngang là 
Đồ thị hàm số đi qua điểm
Đồ thị trên là của hàm số
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
tiệm cận ngang là Đồ thị hàm số đi qua điểm
Đồ thị trên là của hàm số
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 10 [1079713]: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức 
(tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 
Khẳng định nào dưới đây là đúng về kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam theo công thức trên?
(tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 Khẳng định nào dưới đây là đúng về kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam theo công thức trên? A, Giảm trong các năm từ 2010 đến 2013 và tăng trong các năm từ năm 2013 đến 2017.
B, Giảm liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
C, Tăng trong các năm từ 2010 đến 2013 và giảm trong các năm từ năm 2013 đến 2017.
D, Tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức
(tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 
Xét các khẳng định:
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
🔑 Chọn đáp án: Tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017. Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức
(tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017 Xét các khẳng định:
Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
🔑 Chọn đáp án: Tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017. Đáp án: D
Câu 11 [1081233]: Nguyên hàm 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, Suy ra câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Với nguyên hàm của hàm phân thức có mẫu là đơn thức, ta chia từng hạng tử của tử số cho mẫu số để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản như
và 
.
Lời giải chi tiết: Xét tích phân
.
Ta thực hiện phép chia từng hạng tử:
.
Suy ra
.
Nguyên hàm của
là 
.
Nguyên hàm của
là 
.
Nguyên hàm của
là 
.
Do đó
.
Kết luận: Nguyên hàm cần tìm là
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Với nguyên hàm của hàm phân thức có mẫu là đơn thức, ta chia từng hạng tử của tử số cho mẫu số để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản như
và .Lời giải chi tiết: Xét tích phân
.Ta thực hiện phép chia từng hạng tử:
.Suy ra
.Nguyên hàm của
là .Nguyên hàm của
là .Nguyên hàm của
là .Do đó
.Kết luận: Nguyên hàm cần tìm là
.🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 12 [1038540]: Một cửa hàng sách ước lượng rằng trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Xác suất để người này không mua sách, biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng là
A, 0,5.
B, 0,25.
C, 0,75.
D, 0,65.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Một cửa hàng sách ước lượng rằng trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên.
• Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách.
Gọi A là biến cố “khách hàng hỏi nhân viên bán hàng”
B là biến cố “khách hàng mua sách”
Khi đó
và 
🔑 Chọn đáp án: 0,5. Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Một cửa hàng sách ước lượng rằng trong tổng số các khách hàng đến cửa hàng có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai điều trên.
• Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách.
Gọi A là biến cố “khách hàng hỏi nhân viên bán hàng”
B là biến cố “khách hàng mua sách”
Khi đó
và 🔑 Chọn đáp án: 0,5. Đáp án: A
Câu 13 [1079898]: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn 
Ta có 
bằng
trên đoạn Ta có bằng A, –14.
B, –24.
C, –37.
D, –57.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 
🔑 Chọn đáp án: –24. Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 🔑 Chọn đáp án: –24. Đáp án: B
Câu 14 [1078282]: Dân số của một thành phố trong các năm từ 2005 đến 2015 của một quốc gia được mô hình hóa bởi phương trình 
(nghìn người) với 
trong đó t đại diện cho năm, 
tương ứng với năm 2005. Năm đầu tiên số lượng dân số của thành phố đó đạt trên 720 nghìn người là năm bao nhiêu?
(nghìn người) với trong đó t đại diện cho năm, tương ứng với năm 2005. Năm đầu tiên số lượng dân số của thành phố đó đạt trên 720 nghìn người là năm bao nhiêu? A, 2012.
B, 2011.
C, 2013.
D, 2016.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
(nghìn người) với 
trong đó t đại diện cho năm, 
tương ứng với năm 2005.
Ta có:
Năm đầu tiên số lượng dân số của thành phố đó đạt trên 720 nghìn người là: 2012.
🔑 Chọn đáp án: 2012. Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
(nghìn người) với trong đó t đại diện cho năm, tương ứng với năm 2005. Ta có:
Năm đầu tiên số lượng dân số của thành phố đó đạt trên 720 nghìn người là: 2012.
🔑 Chọn đáp án: 2012. Đáp án: A
Câu 15 [1079176]: Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số 
trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound. Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là
trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound. Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là A, 0,84 pound/tháng.
B, 0,85 pound/tháng.
C, 0,86 pound/tháng.
D, 0,87 pound/tháng.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cân nặng trung bình của bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng tính theo hàm số
suy ra tốc độ thay đổi cân nặng 
bằng 
Với
suy ra 
pound/tháng.
🔑 Chọn đáp án: 0,86 pound/tháng. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cân nặng trung bình của bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng tính theo hàm số
suy ra tốc độ thay đổi cân nặng bằng
Với
suy ra pound/tháng.
🔑 Chọn đáp án: 0,86 pound/tháng. Đáp án: C
Câu 16 [1037321]: Bảng xét dấu sau là của biểu thức nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng xét dấu:
là nghiệm của phương trình 
là một tam thức bậc hai với 
🔑Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào bảng xét dấu:
là nghiệm của phương trình là một tam thức bậc hai với 🔑Chọn đáp án:
Đáp án: A Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [553991]: Cho hàm số 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Dựa vào tính chất của hàm số mũ, logarit và các phép biến đổi tương đương để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Vì tập giá trị của hàm số mũ luôn nằm trong khoảng
.
b) Sai. Ta có
.
c) Sai. Ta có
. Phương trình vô nghiệm 
mệnh đề sai.
d) Đúng. Ta có
. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
💡 Phương pháp: Dựa vào tính chất của hàm số mũ, logarit và các phép biến đổi tương đương để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng. Vì tập giá trị của hàm số mũ luôn nằm trong khoảng
.b) Sai. Ta có
.c) Sai. Ta có
. Phương trình vô nghiệm mệnh đề sai.d) Đúng. Ta có
. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
Câu 18 [161518]: Cho hai Parabol 
và 
có đồ thị như hình vẽ.
và có đồ thị như hình vẽ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức nguyên hàm, tích phân xác định và công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục tọa độ hoặc giữa hai đồ thị hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai. Ta có
.
b) Đúng. Giao điểm của Parabol
và trục hoành 
là nghiệm của phương trình 
. Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol 
, trục hoành và hai đường thẳng 
là 
.
c) Đúng. Hoành độ giao điểm của hai Parabol là nghiệm của phương trình
. Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai Parabol là 
.
d) Sai. Miền tô đậm trong hình vẽ được giới hạn bởi hai Parabol và hai đường thẳng
có diện tích 
.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức nguyên hàm, tích phân xác định và công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục tọa độ hoặc giữa hai đồ thị hàm số.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai. Ta có
.b) Đúng. Giao điểm của Parabol
và trục hoành là nghiệm của phương trình . Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol , trục hoành và hai đường thẳng là .c) Đúng. Hoành độ giao điểm của hai Parabol là nghiệm của phương trình
. Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai Parabol là .d) Sai. Miền tô đậm trong hình vẽ được giới hạn bởi hai Parabol và hai đường thẳng
có diện tích .🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1037482]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ. Có __________ cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ.
Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ. Có __________ cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên ”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ
Kết hợp với dữ kiện: Chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ
Số cách chọn nhóm có 3 học sinh từ 30 học sinh của lớp là:
(cách)
Số cách chọn nhóm có 3 học sinh mà không có học sinh nữ nào là:
(cách)
Số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ là:
(cách)
🔑 Điền đáp án: 2920.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một lớp học có 30 học sinh gồm 20 nam, 10 nữ
Kết hợp với dữ kiện: Chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ
Số cách chọn nhóm có 3 học sinh từ 30 học sinh của lớp là:
(cách)Số cách chọn nhóm có 3 học sinh mà không có học sinh nữ nào là:
(cách)Số cách chọn một nhóm 3 học sinh sao cho nhóm đó có ít nhất 1 học sinh là nữ là: (cách)🔑 Điền đáp án: 2920.
Câu 20 [1082801]: Trong hình vẽ, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là 
và 
độ mở của màn hình máy tính là bao nhiêu độ?
và độ mở của màn hình máy tính là bao nhiêu độ?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ: Độ mở của màn hình máy tính là góc
Kết hợp với dữ kiện: tam giác
có độ dài các cạnh là 
và 
theo định lý cosin trong tam giác ta có:
Suy ra
Vậy độ mở của màn hình máy tính là
🔑 Điền đáp án: 120.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ: Độ mở của màn hình máy tính là góc
Kết hợp với dữ kiện: tam giác
có độ dài các cạnh là và theo định lý cosin trong tam giác ta có:
Suy ra
Vậy độ mở của màn hình máy tính là
🔑 Điền đáp án: 120.
Câu 21 [1081303]: Một bể nước hình hộp chữ nhật cao 1 m và có đáy là hình vuông cạnh 2 m. Ban đầu bể đầy nước. Người ta mở một cái vòi ở đáy, nước chảy ra với tốc độ tỷ lệ thuận với căn bậc hai của độ cao của nước tại bất kì thời điểm nào. Giả sử độ cao của nước trong bể tại thời điểm t là 
và 
là thể tích của nước hiện tại sau t phút mở vòi thì ta có 
Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước?
và là thể tích của nước hiện tại sau t phút mở vòi thì ta có Biết rằng, mực nước giảm 19 cm sau 2 phút, sau bao nhiêu phút thì bể cạn nước?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy bể là
Thể tích nước tại thời điểm
là 
Suy ra
Theo đề bài
nên 
Suy ra
Tách biến:
Lấy nguyên hàm hai vế:
Ban đầu bể đầy nước nên
Suy ra
nên 
Vậy
Sau 2 phút, mực nước giảm 19 cm nên
Thay vào ta được:
Suy ra
nên 
Bể cạn nước khi
Khi đó
Suy ra
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích đáy bể là
Thể tích nước tại thời điểm
là
Suy ra
Theo đề bài
nên
Suy ra
Tách biến:
Lấy nguyên hàm hai vế:
Ban đầu bể đầy nước nên
Suy ra
nên
Vậy
Sau 2 phút, mực nước giảm 19 cm nên
Thay vào ta được:
Suy ra
nên
Bể cạn nước khi
Khi đó
Suy ra
🔑 Điền đáp án:
Câu 22 [1080205]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất thích hợp vào chỗ trống.
Ở ngoài vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị và hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ toạ độ Oxy, với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số
Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất.
Độ dài tuyến cáp treo là __________ km.
Ở ngoài vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị và hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ toạ độ Oxy, với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số
Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất.Độ dài tuyến cáp treo là __________ km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Xét trong hệ toạ độ Oxy, với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số
Gọi
là điểm thuộc đường bao của khu đô thị.
Giả sử độ dài của cáp treo là
Xét hàm số
trên khoảng 
Bảng biến thiên:
Kết hợp với dữ kiện: Tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất.
Độ dài tuyến cáp treo là 2,2 km.
🔑 Điền đáp án: 2,2.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Xét trong hệ toạ độ Oxy, với đơn vị tương ứng 1 km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng một phần của đồ thị hàm số
Gọi
là điểm thuộc đường bao của khu đô thị. Giả sử độ dài của cáp treo là
Xét hàm số
trên khoảng Bảng biến thiên:
Kết hợp với dữ kiện: Tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất.
Độ dài tuyến cáp treo là 2,2 km.🔑 Điền đáp án: 2,2.
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1078459]: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 
là bao nhiêu?
là bao nhiêu?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bất phương trình
Điều kiện xác định:
Ta có:
Lập bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
; nghiệm nguyên 
Vậy có 99 giá trị nguyên
Dựa vào dữ kiện: Bất phương trình
Điều kiện xác định:
Ta có:
Lập bảng xét dấu:
Tập nghiệm của bất phương trình là:
; nghiệm nguyên Vậy có 99 giá trị nguyên
Câu 24 [1081521]: Cho hình thang cong 
giới hạn bởi các đường 
Đường thẳng 
với 
chia 
thành hai phần là 
và 
quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là 
và 
Xác định k để 
(viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
giới hạn bởi các đường Đường thẳng với chia thành hai phần là và quay quanh trục Ox ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là và Xác định k để (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
🔑 Đáp án:
Ta có
🔑 Đáp án:
Câu 25 [1108476]: Trong không gian toạ độ Oxyz cho ba điểm 
và mặt phẳng 
có phương trình 
Gọi 
nằm trên mặt phẳng 
sao cho 
nhỏ nhất. Tính giá trị của 
và mặt phẳng có phương trình Gọi nằm trên mặt phẳng sao cho nhỏ nhất. Tính giá trị của
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh cần trình bày đầy đủ các bước để đạt điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Sử dụng tính chất điểm trọng tâm vectơ để tìm điểm
sao cho biểu thức vectơ được rút gọn, sau đó đưa bài toán về việc tìm hình chiếu vuông góc của 
lên mặt phẳng 
.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi điểm
thỏa mãn 
.
.
Suy ra toạ độ điểm
là 
, 
, 
.
.
Xét biểu thức
.
Ta biến đổi
, 
, 
.
Thay vào biểu thức ta được
.
Do
nên 
.
Suy ra
nhỏ nhất 
nhỏ nhất.
là hình chiếu vuông góc của 
lên mặt phẳng 
.
Phương trình đường thẳng
là 
.
Giao điểm của
với 
là 
Suy ra:
🔑 Đáp án:
💡 Phương pháp: Sử dụng tính chất điểm trọng tâm vectơ để tìm điểm
sao cho biểu thức vectơ được rút gọn, sau đó đưa bài toán về việc tìm hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi điểm
thỏa mãn ..Suy ra toạ độ điểm
là , , ..Xét biểu thức
.Ta biến đổi
, , .Thay vào biểu thức ta được
.Do
nên .Suy ra
nhỏ nhất nhỏ nhất. là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .Phương trình đường thẳng
là .Giao điểm của
với là
Suy ra:
🔑 Đáp án: