A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1037523]: Tìm góc lượng giác được biểu diễn như trong hình vẽ bên.
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức: khái niệm góc lượng giác và số đo góc lượng giác
Dựa vào hình vẽ:

Tia OA quay cùng chiều kim đồng hồ đết OB và quét được một cung có số đo góc lượng giác bằng: 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức: khái niệm góc lượng giác và số đo góc lượng giác
Dựa vào hình vẽ:

Tia OA quay cùng chiều kim đồng hồ đết OB và quét được một cung có số đo góc lượng giác bằng: 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 2 [1038180]: Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại di động trong một ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Số học sinh có thời gian sử dụng điện thoại dưới 80 phút là

Số học sinh có thời gian sử dụng điện thoại dưới 80 phút là
A, 27.
B, 36.
C, 6.
D, 10.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Số học sinh có thời gian sử dụng điện thoại dưới 80 phút là:
(học sinh).
🔑 Chọn đáp án: 36. Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện ở bảng:
Số học sinh có thời gian sử dụng điện thoại dưới 80 phút là:
(học sinh).🔑 Chọn đáp án: 36. Đáp án: B
Câu 3 [1081234]: Khẳng định nào sau đây đúng?
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, Suy ra câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng hằng đẳng thức, sau đó tính nguyên hàm từng số hạng bằng các công thức nguyên hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết: Xét tích phân
.
Khai triển biểu thức:
.
Do đó
.
Viết lại dưới dạng lũy thừa:
.
Suy ra
.
Nguyên hàm của
là
.
Nguyên hàm của
là
.
Nguyên hàm của
là
.
Do đó
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng hằng đẳng thức, sau đó tính nguyên hàm từng số hạng bằng các công thức nguyên hàm cơ bản.
Lời giải chi tiết: Xét tích phân
.Khai triển biểu thức:
.Do đó
.Viết lại dưới dạng lũy thừa:
.Suy ra
.Nguyên hàm của
là
.Nguyên hàm của
là
.Nguyên hàm của
là
.Do đó
.🔑 Chọn đáp án:

Đáp án: A
Câu 4 [1079173]: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
trong đó
t tính bằng giây và
tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11 m/s là
trong đó
t tính bằng giây và
tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11 m/s là A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Kết hợp với dữ kiện:
Do đó gia tốc của chuyển động là
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
Kết hợp với dữ kiện:
Do đó gia tốc của chuyển động là
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 5 [975439]: Cho hình chóp
có đáy là hình vuông và
Gọi
và
là đường cao trong tam giác
Khẳng định nào sau đây là đúng?
có đáy là hình vuông và
Gọi
và
là đường cao trong tam giác
Khẳng định nào sau đây là đúng? A, 

B, 

C, 

D, Cả 3 khẳng định trêu đều đúng.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng các quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, áp dụng định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và tính chất hai mặt phẳng vuông góc.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
nên mệnh đề A đúng.Do tính chất đối xứng, dễ thấy
nên mệnh đề C đúng.Ta có
.Lại có
.Mặt khác
.Suy ra
.🔑 Chọn đáp án: D Đáp án: D
Câu 6 [1082194]: Trong mặt phẳng Oxy, tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
là phương trình đường tròn là
là phương trình đường tròn là A, 

B,
hoặc 
hoặc 
C,
hoặc 
hoặc 
D,
hoặc 
hoặc 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
là phương trình đường tròn.
Ta có

Phương trình
là phương trình đường tròn 
hoặc 
🔑 Chọn đáp án:
hoặc
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Phương trình
là phương trình đường tròn.Ta có


Phương trình
là phương trình đường tròn 
hoặc 
🔑 Chọn đáp án:
hoặc
Đáp án: D
Câu 7 [1080157]: Đồ thị sau là của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số nhận
làm đường tiệm cận đứng và
làm đường tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số đi qua hai điểm
và
Đồ thị trên là đồ thị của hàm số
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào đồ thị hàm số:
Đồ thị hàm số nhận
làm đường tiệm cận đứng và
làm đường tiệm cận ngang.Đồ thị hàm số đi qua hai điểm
và
Đồ thị trên là đồ thị của hàm số

🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 8 [1078919]: Một vật rơi tự do theo phương trình
trong đó
là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong thời gian từ
đến
với
trong đó
là gia tốc trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong thời gian từ
đến
với
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức: Đại lượng
được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Suy ra vận tốc trung bình của chuyển động là:
Kết hợp với dữ kiện:
với
và
suy ra
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức: Đại lượng
được gọi là số gia tương ứng của hàm số.
Suy ra vận tốc trung bình của chuyển động là:
Kết hợp với dữ kiện:
với
và
suy ra
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 9 [324919]: Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh
Cạnh
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm của cạnh
góc giữa đường thẳng
và mặt đáy bằng
Côsin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy bằng
có đáy
là hình vuông cạnh
Cạnh
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là trung điểm của cạnh
góc giữa đường thẳng
và mặt đáy bằng
Côsin của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng đáy bằng A, 

B, 

C, 

D, 


📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông.
✒️ Lời giải chi tiết:
Theo giả thiết,
tại
.Mặt khác
.Xét
vuông tại
.
.Lại có
.Ta có
tại
.Xét
vuông tại
.🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
Câu 10 [1108478]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng
Tổng
bằng
qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng
Tổng
bằng A, -12.
B, 2.
C, -4.
D, -2.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Dựa vào điều kiện mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước để xác định vectơ pháp tuyến, sau đó viết phương trình mặt phẳng và đồng nhất hệ số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.
Vì mặt phẳng
chứa đường thẳng
và vuông góc với
nên
và
.
Do đó
.
.
.
Mặt phẳng
đi qua
nên có phương trình
.
.
.
Đề bài cho
nên ta nhân cả hai vế với
.
.
So sánh suy ra
.
🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
💡 Phương pháp: Dựa vào điều kiện mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước để xác định vectơ pháp tuyến, sau đó viết phương trình mặt phẳng và đồng nhất hệ số.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
.Vì mặt phẳng
chứa đường thẳng
và vuông góc với
nên
và
.Do đó
.
.
.Mặt phẳng
đi qua
nên có phương trình
.
.
.Đề bài cho
nên ta nhân cả hai vế với
.
.So sánh suy ra
.🔑 Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [1080229]: Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức
Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?
Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất? A, 4 giờ.
B, 3 giờ.
C, 1 giờ.
D, 2 giờ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức


Sau 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.
🔑 Chọn đáp án: 1 giờ. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức


Sau 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân cao nhất.
🔑 Chọn đáp án: 1 giờ. Đáp án: C
Câu 12 [1037324]: Cho hàm số bậc hai
có đồ thị như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?
có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số bậc hai
có đồ thị như hình vẽ
Kết hợp với hình vẽ:
• Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là 0 và 2
• Đồ thị hàm số ở dưới trục hoành khi
• Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi
🔑Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số bậc hai
có đồ thị như hình vẽKết hợp với hình vẽ:
• Đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên
• Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là 0 và 2
• Đồ thị hàm số ở dưới trục hoành khi

• Đồ thị hàm số nằm trên trục hoành khi

🔑Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 13 [1038541]: Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy có 90% gia đình có ti vi và 60% gia đình có máy tính bàn. Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này. Chọn ngẫu nhiên một gia đình. Xác suất gia đình đó có máy tính bàn trong nhóm các gia đình có ti vi là
A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy có 90% gia đình có tivi và 60% gia đình có máy tính bàn.
• Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này.
• Chọn ngẫu nhiên một gia đình.
Gọi A là biến cố: “ gia đình có ti vi” và B là biến cố “ gia đình có máy tính bàn”

Ta có:

🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Trong cuộc khảo sát 300 gia đình ở một khu vực, người ta nhận thấy có 90% gia đình có tivi và 60% gia đình có máy tính bàn.
• Mỗi gia đình đều có ít nhất một trong hai thiết bị này.
• Chọn ngẫu nhiên một gia đình.
Gọi A là biến cố: “ gia đình có ti vi” và B là biến cố “ gia đình có máy tính bàn”

Ta có:

🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 14 [1079899]: Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
là
trên đoạn
là A, 0.
B, 

C, 

D, e.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
Xét đoạn



🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số

Xét đoạn




🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 15 [1078285]: Học sinh trong một lớp toán đã làm một bài kiểm tra và sau đó làm lại bài kiểm tra hằng tháng với một bài kiểm tra tương đương để kiểm tra trí nhớ của học sinh đó. Điểm trung bình của học sinh đó được cho bởi mô hình trí nhớ con người theo hàm số
(a, b là số thực) với t là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bắt đầu làm bài kiểm tra. Thời điểm ban đầu điểm trung bình của học sinh trên là 80 điểm, sau thêm 9 tháng thì điểm trung bình còn 63 điểm. Vậy điểm trung bình của học sinh đó còn bao nhiêu sau 12 tháng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
(a, b là số thực) với t là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bắt đầu làm bài kiểm tra. Thời điểm ban đầu điểm trung bình của học sinh trên là 80 điểm, sau thêm 9 tháng thì điểm trung bình còn 63 điểm. Vậy điểm trung bình của học sinh đó còn bao nhiêu sau 12 tháng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? A, 61,1.
B, 61,2.
C, 61,3.
D, 61,0.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
(a, b là số thực) với t là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bắt đầu làm bài kiểm tra.
Kết hợp với dữ kiện: Thời điểm ban đầu điểm trung bình của học sinh trên là 80 điểm, sau thêm 9 tháng thì điểm trung bình còn 63 điểm.





🔑 Chọn đáp án: 61,1. Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
(a, b là số thực) với t là thời gian tính bằng tháng kể từ thời điểm bắt đầu làm bài kiểm tra. Kết hợp với dữ kiện: Thời điểm ban đầu điểm trung bình của học sinh trên là 80 điểm, sau thêm 9 tháng thì điểm trung bình còn 63 điểm.





🔑 Chọn đáp án: 61,1. Đáp án: A
Câu 16 [1108483]: Trong không gian Oxyz cho ba điểm 
và
Điểm
là toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tổng
bằng

và
Điểm
là toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tổng
bằng A, 3.
B, 5.
C, 4.
D, 6.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Tính độ dài các cạnh để xác định tính chất tam giác, sau đó áp dụng công thức tọa độ tâm đường tròn nội tiếp và tính tổng các tọa độ.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.
.
Ta có
vuông tại
.
Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp
được xác định bởi công thức
.
Chu vi tam giác là
.
Hoành độ
.
Tung độ
.
Cao độ
.
Suy ra
.
🔑 Chọn đáp án B. Đáp án: B
💡 Phương pháp: Tính độ dài các cạnh để xác định tính chất tam giác, sau đó áp dụng công thức tọa độ tâm đường tròn nội tiếp và tính tổng các tọa độ.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
.
.Ta có
vuông tại
.Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp
được xác định bởi công thức
.Chu vi tam giác là
.Hoành độ
.Tung độ
.Cao độ
.Suy ra
.🔑 Chọn đáp án B. Đáp án: B
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [553992]: Gọi
là tập nghiệm của phương trình
là tập nghiệm của phương trình
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Đưa phương trình về dạng đại số bằng cách đặt ẩn phụ
, giải phương trình bậc hai theo
, sau đó suy ra nghiệm theo
và xét các mệnh đề liên quan.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
Đặt
, ta được
.
hoặc
.
hoặc
.
Suy ra mệnh đề a đúng.
Với phép đặt
, ta được phương trình
là phương trình bậc hai theo
, không phải bậc nhất nên mệnh đề b sai.
Tổng các phần tử của tập nghiệm
là
.
.
Suy ra mệnh đề c đúng.
Tích các phần tử của tập nghiệm
là
.
Suy ra mệnh đề d sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
💡 Phương pháp: Đưa phương trình về dạng đại số bằng cách đặt ẩn phụ
, giải phương trình bậc hai theo
, sau đó suy ra nghiệm theo
và xét các mệnh đề liên quan.✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.Đặt
, ta được
.
hoặc
.
hoặc
.Suy ra mệnh đề a đúng.
Với phép đặt
, ta được phương trình
là phương trình bậc hai theo
, không phải bậc nhất nên mệnh đề b sai.Tổng các phần tử của tập nghiệm
là
.
.Suy ra mệnh đề c đúng.
Tích các phần tử của tập nghiệm
là
.Suy ra mệnh đề d sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Câu 18 [161519]: Parabol
tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm
như hình vẽ bên.
tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm
như hình vẽ bên.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản, điều kiện tiếp xúc giữa parabol và đường thẳng, phương trình hoành độ giao điểm và công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có
mệnh đề a đúng.
b) Parabol
tiếp xúc với đường thẳng
khi hệ
có nghiệm.
Ta có
.
mệnh đề b sai.
c) Hoành độ giao điểm của
và trục hoành là nghiệm của
.
Diện tích hình phẳng là
mệnh đề c sai.
d) Hoành độ giao điểm của
và
là nghiệm của
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,
,
,
là
mệnh đề d sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
💡 Phương pháp: Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản, điều kiện tiếp xúc giữa parabol và đường thẳng, phương trình hoành độ giao điểm và công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có
mệnh đề a đúng.b) Parabol
tiếp xúc với đường thẳng
khi hệ
có nghiệm.Ta có
.
mệnh đề b sai.c) Hoành độ giao điểm của
và trục hoành là nghiệm của
.Diện tích hình phẳng là
mệnh đề c sai.d) Hoành độ giao điểm của
và
là nghiệm của
.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
,
,
,
là
mệnh đề d sai.🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1082798]: Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác vuông,
cạnh bên
vuông góc với đáy. Góc nhị diện
có số đo là
Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
có đáy
là tam giác vuông,
cạnh bên
vuông góc với đáy. Góc nhị diện
có số đo là
Khi đó giá trị của
bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: là hình lăng trụ đứng và đáy
vuông cân tại
nên
và
suy ra
do đó 
Xét hai mặt phẳng
và
có giao tuyến
và
suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện
là 
Kết hợp với dữ kiện:
và cạnh bên
nên xét tam giác
vuông tại
ta có

🔑 Điền đáp án: 1,41.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: là hình lăng trụ đứng và đáy
vuông cân tại
nên
và
suy ra
do đó 
Xét hai mặt phẳng
và
có giao tuyến
và
suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện
là 
Kết hợp với dữ kiện:
và cạnh bên
nên xét tam giác
vuông tại
ta có

🔑 Điền đáp án: 1,41.
Câu 20 [1081304]: Một miếng thịt nướng được lấy ra khỏi ngăn đá của tủ lạnh và để trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của miếng thịt nướng khi nó được lấy ra khỏi ngăn đá là –4°C và t giờ sau đó, nhiệt độ của miếng thịt nướng tăng với tốc độ
°C/giờ. Nhiệt độ của miếng thịt sau 2 giờ là bao nhiêu °C (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
°C/giờ. Nhiệt độ của miếng thịt sau 2 giờ là bao nhiêu °C (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
Suy ra
Khi lấy ra khỏi ngăn đá thì
và
Thay vào ta được
Suy ra
Vậy
Nhiệt độ sau 2 giờ:

✍️ Điền đáp án: 6,1
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
Suy ra
Khi lấy ra khỏi ngăn đá thì
và
Thay vào ta được
Suy ra
Vậy
Nhiệt độ sau 2 giờ:

✍️ Điền đáp án: 6,1
Câu 21 [1080206]: Điền một số thập phân thích hợp vào chỗ trống.
Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
với đơn vị trên hệ trục tọa độ là 1 km.

Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm
Khinh khí cầu đã đi qua điểm cực đại và cách mặt đất 3875 m thì khinh khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang __________ km.
Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
với đơn vị trên hệ trục tọa độ là 1 km.
Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm
Khinh khí cầu đã đi qua điểm cực đại và cách mặt đất 3875 m thì khinh khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang __________ km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số thập phân”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Dựa vào dữ kiện: Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất, do đó gọi
là đường đi của khinh khí cầu.
Khi đó:

Kết hợp với dữ kiện:
+) Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
nên:

+) Đồ thị có điểm cực đại là
nên


Cách 2:
Dựa vào dữ kiện: Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
do đó gọi
là đường đi của khinh khí cầu.
📒 Nhắc lại kiến thức: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hamg số là
Kết hợp với dữ kiện: Đồ thị có điểm cực đại là
nên đường thẳng này đi qua điểm
suy ra


Dựa vào dữ kiện: Khinh khí cầu cách mặt đất
nên


Do khinh khí cầu đi qua điểm cực đại nên
suy ra 
Vậy khinh khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Dựa vào dữ kiện: Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất, do đó gọi
là đường đi của khinh khí cầu. Khi đó:

Kết hợp với dữ kiện:
+) Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
nên:

+) Đồ thị có điểm cực đại là
nên


Cách 2:
Dựa vào dữ kiện: Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một phần của đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là
và
do đó gọi
là đường đi của khinh khí cầu. 📒 Nhắc lại kiến thức: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hamg số là

Kết hợp với dữ kiện: Đồ thị có điểm cực đại là
nên đường thẳng này đi qua điểm
suy ra


Dựa vào dữ kiện: Khinh khí cầu cách mặt đất
nên 

Do khinh khí cầu đi qua điểm cực đại nên
suy ra 
Vậy khinh khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang

🔑 Điền đáp án:
Câu 22 [1037489]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Cho một lưới gồm các ô vuông kích thước
như hình vẽ sau đây. Một người đi từ A đến B theo quy tắc: chỉ đi trên cạnh của các ô vuông theo chiều từ trái qua phải hoặc từ dưới lên trên.

Có __________ đường đi khác nhau để người đó đi từ A đến B và đi qua điểm C.
Cho một lưới gồm các ô vuông kích thước
như hình vẽ sau đây. Một người đi từ A đến B theo quy tắc: chỉ đi trên cạnh của các ô vuông theo chiều từ trái qua phải hoặc từ dưới lên trên.
Có __________ đường đi khác nhau để người đó đi từ A đến B và đi qua điểm C.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên ”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Lưới gồm các ô vuông kích thước 10 × 6
Giả sử điểm A có tọa độ


Để đi từ
đến
người đó phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên
Số con đường đi từ A đến C là:
(đường)
Để đi từ
đến
người đó phải đi 5 bước sang phải và 2 bước lên trên
Số con đường đi từ C đến B là:
(đường)
Số con đường đi từ A đến C là:
(đường)
🔑 Điền đáp án: 2646.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Lưới gồm các ô vuông kích thước 10 × 6
Giả sử điểm A có tọa độ



Để đi từ
đến
người đó phải đi 5 bước sang phải và 4 bước lên trên
Số con đường đi từ A đến C là:
(đường)Để đi từ
đến
người đó phải đi 5 bước sang phải và 2 bước lên trên
Số con đường đi từ C đến B là:
(đường)
Số con đường đi từ A đến C là:
(đường)🔑 Điền đáp án: 2646.
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1078457]: Bất phương trình
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bất phương trình
Điều kiện xác định:
Vì
cùng dấu với
nên:



Lập bảng xét dấu cho

Suy ra
Kết hợp
Phương trình có 6 nghiệm nguyên.
Dựa vào dữ kiện: Bất phương trình
Điều kiện xác định:
Vì
Lập bảng xét dấu cho

Suy ra
Kết hợp
Câu 24 [1081525]: Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy 
thì mặt cắt là hình tròn có bán kính 

Tính dung tích của chậu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của

thì mặt cắt là hình tròn có bán kính 

Tính dung tích của chậu (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của
✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích mặt cắt là


Suy ra dung tích của chậu là





🔑 Đáp án:
Diện tích mặt cắt là



Suy ra dung tích của chậu là





🔑 Đáp án:
Câu 25 [1108484]: Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng
có phương trình
và 2 điểm 
Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất.
có phương trình
và 2 điểm 
Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng
sao cho
nhỏ nhất.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh cần trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Xét vị trí tương đối của các điểm đối với mặt phẳng
bằng cách dùng hàm số bậc nhất
.
Sử dụng phương pháp đối xứng qua mặt phẳng để đưa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài về bài toán đoạn thẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Kí hiệu
.
Ta có
nằm cùng phía đối với mặt phẳng
.
Gọi
là điểm đối xứng của
qua mặt phẳng
.
Khi đó
, dấu bằng xảy ra
thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng
là
.
Gọi
, khi đó
.
Vì
.
Suy ra
.
Phương trình đường thẳng
là
,
,
.
Giao điểm
.
Do đó
.
🔑 Đáp án:
💡 Phương pháp:
Xét vị trí tương đối của các điểm đối với mặt phẳng
bằng cách dùng hàm số bậc nhất
.Sử dụng phương pháp đối xứng qua mặt phẳng để đưa bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài về bài toán đoạn thẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Kí hiệu
.Ta có
nằm cùng phía đối với mặt phẳng
.Gọi
là điểm đối xứng của
qua mặt phẳng
.Khi đó
, dấu bằng xảy ra
thẳng hàng.Phương trình đường thẳng
là
.Gọi
, khi đó
.Vì
.Suy ra
.Phương trình đường thẳng
là
,
,
.Giao điểm
.Do đó
.🔑 Đáp án: