A. TÔ TRÊN PHIẾU TRẢ LỜI TRẮC NGHIỆM Phần I (4 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 16. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1 [1083076]: Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là 
và bán kính 
Phương trình mặt cầu đó là
và bán kính Phương trình mặt cầu đó là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt cầu có tâm
và bán kính 
nên có phương trình là
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt cầu có tâm
và bán kính nên có phương trình là
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 2 [1079712]: Hàm số 
đồng biến trên khoảng nào?
đồng biến trên khoảng nào? A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
và 
khi 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hàm số
và khi Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 3 [1079071]: Tính đạo hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức:
Dựa vào dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức:
Dựa vào dữ kiện:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 4 [1082811]: Cho hình chóp 
có đáy là hình vuông cạnh 
Các mặt bên 
cùng vuông góc với mặt đáy 
Khi đó khoảng cách từ 
đến mặt 
là
có đáy là hình vuông cạnh Các mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy Khi đó khoảng cách từ đến mặt là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt bên
cùng vuông góc với mặt đáy 
nên 
Kẻ
Có
Do đó
vì vậy 
Kết hợp với dữ kiện:
và đáy 
là hình vuông cạnh 
nên xét tam giác 
vuông tại 
có đường cao 
ta được:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt bên
cùng vuông góc với mặt đáy nên
Kẻ
Có
Do đó
vì vậy
Kết hợp với dữ kiện:
và đáy là hình vuông cạnh nên xét tam giác vuông tại có đường cao ta được:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 5 [1081250]: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”, nên câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
📌 Phương pháp: Tách hàm số thành tổng các hàm quen thuộc và áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản của hàm logarit và hàm lũy thừa.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
.
Áp dụng công thức nguyên hàm
.
Áp dụng công thức nguyên hàm
với 
.
Ta được
.
Cộng các nguyên hàm lại, suy ra
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
📌 Phương pháp: Tách hàm số thành tổng các hàm quen thuộc và áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản của hàm logarit và hàm lũy thừa.
✍️ Hướng dẫn giải:
Ta có
. Áp dụng công thức nguyên hàm
. Áp dụng công thức nguyên hàm
với . Ta được
. Cộng các nguyên hàm lại, suy ra
.🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 6 [1082718]: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c trong đó a song song với b. Khẳng định nào sau đây sai?
A, Tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng a và b.
B, Nếu b song song với c thì a song song với c.
C, Nếu điểm A thuộc a và điểm B thuộc b thì ba đường thẳng a, b và AB cùng ở trên một mặt phẳng.
D, Nếu c cắt a thì c cắt b.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Mệnh đề “nếu
cắt 
thì 
cắt 
” là mệnh đề sai, vì 
và 
có thể chéo nhau.
🔑 Chọn đáp án: Nếu
cắt 
thì 
cắt 
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Mệnh đề “nếu
cắt thì cắt ” là mệnh đề sai, vì và có thể chéo nhau.
🔑 Chọn đáp án: Nếu
cắt thì cắt
Đáp án: D
Câu 7 [8652]: Cho tứ diện đều 
cạnh 
. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng 
và 
với 
là trung điểm của 
.
cạnh . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng và với là trung điểm của . A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Sử dụng quan hệ song song để chuyển góc giữa đường thẳng và mặt phẳng về góc giữa hai đường thẳng, sau đó áp dụng định lý cosin trong tam giác để tính giá trị cosin của góc cần tìm.
✒️Lời giải chi tiết:
Gọi
là trung điểm của 
.Ta có
.
.Mà
.Áp dụng định lý cosin trong
, ta có:
.
.Suy ra
.
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
Câu 8 [1062588]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho bốn điểm 
và 
Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
và 
Tọa độ trung điểm 
của 
là
cho bốn điểm và Gọi lần lượt là trung điểm của và Tọa độ trung điểm của là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bốn điểm
và 
Điểm
là trung điểm của 
có:
•
•
•
Điểm
là trung điểm của 
có:
•
•
•
Điểm
là trung điểm của 
có:
•
•
•
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Bốn điểm
và Điểm
là trung điểm của có:•
•
•
Điểm
là trung điểm của có:•
•
•
Điểm
là trung điểm của có:•
•
•
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: A
Câu 9 [1081537]: Một máy bay Boeing đang chạy đều trên đường băng để chuẩn bị cất cánh với vận tốc là 
thì phi công (người lái máy bay) nhận được lệnh hủy cất cánh vì có sự cố ở cuối đường băng, ngay lập tức phi công kích hoạt hệ thống phanh để dừng máy bay lại. Kể từ lúc đó máy bay chạy chậm dần đều với vận tốc 
trong đó t là thời gian tính bằng giờ kể từ lúc phanh. Biết rằng từ lúc phanh đến khi dừng hẳn máy bay di chuyển được 1,5 km. Vận tốc 
của máy bay trước khi phanh là (kết quả làm tròn một chữ số thập phân)
thì phi công (người lái máy bay) nhận được lệnh hủy cất cánh vì có sự cố ở cuối đường băng, ngay lập tức phi công kích hoạt hệ thống phanh để dừng máy bay lại. Kể từ lúc đó máy bay chạy chậm dần đều với vận tốc trong đó t là thời gian tính bằng giờ kể từ lúc phanh. Biết rằng từ lúc phanh đến khi dừng hẳn máy bay di chuyển được 1,5 km. Vận tốc của máy bay trước khi phanh là (kết quả làm tròn một chữ số thập phân) A, 153,2 km/h.
B, 163,2 km/h.
C, 173,2 km/h.
D, 183,2 km/h.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” 
chọn một trong bốn đáp án.
✍️ Hướng dẫn giải:
Máy bay dừng khi
(giờ)
Quãng đường dừng:
km
Biết
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
chọn một trong bốn đáp án.✍️ Hướng dẫn giải:
Máy bay dừng khi
(giờ)Quãng đường dừng:
kmBiết
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 10 [163889]: Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 
vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí 
trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 
về hướng 
hướng tạo với hướng nam góc 
và tạo với hướng đông góc 
(Hình vẽ). Chọn hệ trục 
có gốc toạ độ là 
tia 
chỉ hướng nam, tia 
chỉ hướng đông, tia 
chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét là 
vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột về hướng hướng tạo với hướng nam góc và tạo với hướng đông góc (Hình vẽ). Chọn hệ trục có gốc toạ độ là tia chỉ hướng nam, tia chỉ hướng đông, tia chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Xác định tọa độ hai điểm
, lập vectơ chỉ phương của đường thẳng 
, từ đó viết phương trình chính tắc của đường thẳng và đối chiếu với các phương án cho trước.
✒️Lời giải chi tiết:
Ta có
, 
.
.
Suy ra
.
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng
là 
.
Phương trình đường thẳng
là 
.
So sánh với các phương án, ta chọn được đáp án phù hợp.
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
💡 Phương pháp: Xác định tọa độ hai điểm
, lập vectơ chỉ phương của đường thẳng , từ đó viết phương trình chính tắc của đường thẳng và đối chiếu với các phương án cho trước.✒️Lời giải chi tiết:
Ta có
, ..Suy ra
.Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng
là .Phương trình đường thẳng
là .So sánh với các phương án, ta chọn được đáp án phù hợp.
🔑 Chọn đáp án: A Đáp án: A
Câu 11 [1077519]: Tổng của cấp số nhân vô hạn 
là
là A, 
B, 1.
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số nhân vô hạn
Cấp số nhân đã cho có
và công bội 
có tổng 
số hạng đầu là
Tổng của dãy số này bằng:
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số nhân vô hạn
Cấp số nhân đã cho có
và công bội có tổng số hạng đầu là Tổng của dãy số này bằng:
.🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 12 [1079183]: Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức 
trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tốc độ thay đổi nhiệt độ ở thời điểm 
là
trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tốc độ thay đổi nhiệt độ ở thời điểm là A, 0,4°F/ngày.
B, 0,6°F/ngày.
C, 0,8°F/ngày.
D, 0,2°F/ngày.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
suy ra phương tình tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm 
giây là 
Với
suy ra nhiệt độ thay đổi với tốc độ là 
°F/ngày.
🔑 Chọn đáp án: 0,8°F/ngày. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
suy ra phương tình tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm giây là
Với
suy ra nhiệt độ thay đổi với tốc độ là °F/ngày.
🔑 Chọn đáp án: 0,8°F/ngày. Đáp án: C
Câu 13 [1080192]: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số
📒 Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là 
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đồ thị hàm số
📒 Áp dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
là: 🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: B
Câu 14 [1081489]: Tính thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 
và 
biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 
thì được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng 
và biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ thì được thiết diện là hình vuông có cạnh bằng A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.
✍️ Hướng dẫn giải:
Vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng
và 
.
Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ 
với 
thì thiết diện thu được là hình vuông có cạnh 
.
Diện tích thiết diện tại vị trí 
là 
.
Thể tích của vật thể được tính theo công thức
.
.
.
.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”.✍️ Hướng dẫn giải:
Vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng
và .Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục
tại điểm có hoành độ với thì thiết diện thu được là hình vuông có cạnh . Diện tích thiết diện tại vị trí là .Thể tích của vật thể được tính theo công thức
....🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
Câu 15 [1038610]: Tỷ lệ sản phẩm tốt của máy thứ nhất là 99%, của máy thứ hai là 98%. Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của máy thứ nhất và 60% sản phẩm của máy thứ hai. Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểm tra thấy là sản phẩm tốt. Xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất là
A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tỷ lệ sản phẩm tốt của máy thứ nhất là 99%, của máy thứ hai là 98%.
• Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của máy thứ nhất và 60% sản phẩm của máy thứ hai.
• Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểm tra thấy là sản phẩm tốt.
Gọi A là biến cố “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”
B là biến cố “Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất”.
là biến cố “Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất”.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tỷ lệ sản phẩm tốt của máy thứ nhất là 99%, của máy thứ hai là 98%.
• Một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của máy thứ nhất và 60% sản phẩm của máy thứ hai.
• Người ta lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểm tra thấy là sản phẩm tốt.
Gọi A là biến cố “Sản phẩm kiểm tra là sản phẩm tốt”
B là biến cố “Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất”.
là biến cố “Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất”. 🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 16 [1025561]: Bạn Huy cần mở chiếc va li có khoá số của mình nhưng lại quên mật khẩu. Mật khẩu để mở va li là một dãy gồm 4 chữ số. Nếu bạn Huy định thử lần lượt từng dãy số trong những dãy có thể xảy ra thì thời gian cần thiết để mở va li tối đa là bao lâu biết mỗi lần nhập dãy số mất 3 giây và thời gian giữa hai lần thử coi như không đáng kể? (kết quả làm tròn tới chữ số thập phân thứ nhất).
A, 8,3 giờ.
B, 8,4 giờ.
C, 83,3 phút.
D, 50 giờ.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mật khẩu để mở va li là một dãy gồm 4 chữ số
Nếu bạn Huy định thử lần lượt từng dãy số trong những dãy có thể xảy ra thì bạn ấy phải thử: 
(lần)
Kết hợp với dữ kiện: Mỗi lần nhập dãy số mất 3 giây và thời gian giữa hai lần thử coi như không đáng kể
Thời gian bạn Huy cần để thử hết 6561 lần là: 
(giây) 
(giờ)
🔑 Chọn đáp án: 8,3 giờ. Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mật khẩu để mở va li là một dãy gồm 4 chữ số
Nếu bạn Huy định thử lần lượt từng dãy số trong những dãy có thể xảy ra thì bạn ấy phải thử: (lần)Kết hợp với dữ kiện: Mỗi lần nhập dãy số mất 3 giây và thời gian giữa hai lần thử coi như không đáng kể
Thời gian bạn Huy cần để thử hết 6561 lần là: (giây) (giờ)🔑 Chọn đáp án: 8,3 giờ. Đáp án: A
Phần II (2 điểm). Thí sinh trả lời câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 17 [382825]: Một cốc chứa 
dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 
Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 
được trộn vào cốc. Gọi nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn 
từ bình chứa, kí hiệu là 
dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ được trộn vào cốc. Gọi nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn từ bình chứa, kí hiệu là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Lập biểu thức khối lượng và thể tích dung dịch sau khi trộn, xây dựng hàm nồng độ
, giải phương trình, xét đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.
✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là 
Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là 
Nồng độ
trong cốc sau khi trộn 
từ bình chứa là 
b) Sai.
c) Sai.
Vậy
là hàm số nghịch biến trên 
d) Đúng.
Vì
và 
nên nồng độ 
trong cốc giảm theo 
nhưng luôn lớn hơn 
🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
💡 Phương pháp: Lập biểu thức khối lượng và thể tích dung dịch sau khi trộn, xây dựng hàm nồng độ
, giải phương trình, xét đạo hàm để khảo sát tính đơn điệu và giới hạn của hàm số.✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Khối lượng dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là Thể tích dung dịch trong cốc sau khi trộn
từ bình chứa là Nồng độ
trong cốc sau khi trộn từ bình chứa là b) Sai.
c) Sai.
Vậy
là hàm số nghịch biến trên d) Đúng.
Vì
và nên nồng độ trong cốc giảm theo nhưng luôn lớn hơn 🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.
Câu 18 [390965]: Thầy Tuấn thống kê lại điểm trung bình môn Toán cuối học kì 1 của các học sinh lớp 12A và 12B ở bảng sau: 
Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Dựa vào bảng số liệu thống kê để xác định tần số, khoảng biến thiên, tỉ lệ phần trăm và áp dụng công thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để so sánh mức độ phân tán.
✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Không có học sinh nào lớp
đạt điểm từ 
đến dưới 
điểm.
b) Đúng.
Khoảng biến thiên điểm trung bình của lớp
là 
.
Khoảng biến thiên điểm trung bình của lớp
là 
.
So sánh theo khoảng biến thiên
học sinh lớp 
có điểm trung bình ít phân tán hơn.
c) Đúng.
Số bạn lớp
đạt điểm trung bình từ 
điểm trở lên là 
.
d) Sai.
Lớp 12B:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
.
Lớp 12A:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
.
So sánh
học sinh lớp 
có điểm trung bình phân tán hơn lớp 
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai.
💡 Phương pháp: Dựa vào bảng số liệu thống kê để xác định tần số, khoảng biến thiên, tỉ lệ phần trăm và áp dụng công thức độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm để so sánh mức độ phân tán.
✒️Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Không có học sinh nào lớp
đạt điểm từ đến dưới điểm.b) Đúng.
Khoảng biến thiên điểm trung bình của lớp
là .Khoảng biến thiên điểm trung bình của lớp
là .So sánh theo khoảng biến thiên
học sinh lớp có điểm trung bình ít phân tán hơn.c) Đúng.
Số bạn lớp
đạt điểm trung bình từ điểm trở lên là .d) Sai.
Lớp 12B:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
.Lớp 12A:
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là
.So sánh
học sinh lớp có điểm trung bình phân tán hơn lớp .🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai.
B. VIẾT TRÊN TỜ GIẤY THI Phần III (1 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Đối với mỗi câu, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Câu 19 [1059452]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và mặt phẳng 
Với giá trị 
__________ thì hai mặt phẳng 
và 
vuông góc với nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
và mặt phẳng Với giá trị __________ thì hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng
và mặt phẳng 
vuông góc với nhau.
có vectơ pháp tuyến 
có vectơ pháp tuyến 
🔑 Điền đáp án: 1.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng
và mặt phẳng vuông góc với nhau. có vectơ pháp tuyến có vectơ pháp tuyến 🔑 Điền đáp án: 1.
Câu 20 [1080297]: Bạn A có một tấm bìa hình tròn (như hình vẽ), bạn ấy muốn dùng tấm bìa đó tạo thành một cái phễu hình nón, vì vậy bạn phải cắt bỏ phần quạt tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau. Gọi x (rad) là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu.
Giá trị của x để thể tích phễu lớn nhất là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai ”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Số đo góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu là
nên độ dài cung 
tức chu vi mặt đáy của hình nón là 
Suy ra
Vậy thể tích của phễu là
Xét hàm số
có
Trên đoạn
xét các giá trị 
và 
nên để thể tích phễu lớn nhất thì 
có giá trị lớn nhất, khi đó 
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Số đo góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu là
nên độ dài cung tức chu vi mặt đáy của hình nón là
Suy ra
Vậy thể tích của phễu là
Xét hàm số
có
Trên đoạn
xét các giá trị và nên để thể tích phễu lớn nhất thì có giá trị lớn nhất, khi đó
🔑 Điền đáp án:
Câu 21 [1079931]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai thích hợp vào chỗ trống.
Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (xem hình vẽ), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với
và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như hình 2. Giá trị của 
bằng __________ thì thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm (xem hình vẽ), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với
và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như hình 2. Giá trị của bằng __________ thì thể tích chiếc hộp là lớn nhất.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ: Chiếc hộp có chiều dài bằng
chiều rộng bằng 
và chiều cao bằng 
suy ra thể tích của chiếc hộp là:
Xét hàm số
trên đoạn 
ta có:
Xét các giá trị
Suy ra
tại 
Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất khi
🔑 Điền đáp án: 6,67.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ: Chiếc hộp có chiều dài bằng
chiều rộng bằng và chiều cao bằng suy ra thể tích của chiếc hộp là: Xét hàm số
trên đoạn ta có: Xét các giá trị
Suy ra
tại Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất khi
🔑 Điền đáp án: 6,67.
Câu 22 [1082965]: Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 km và về phía Nam 40 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 4 km. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là bao nhiêu km?
Khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là bao nhiêu km?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm ”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt hệ trục toạ độ
với 
là điểm xuất phát, trục 
chỉ hướng Nam, trục 
chỉ hướng Đông và trục 
hướng lên.
Dựa vào dữ kiện:
+) Máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 km và về phía Nam 40 km, đồng thời cách mặt đất 2 km nên có toạ độ
+) Máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 4 km nên có toạ độ
+) Máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên có toạ độ
là trung điểm của 
và bằng 
Vậy khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
🔑 Điền đáp án:
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt hệ trục toạ độ
với là điểm xuất phát, trục chỉ hướng Nam, trục chỉ hướng Đông và trục hướng lên.
Dựa vào dữ kiện:
+) Máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 km và về phía Nam 40 km, đồng thời cách mặt đất 2 km nên có toạ độ
+) Máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 4 km nên có toạ độ
+) Máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng nên có toạ độ
là trung điểm của và bằng
Vậy khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó là:
🔑 Điền đáp án:
Phần IV (3 điểm). Thí sinh trình bày đầy đủ lời giải từ câu 5 đến câu 7.
Câu 23 [1081408]: Cho hàm số 
liên tục trên đoạn 
có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị 
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
liên tục trên đoạn có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
Vậy
🔑 Đáp án:
Dựa vào hình vẽ, ta thấy
Vậy
🔑 Đáp án:
Câu 24 [1107285]: Cho hình chóp 
đáy 
là hình chữ nhật tâm 
vuông góc với mặt phẳng 
Biết 
Tính 
góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
đáy là hình chữ nhật tâm vuông góc với mặt phẳng Biết Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp:
Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng.
Sử dụng mối quan hệ giữa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.
Kết hợp các tính chất hình học của tam giác vuông và tam giác cân.
✒️ Lời giải chi tiết:
Do
tại 
nên 
là hình chiếu vuông góc của 
trên mặt phẳng 
.Suy ra góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng 
là góc giữa 
và 
.Xét
vuông tại 
.Ta có
.Mà
nên 
cân tại 
.Lại có
nên 
vuông cân tại 
.Suy ra
.Do đó
góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng 
.🔑 Đáp án:
Câu 25 [1038520]: Vệ tinh A lần lượt truyền một tin đến vệ tinh B cho đến khi vệ tinh B phản hồi là đã nhận được. Biết khả năng vệ tinh B phản hồi đã nhận được được tin ở mỗi lần A gửi là độc lập với nhau và xác suất phản hồi mỗi lần đều là 0,4. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất vệ tinh A phải gửi tin không quá 3 lần.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Vệ tinh A lần lượt truyền một tin đến vệ tinh B cho đến khi vệ tinh B phản hồi là đã nhận được.
• Khả năng vệ tinh B phản hồi đã nhận được tin ở mỗi lần A gửi là độc lập với nhau và xác suất phản hồi mỗi lần đều là 0,4.
Từ sơ đồ cây ta có xác suất vệ tinh phải gửi tin không quá 3 lần là:
Dựa vào dữ kiện:
• Vệ tinh A lần lượt truyền một tin đến vệ tinh B cho đến khi vệ tinh B phản hồi là đã nhận được.
• Khả năng vệ tinh B phản hồi đã nhận được tin ở mỗi lần A gửi là độc lập với nhau và xác suất phản hồi mỗi lần đều là 0,4.
Từ sơ đồ cây ta có xác suất vệ tinh phải gửi tin không quá 3 lần là: