Câu 1 [33134]: Cho hàm số 
liên tục trên đoạn 
, có đồ thị như hình vẽ. Gọi 
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
trên miền 
. Tính giá trị của biểu thức 
liên tục trên đoạn , có đồ thị như hình vẽ. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của trên miền . Tính giá trị của biểu thức A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị trong đoạn 
ta thấy:
Chọn B. Đáp án: B
ta thấy: Chọn B. Đáp án: B
Câu 2 [1003386]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 
là [[20528762]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
có bảng biến thiên như hình vẽ.Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn là [[20528762]] .Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Từ bảng biến thiên của hàm số, ta kết luận như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 
là 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn là
Câu 3 [327460]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như sau:
Khẳng định nào sau đây đúng?
có bảng biến thiên như sau:Khẳng định nào sau đây đúng?
A, Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
B, Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 
và có giá trị nhỏ nhất bằng 
.
và có giá trị nhỏ nhất bằng .C, Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng 
.
.D, Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và có giá trị nhỏ nhất bằng 
.
.
Chọn C
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng
khi 
. Đáp án: C
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng
khi . Đáp án: C
Câu 4 [297507]: Cho hàm số 
đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
trên đoạn 
. Giá trị 
bằng
đồ thị như hình vẽ dưới đây.Gọi
lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn . Giá trị bằng A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
1. Phương pháp: Nhìn đồ thị hàm số để tìm được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
2. Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy trên đoạn
giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 và giá trị lớn nhất là 
3. Kết luận: Giá trị
Chọn A Đáp án: A
2. Cách giải:
Từ đồ thị ta thấy trên đoạn
giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2 và giá trị lớn nhất là 3. Kết luận: Giá trị
Chọn A Đáp án: A
Câu 5 [378925]: Cho hàm số 
liên tục trên đoạn 
và có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
liên tục trên đoạn và có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a, Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
bằng 
b, Đúng.
c, Đúng
d, Sai.Trên đoạn
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 
bằng b, Đúng.
c, Đúng
d, Sai.Trên đoạn
hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
Câu 6 [377584]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Đúng. Hàm số đồng biến trên khoảng 
b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại 
c) Sai. Hàm số có 2 cực trị.
d) Sai. Hàm số không có giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại
và đạt cực tiểu tại c) Sai. Hàm số có 2 cực trị.
d) Sai. Hàm số không có giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Câu 7 [377586]: Cho hàm số 
xác định, liên tục trên 
và có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 
b) Sai. Hàm số không xác định tại
c) Sai. Hàm số không có giá trị lớn nhất.
d) Đúng.
b) Sai. Hàm số không xác định tại
c) Sai. Hàm số không có giá trị lớn nhất.
d) Đúng.
Câu 8 [909636]: [TN THPT 2021]: Trên đoạn 
hàm số 
đạt giá trị lớn nhất tại điểm
hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn C
Tập xác định:
.
. 
Ta có
Vậy 
. Đáp án: C
Tập xác định:
.. Ta có
Vậy . Đáp án: C
Câu 9 [28135]: Gọi 
, 
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
trên đoạn 
. Ta có 
bằng
, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Ta có bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Xét hàm số 
trên đoạn 
ta có 
Phương trình
Tính các giá trị
Suy ra
Chọn B. Đáp án: B
trên đoạn ta có Phương trình
Tính các giá trị
Suy ra
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [378480]: Giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn 
là
trên đoạn là A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Lại có:
Đáp án: B
Lại có:
Đáp án: B
Câu 11 [306867]: Gọi 
, 
lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn 
. Tính tổng 
.
, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Tính tổng . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có: 
Lại có:
Đáp án: A
Lại có:
Đáp án: A
Câu 12 [31723]: Cho hàm số 
liên tục trên đoạn 
có đồ thị hàm số
như hình vẽ bên dưới. Hàm số 
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 
tại điểm 
nào dưới đây?
liên tục trên đoạn có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn tại điểm nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Dựa vào BBT ta có:
và 
Ta có BBT sau:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
tại điểm 
Đáp án: D
Dựa vào BBT ta có:
và
Ta có BBT sau:
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
tại điểm Đáp án: D
Câu 13 [1002977]: Xét hàm số 
trên đoạn 
trên đoạn
a) Thay 
vào hàm số 
ta được 
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Note:
Ta có
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Từ kết quả phần b), ta có
Bấm máy tính, ta được hai nghiệm của phương trình trên là
So với điều kiện là 
thì ta thấy phương trình có 1 nghiệm 
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 
ta cần so sánh và tìm giá trị nhỏ nhất tại các điểm làm cho 
không xác định và hai điểm đầu mút (là -2 và 0)
Ta có
So sánh các giá trị
và 
suy ra 
Mà
nên suy ra 
Suy ra mệnh đề d) sai.
vào hàm số ta được
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Note:
Ta có
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Từ kết quả phần b), ta có
Bấm máy tính, ta được hai nghiệm của phương trình trên là
So với điều kiện là thì ta thấy phương trình có 1 nghiệm
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Để xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn ta cần so sánh và tìm giá trị nhỏ nhất tại các điểm làm cho không xác định và hai điểm đầu mút (là -2 và 0)
Ta có
So sánh các giá trị
và suy ra
Mà
nên suy ra
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 14 [395583]: Giá trị lớn nhất của hàm số 
bằng
bằng 
TXĐ:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: Giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 
Câu 15 [1003387]: Cho hàm số 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn 
là [[20528774]] .
Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 
là [[20528773]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn là [[20528774]] .
Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn là [[20528773]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có: 
(vì 
nên 
)
Do đó hàm số
nghịch biến trên đoạn 
và 
(vì nên )
Do đó hàm số
nghịch biến trên đoạn
và
Câu 16 [1002995]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn 
bằng__________.
Giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn bằng__________.
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tìm các điểm
trên khoảng 
mà tại đó 
hoặc 
không xác định.
Ta có
(thu gọn)
(đặt 
làm nhân tử chung)
Bấm máy tính, ta được kết quả
Vì ta đang cần tìm các điểm trên khoảng
nên 
và 
thỏa mãn.
(không có giá trị của
làm cho 
không xác định)
Bước 2: Tính các giá trị hàm số tại các điểm
tìm được ở bước 1 và tại hai giá trị đầu mút.
Ta có
Bước 3: So sánh các giá trị ở bước hai và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
là giá trị lớn nhất ở bước 2.
Từ các giá trị thu được ở bước 2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 tại
Điền đáp án: 2.
ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tìm các điểm
trên khoảng mà tại đó hoặc không xác định.
Ta có
(thu gọn)
(đặt làm nhân tử chung)
Bấm máy tính, ta được kết quả
Vì ta đang cần tìm các điểm trên khoảng
nên và thỏa mãn.
(không có giá trị của
làm cho không xác định)
Bước 2: Tính các giá trị hàm số tại các điểm
tìm được ở bước 1 và tại hai giá trị đầu mút.
Ta có
Bước 3: So sánh các giá trị ở bước hai và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn
là giá trị lớn nhất ở bước 2.
Từ các giá trị thu được ở bước 2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 tại
Điền đáp án: 2.
Câu 17 [1002996]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi bằng
thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng__________
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi bằng
thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng__________
Cách 1: Khảo sát hàm số
Giả sử chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là
Biết chu vi hình chữ nhật bằng 16 cm, nên ta có
Suy ra diện tích của hình chữ nhật là
Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật, ta xét hàm số
trên khoảng 
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là
Cách 2:
Ta có diện tích hình chữ nhật là
Dấu “=” xảy ra khi
Nhận xét: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Điền đáp án: 16.
Giả sử chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là
Biết chu vi hình chữ nhật bằng 16 cm, nên ta có
Suy ra diện tích của hình chữ nhật là
Để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật, ta xét hàm số
trên khoảng
Ta có
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên, suy ra hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là
Cách 2:
Ta có diện tích hình chữ nhật là
Dấu “=” xảy ra khi
Nhận xét: Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Điền đáp án: 16.
Câu 18 [377590]: Cho hàm số 
Đồ thị hàm số 
trên đoạn 
là đường cong trong hình vẽ. Biết rằng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: 
Đồ thị hàm số trên đoạn là đường cong trong hình vẽ. Biết rằng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a, Sai b, Đúng c, Sai d, Đúng
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên có
Hàm số đồng biến trên đoạn
nên 
.
Suy ra
Lại có:
Suy ra
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên có
Hàm số đồng biến trên đoạn
nên .Suy ra
Lại có:
Suy ra
Câu 19 [33111]: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
trên đoạn 
trên đoạn
Ta có: 
Suy ra
Điền đáp án:
Suy ra
Điền đáp án:
Câu 20 [390976]: Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức
trong đó T là nhiệt độ (°F-Fahrenheit) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất độ celcius (°C-Celcius) của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra ? (Biết rằng 
)
trong đó T là nhiệt độ (°F-Fahrenheit) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất độ celcius (°C-Celcius) của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra ? (Biết rằng )
Ta có: 
; 
.
Lại có:
; 
; 
.
Suy ra
.
Vậy nhiệt độ lớn nhất độ celcius của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra là
; .Lại có:
; ; .Suy ra
.Vậy nhiệt độ lớn nhất độ celcius của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra là
Câu 21 [390978]: Công ty B chuyên sản xuất 1 loại sản phẩm, bộ phận sản xuất ước tính với 
sản phẩm được sản xuất một tháng thì tổng chi phí sẽ là 
(nghìn đồng). Giá của mỗi sản phẩm được công ty bán với giá 
(nghìn đồng). Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất trong một tháng (giả sử công ty này bán hết được số sản phẩm mình làm ra) để thu về lợi nhuận cao nhất?
sản phẩm được sản xuất một tháng thì tổng chi phí sẽ là (nghìn đồng). Giá của mỗi sản phẩm được công ty bán với giá (nghìn đồng). Hãy xác định số sản phẩm công ty A cần sản xuất trong một tháng (giả sử công ty này bán hết được số sản phẩm mình làm ra) để thu về lợi nhuận cao nhất?
Gọi 
là số sản phẩm mà công ty B cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất.
Khi đó, nếu bán hết số sản phẩm thì doanh thu là:
Lợi nhuận mà công ty thu được là: 
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của
với 
Có:
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để thu về lợi nhuận cao nhất thì công ty cần sản xuất 100 sản phẩm.
là số sản phẩm mà công ty B cần sản xuất để thu được lợi nhuận cao nhất. Khi đó, nếu bán hết số sản phẩm thì doanh thu là:
Lợi nhuận mà công ty thu được là: Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của
với Có:
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để thu về lợi nhuận cao nhất thì công ty cần sản xuất 100 sản phẩm.
Câu 22 [1002997]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Người thợ muốn thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao
thể tích là 
Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là 
nghìn đồng/
và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là 
nghìn đồng/
Chi phí thấp nhất để làm bể cá là __________nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Người thợ muốn thiết kế một chiếc bể cá không có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao
thể tích là Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành là nghìn đồng/ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là nghìn đồng/ Chi phí thấp nhất để làm bể cá là __________nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp số: 67.
Đổi
; 
Gọi
là hai kích thước của hình chữ nhật đáy 
Do thể tích của bể là
nên ta có: 
Khi đó diện tích mặt xung quanh là:
Chi phí để làm mặt xung quanh là:
(nghìn đồng)
Diện tích mặt đáy là:
Chi phí để làm mặt đáy là:
(nghìn đồng)
Do đó chi phí để làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi chi phí làm mặt xung quanh thấp nhất
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên:
Khi đó chi phí thấp nhất để làm bể cá là:
(nghìn đồng).
Đổi
;
Gọi
là hai kích thước của hình chữ nhật đáy
Do thể tích của bể là
nên ta có:
Khi đó diện tích mặt xung quanh là:
Chi phí để làm mặt xung quanh là:
(nghìn đồng)
Diện tích mặt đáy là:
Chi phí để làm mặt đáy là:
(nghìn đồng)
Do đó chi phí để làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi chi phí làm mặt xung quanh thấp nhất
Xét hàm số
Ta có bảng biến thiên:
Khi đó chi phí thấp nhất để làm bể cá là:
(nghìn đồng).
Câu 23 [880151]: Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m2 và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như hình vẽ.
a) Chứng minh rằng
b) Tính diện tích
của phần đường đi theo 
c) Tính diện tích nhỏ nhất của phần đường đi bằng bao nhiêu?
a) Chứng minh rằng
b) Tính diện tích
của phần đường đi theo c) Tính diện tích nhỏ nhất của phần đường đi bằng bao nhiêu?
a) Gợi ý: Sử dụng dữ kiện: Diện tích phần mặt nước bằng 54 m2.
Từ hình vẽ, ta có kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là
và 
với 
Suy ra diện tích phần mặt nước (hình chữ nhật) là
Mà phần diện tích mặt nước bằng
nên 
Suy ra điều cần chứng minh.
b) Gợi ý: Diện tích phần đường đi bằng diện tích cả lồng nuôi cá trừ đi diện tích phần mặt nước.
Diện tích cả lồng nuôi cá là
Vì ta đang cần tìm diện tích tính theo
nên thay 
vào 
ta được 
Suy ra diện tích phần đường đi là
c) Gợi ý: Khảo sát hàm số
trong khoảng 
Xét hàm số
trong khoảng 
Bước 1: Tìm các điểm thuộc khoảng
mà tại đó 
hoặc 
không xác định.
Ta có
Bước 2: Lập bảng biến thiên và kết luận
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, suy ra diện tích nhỏ nhất của phần đường đi là
Từ hình vẽ, ta có kích thước hình chữ nhật phần mặt nước là
và với Suy ra diện tích phần mặt nước (hình chữ nhật) là
Mà phần diện tích mặt nước bằng
nên Suy ra điều cần chứng minh.
b) Gợi ý: Diện tích phần đường đi bằng diện tích cả lồng nuôi cá trừ đi diện tích phần mặt nước.
Diện tích cả lồng nuôi cá là
Vì ta đang cần tìm diện tích tính theo
nên thay vào ta được Suy ra diện tích phần đường đi là
c) Gợi ý: Khảo sát hàm số
trong khoảng Xét hàm số
trong khoảng Bước 1: Tìm các điểm thuộc khoảng
mà tại đó hoặc không xác định.Ta có
Bước 2: Lập bảng biến thiên và kết luận
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên, suy ra diện tích nhỏ nhất của phần đường đi là
Câu 24 [1002998]: Một miếng thiếc hình tròn có bán kính 20 cm đã bị cắt bỏ 3 phần và để lại miền tô đậm như minh họa. Góc 
trong hình được đo bằng radian.
a) Chứng minh rằng diện tích phần tô đậm được cho bởi công thức:
b) Tìm
sao cho diện tích 
đạt giá trị lớn nhất và tìm diện tích 
trong trường hợp này.
trong hình được đo bằng radian.a) Chứng minh rằng diện tích phần tô đậm được cho bởi công thức:
b) Tìm
sao cho diện tích đạt giá trị lớn nhất và tìm diện tích trong trường hợp này.
Ta có tính chất: 2 đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằng nhau.
Diện tích phần tô đậm = Diện tích hình quạt tròn AOB + Diện tích 3 tam giác bằng nhau
+) Diện tích quạt tròn:
Áp dụng công thức tính diện tích quạt tròn (với góc tính bằng radian) là
+) Diện tích 3 tam giác:
Vậy thể tích phần tô đậm là
b) Để tìm giá trị lớn nhất của
ta xét hàm số 
trên khoảng 
Ta có
Vì xét trong khoảng
nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là 
Lập bảng biến thiên của
Từ đó, suy ra hàm số đạt giá trị cực đại tại
Vậy giá trị lớn nhất là
Diện tích phần tô đậm = Diện tích hình quạt tròn AOB + Diện tích 3 tam giác bằng nhau
+) Diện tích quạt tròn:
Áp dụng công thức tính diện tích quạt tròn (với góc tính bằng radian) là
+) Diện tích 3 tam giác:
Vậy thể tích phần tô đậm là
b) Để tìm giá trị lớn nhất của
ta xét hàm số trên khoảng Ta có
Vì xét trong khoảng
nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất là Lập bảng biến thiên của
Từ đó, suy ra hàm số đạt giá trị cực đại tại
Vậy giá trị lớn nhất là
Câu 25 [1002999]: Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí 
và 
cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí 
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng 
cách trung điểm 
của đoạn thẳng 
một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước 
đến một vị trí 
nằm giữa đoạn thẳng 
sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy 
và 
(hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km (không làm
tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
và cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách trung điểm của đoạn thẳng một khoảng 4 km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước đến một vị trí nằm giữa đoạn thẳng sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy và (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km (không làm
tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 7,46
Phần giải chi tiết:
Đặt độ dài
suy ra 
Ta có:
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là:
Xét hàm số:
với 
ta cần tìm 
Ta có:
Ta có:
Do đó, 
Phần giải chi tiết:
Đặt độ dài
suy ra Ta có:
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là:
Xét hàm số:
với ta cần tìm Ta có:
Ta có:
Do đó,