Vấn đề 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 1 [322662]: Cho hàm số 
có bảng biến thiên như hình vẽ
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là
có bảng biến thiên như hình vẽTổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Chọn D
Ta có
đường thẳng 
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
đường thẳng 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là 
. Đáp án: D
Ta có
đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là . Đáp án: D
Câu 2 [860859]: Cho hàm số 
xác định, liên tục trên 
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như hình vẽ.
1. Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định được giá trị cực tiểu, giới hạn, tiệm cận của đồ thị hàm số.
2. Cách giải:
a) Sai. Vì: Từ đồ thị hàm số ta có: Đồ thị có một điểm cực đại
và không có điểm cực tiểu nào.
b) Đúng. Vì: Từ đồ thị hàm số ta có:
và 
c) Sai. Vì: Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận đứng của hàm số.
d) Sai. Vì
và 
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang 
và 
Do vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng
3. Kết luận:
Vậy đáp án bài toán là: a) SAI, b) ĐÚNG, c) SAI, d) SAI.
2. Cách giải:
a) Sai. Vì: Từ đồ thị hàm số ta có: Đồ thị có một điểm cực đại
và không có điểm cực tiểu nào.b) Đúng. Vì: Từ đồ thị hàm số ta có:
và c) Sai. Vì: Ta có:
nên là một đường tiệm cận đứng của hàm số.d) Sai. Vì
và Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang và Do vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng
3. Kết luận:
Vậy đáp án bài toán là: a) SAI, b) ĐÚNG, c) SAI, d) SAI.
Vấn đề 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 3 [860860]: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)
b)
a)
b)
Câu a):
1.Phương pháp:
Sử dụng đồ thị hàm số
nhận đường thẳng 
làm TCN và đường thẳng 
làm TCĐ.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
nhận đường thẳng 
làm TCN và đường thẳng 
làm TCĐ.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là 
.
Câu b):
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.
Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
nên 
là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là
và 2 đường tiệm cận đứng là 
1.Phương pháp:
Sử dụng đồ thị hàm số
nhận đường thẳng làm TCN và đường thẳng làm TCĐ.2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
nhận đường thẳng làm TCN và đường thẳng làm TCĐ.3. Kết luận:
Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là .Câu b):
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có:
nên là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. nên là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.Ta có:
nên là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.3. Kết luận:
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là
và 2 đường tiệm cận đứng là
Câu 4 [860861]: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)
b)
a)
b)
Câu a):
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.
Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
;
nên 
không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là 
Câu b):
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.
Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có: Mẫu số:
luôn dương với mọi 
nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
nên 
là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là
và không có đường tiệm cận đứng.
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.
Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có:
nên là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
;nên không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có:
nên là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang là
và tiệm cận đứng là
Câu b):
1.Phương pháp: Tính giới hạn
để tìm tiệm cận ngang.
Tính giới hạn
để tìm tiệm cận đứng.
2.Cách giải:
Đồ thị hàm số
ĐKXĐ:
Ta có: Mẫu số:
luôn dương với mọi nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
nên là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
3. Kết luận:
Vậy đồ thị có một đường tiệm cận ngang là
và không có đường tiệm cận đứng.
Vấn đề 3: Ứng dụng
Câu 5 [860862]: Tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất 
sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số 
Gọi 
là hàm số biểu thị chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một sản phẩm khi sản xuất 
sản phẩm 
mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?
sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số Gọi là hàm số biểu thị chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một sản phẩm khi sản xuất sản phẩm mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?
a)Đúng. Dựa vào đề bài ta có: 
mà 
Suy ra:
b)Sai. Ta có: Đồ thị hàm số
nên 
là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c)Sai.Xét sự biến thiên hàm
Vậy hàm số 
nghịch biến trên khoảng 
d)Sai. Vì hàm số
nghịch biến nên khi x càng lớn thì 
càng giảm và tiến tới 250 nên khi 
càng lớn thì chi phí trung bình để tạo ra một sản phẩm càng giảm.
mà Suy ra:
b)Sai. Ta có: Đồ thị hàm số
nên là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.c)Sai.Xét sự biến thiên hàm
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng d)Sai. Vì hàm số
nghịch biến nên khi x càng lớn thì càng giảm và tiến tới 250 nên khi càng lớn thì chi phí trung bình để tạo ra một sản phẩm càng giảm.
Câu 6 [1003003]: Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ 5 mg/ml.
a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào
ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml.
b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml được không?
a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào
ml dung dịch muối với nồng độ 10 mg/ml.b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml được không?
a) Gợi ý: Công thức tính nồng độ dung dịch: 
với 
là khối lượng chất tan (mg) và 
là thể tích của dung dịch (ml).
Khối lượng muối ban đầu là
thể tích dung dịch ban đầu là 
Khi thêm vào
dung dịch với nồng độ 10 mg/ml thì khối lượng muối có trong 
được thêm vào là 
Thể tích dung dịch được thêm vào là 
Khi đó: khối lượng chất tan mới là
Và thể tích dung dịch mới là
Suy ra nồng độ dung dịch muối mới là
b) Dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml
Vậy cần phải thêm 800 ml vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml.
Để kiểm tra nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml hay không, ta đi tính giới hạn của nồng độ tại dương vô cùng. Ta có
Và theo định nghĩa về tiệm cận ngang của hàm số thì
cũng chính là tiệm cận ngang của hàm số 
Do đó, nồng độ dung dịch sẽ chỉ tiệm cận đến giá trị 
mà không đạt đến giá trị này. Vậy nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10 mg/ml.
với là khối lượng chất tan (mg) và là thể tích của dung dịch (ml).Khối lượng muối ban đầu là
thể tích dung dịch ban đầu là Khi thêm vào
dung dịch với nồng độ 10 mg/ml thì khối lượng muối có trong được thêm vào là Thể tích dung dịch được thêm vào là Khi đó: khối lượng chất tan mới là
Và thể tích dung dịch mới là
Suy ra nồng độ dung dịch muối mới là
b) Dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml
Vậy cần phải thêm 800 ml vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg/ml.
Để kiểm tra nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10 mg/ml hay không, ta đi tính giới hạn của nồng độ tại dương vô cùng. Ta có
Và theo định nghĩa về tiệm cận ngang của hàm số thì
cũng chính là tiệm cận ngang của hàm số Do đó, nồng độ dung dịch sẽ chỉ tiệm cận đến giá trị mà không đạt đến giá trị này. Vậy nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10 mg/ml.