a) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm mũ và quy tắc tổng/hiệu.
Ta có

b) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của thương. Quy tắc đạo hàm của thương là

Ở đây, và .
Vậy, và
Thay vào công thức (*), ta được
c) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
Ta có
d) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
Ta có

a) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp của hàm lượng giác
Ở đây,
Ta có
b) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm logarit:
Ta có
c) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
Ở đây,
Ta có
d) Phương pháp: sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm thương:
Ở đây, suy ra
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm thương, ta có

a) Phương pháp: áp dụng công thức đạo hàm của tích
Ở đây, và
Ta có:
Áp dụng công thức đạo hàm của tích, ta có
b) Phương pháp: áp dụng công thức đạo hàm của tích
Ở đây, và
Ta có:
Áp dụng công thức đạo hàm của tích, ta có
c) Phương pháp: áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
Ở đây, với và
Áp dụng công thức trên, ta có
d) Phương pháp: áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
Ở đây, và
Áp dụng công thức trên, ta có
Tiếp tục tính đạo hàm của Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp với
Khi đó
Thay trở lại vào biểu thức của ta được
Đến đây, ta có thể sử dụng công thức nhân đôi thu gọn biểu thức trên ta được

a) B1: Tính đạo hàm
Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm của một tổng, ta có
B2: Giải phương trình

b) B1: Tính đạo hàm
Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm của một tổng, ta có
B2: Giải phương trình

c) B1: Tính đạo hàm
Tập xác định: có nghĩa, khi và chỉ khi
Phương pháp: Áp dụng công thức đạo hàm của một tổng, ta có
B2: Giải phương trình

Bình phương hai vế, ta được
Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định: vậy là nghiệm của phương trình.
d) B1: Tính đạo hàm
Phương pháp: sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: với và
Ta có
Áp dụng thức đạo hàm của hàm hợp:
Ta có
B2: Giải phương trình

Vì với mọi nên phương trình này tương đương với
Phương trình này có các nghiệm và nghiệm

Nhắc lại kiến thức: Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ có dạng:
a) Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ
có dạng:
Đầu tiên, ta tính giá trị của hàm số tại


Tiếp theo, ta tìm đạo hàm của hàm số

Thay giá trị vào ta được

Suy ra phương trình tiếp tuyến của hàm số đã cho là




b) Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ
có dạng:

Đầu tiên, ta tính giá trị của hàm số tại

Tiếp theo, ta tìm đạo hàm của hàm số (bằng cách sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

Sau đó, ta tính giá trị của đạo hàm tại


Từ đó, suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là



c)
Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm có hoành độ có dạng:
Đầu tiên, ta tính giá trị của hàm số tại


Tiếp theo, ta tìm đạo hàm của hàm số


Sau đó, ta tính giá trị của đạo hàm tại

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Nhắc lại kiến thức: Giả sử lần lượt là hàm quãng đường, vận tốc và gia tốc. Khi đó, ta có
Do đó, để tính gia tốc của hạt tại thời điểm giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Tính vận tốc của hạt bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động theo thời gian
Tính gia tốc của hạt bằng cách lấy đạo hàm bậc nhất của phương trình vận tốc (đạo hàm bậc hai của ) theo thời gian
Thay giây vào phương trình gia tốc để tìm giá trị gia tốc tại thời điểm đó.
Phương trình chuyển động của hạt:
Bước 1: Tính vận tốc
Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian:
Bước 2: Tính gia tốc Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian (hoặc đạo hàm bậc hai của quãng đường):

Bước 3: Tính gia tốc tại thời điểm giây
Thay vào biểu thức gia tốc ta được
Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm giây bằng

Gợi ý: Tốc độ của động lượng là đạo hàm của theo thời gian. Yêu cầu bài toán là tìm (giây) sao cho
Cách giải:
Ta có
Thay vào phương trình ta được
Tốc độ tăng động lượng là đạo hàm của theo

Theo giả thiết: “Tốc độ tăng động lượng bằng 800 ”
Suy ra
(giây)
Thời gian tính bằng giây và xe chuyển động trong phút đầu tiên, tức là 120 giây, nên . Nên giá trị thỏa mãn điều kiện.
Vậy tại thời điểm giây thì động lượng của ô tô tăng với tốc độ
Kết luận: Điền đáp án: 24.

Gợi ý: Ta cần tìm phương trình bán kính phụ thuộc vào góc Khi đó yêu cầu bài toán trở thành tính (vì đề yêu cầu kết quả ghi ở đơn vị cm/rad nên ta phải đổi độ sang rad).
Áp dụng định lí côsin, ta có
với
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp: Ta có

Với cm/rad.
Điền đáp án: 7,3.