Câu 1 [861136]: I. Khảo sát hàm số 
1. Tập xác định:
2. Giới hạn và tiệm cận:
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng………………………
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang………………………
3. Khảo sát sự biến thiên:
Đạo hàm:
▪ Nếu………………………..hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
▪ Nếu………………………..hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số 
:
a) Nhận giao điểm
của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.
1. Tập xác định:
2. Giới hạn và tiệm cận:
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng………………………▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang………………………3. Khảo sát sự biến thiên:
Đạo hàm:
▪ Nếu………………………..hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
▪ Nếu………………………..hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số :a) Nhận giao điểm
của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.
1. Tập xác định: 
2. Giới hạn và tiệm cận:
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 
3. Khảo sát sự biến thiên:
Đạo hàm:
▪ Nếu
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
▪ Nếu
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
:
a) Nhận giao điểm
của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.
2. Giới hạn và tiệm cận:
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang
3. Khảo sát sự biến thiên:
Đạo hàm:
▪ Nếu
hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
▪ Nếu
hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
:
a) Nhận giao điểm
của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm trục đối xứng.
Vấn đề 1: Nhận diện đồ thị hàm số phân thức
Câu 2 [527755]: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào dáng đồ thị loại C, D
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang 
Suy ra chọn đáp án B. Đáp án: B
Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng
và đường tiệm cận ngang
Suy ra chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [30673]: Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Do 
là tiệm cận đứng của hàm số nên loại B, C. 
là tiệm cận ngang của hàm số nên loại D. Đáp án: A
là tiệm cận đứng của hàm số nên loại B, C. là tiệm cận ngang của hàm số nên loại D. Suy ra chọn đáp án A.
Câu 4 [30672]: Đồ thị ở bên dưới là của hàm số nào?
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là nên loại B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là nên loại B.
Mặt khác đồ thị đi qua điểm 
nên chọn đáp án A.
Đáp án: A nên chọn đáp án A.Vấn đề 2: Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số và các bài toán liên quan
Câu 5 [861139]: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
1) Tập xác định 
2) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.
. Do đó, đường thẳng 
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Do đó, đường thẳng 
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
•
với mọi 
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến tên mỗi khoảng
và 
.
Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung:
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm
• Đồ thị đó nhận giao điểm
của hai tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận đó làm trục đối xứng.
2) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.
. Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó, đường thẳng là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.•
với mọi Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến tên mỗi khoảng
và .Hàm số không có cực trị.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung:
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành:
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm
• Đồ thị đó nhận giao điểm
của hai tiệm cận của đồ thị hàm số làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai tiệm cận đó làm trục đối xứng.
Câu 6 [858699]: Cho hàm số 
có đồ thị 
.
có đồ thị .
Cách giải:
a) Sai: Đồ thị
có tiệm cận đứng 
và tiệm cận ngang 
.
b) Đúng: Có TXĐ:
c) Sai
d) Sai: Gọi
.
Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Ta có:
Vậy
Vậy chỉ có 1 điểm
có hoành độ dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.
a) Sai: Đồ thị
có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .b) Đúng: Có TXĐ:
c) Sai
d) Sai: Gọi
.Tứ giác MHOK là hình chữ nhật.
Ta có:
Vậy
Vậy chỉ có 1 điểm
có hoành độ dương thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vấn đề 3: Ứng dụng
Câu 7 [382823]: Để loại bỏ 
một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính được chi phí bỏ ra là 
(triệu đồng), với 
Xét tính đúng sai của mệnh đề sau
một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính được chi phí bỏ ra là (triệu đồng), với Xét tính đúng sai của mệnh đề sau
a) Đúng. Để loại bỏ được 
tảo độc khỏi hồ nước thì chi phí là 
(triệu đồng).
b) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là 
c) Sai. Hàm số
d) Đúng. Không thể loại bỏ hết
loại tảo độc này ra khỏi hồ nước.
tảo độc khỏi hồ nước thì chi phí là (triệu đồng). b) Đúng. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là c) Sai. Hàm số
d) Đúng. Không thể loại bỏ hết
loại tảo độc này ra khỏi hồ nước.
Câu 8 [1003014]: Một bể ban đầu chứa 
lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 
lít nước, đồng thời cho vào bể 
gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi 
(gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau 
phút ( 
),
a) Tìm hàm số
b) Chứng minh rằng
là hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
c) Nhận xét về nồng độ chất khử trong bể khi thời gian
ngày càng lớn.
lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm lít nước, đồng thời cho vào bể gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi (gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút ( ), a) Tìm hàm số
b) Chứng minh rằng
là hàm số đồng biến trên nửa khoảng c) Nhận xét về nồng độ chất khử trong bể khi thời gian
ngày càng lớn.
a) Thể tích nước trong bể sau 
phút ( 
) là : 
Khối lượng chất khử trùng cho vào bể sau
phút ( 
) là : 
Gọi
(gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau 
phút ( 
). Khi đó :
c) Vì ta thấy giá trị
tăng theo thời gian 
nhưng không vượt ngưỡng 
gam/lít nên khi 
thì 
phút ( ) là : Khối lượng chất khử trùng cho vào bể sau
phút ( ) là : Gọi
(gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút ( ). Khi đó :c) Vì ta thấy giá trị
tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng gam/lít nên khi thì