Câu 1 [861137]: II. Khảo sát hàm số 
và 
không là nghiệm của tử số)
1. Tập xác định
2. Giới hạn và tiệm cận
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng…………………………………………..
▪ Phân tích
suy ra tiệm cận xiên:……………………..
3. Khảo sát sự biến thiên: Đạo hàm:
▪ Nếu
thì hàm số có hai điểm cực trị.
▪ Nếu
thì hàm số không có điểm cực trị.
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị
TH2: Hàm số không có cực trị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng.
và không là nghiệm của tử số)1. Tập xác định
2. Giới hạn và tiệm cận
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng…………………………………………..▪ Phân tích
suy ra tiệm cận xiên:……………………..3. Khảo sát sự biến thiên: Đạo hàm:
▪ Nếu
thì hàm số có hai điểm cực trị.▪ Nếu
thì hàm số không có điểm cực trị.4. Bảng biến thiên và đồ thị:
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị
TH2: Hàm số không có cực trị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng.
1. Tập xác định 
2. Giới hạn và tiệm cận
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 
▪ Phân tích
suy ra tiệm cận xiên: 
3. Khảo sát sự biến thiên: Đạo hàm:
▪ Nếu
thì hàm số có hai điểm cực trị.
▪ Nếu
thì hàm số không có điểm cực trị.
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị
TH2: Hàm số không có cực trị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng.
2. Giới hạn và tiệm cận
▪
nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
▪ Phân tích
suy ra tiệm cận xiên:
3. Khảo sát sự biến thiên: Đạo hàm:
▪ Nếu
thì hàm số có hai điểm cực trị.
▪ Nếu
thì hàm số không có điểm cực trị.
4. Bảng biến thiên và đồ thị:
TH1: Hàm số có hai điểm cực trị
TH2: Hàm số không có cực trị:
Chú ý: Đồ thị của hàm số
a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;
b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng.
Vấn đề 1: Nhận diện đồ thị hàm số phân thức
Câu 2 [360115]: [Trích SGK Cánh Diều]: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số:
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy hàm số đã có có 2 cực trị và 
.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
.Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [383013]: Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây
A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định. Suy ra
.
Suy ra loại đáp án B, D
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án C
Vậy đáp án đúng là A Đáp án: A
Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định. Suy ra
.
Suy ra loại đáp án B, D
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
. Suy ra loại đáp án C
Vậy đáp án đúng là A Đáp án: A
Vấn đề 2: Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và các bài toán liên quan
Câu 4 [861142]: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
1) Tập xác định : 
2) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng :
Do đó đường thảng
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
.
Do đó đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
• Ta có
; 
• Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và 
; nghịch biến trên mỗi khoảng 
và 
Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại
.
3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung:
.
• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm
và 
Vậy đồ thị hàm số
được cho ở hình vẽ
2) Sự biến thiên
• Giới hạn tại vô cực và các đường tiệm cận:
Ta viết hàm số đã cho dưới dạng :
Do đó đường thảng
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.. Do đó đường thẳng
là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.• Ta có
; • Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
và ; nghịch biến trên mỗi khoảng và Hàm số đạt cực đại tại ; đạt cực tiểu tại
.3) Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị với trục tung:
.• Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
• Đồ thị hàm số đi qua các điểm
và Vậy đồ thị hàm số
được cho ở hình vẽ
Câu 5 [1002982]: Cho hàm số 
a) Đúng
ĐK:
b) Sai.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng
c) Sai.
Hàm số nghịch biến trên tập
và đồng biến trên 
d) Đúng
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
là 
suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng 
là 
Phương trình tổng quát của đường thẳng 
là 
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
là 
ĐK:
b) Sai.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng
c) Sai.
Hàm số nghịch biến trên tập
và đồng biến trên
d) Đúng
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
là suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là Phương trình tổng quát của đường thẳng là
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng
là
Câu 6 [399640]: Cho hàm số 
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
a) Ta có: 
Tập xác định:
Trên các khoảng
và 
ta có 
nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.
b) Hàm số đạt cực đại tại
và 
hàm số đạt cực tiểu tại 
và 
c) Ta có:
; 
Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận xiên
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Tập xác định:
Trên các khoảng
và ta có nên hàm số đồng biến trên các khoảng này. b) Hàm số đạt cực đại tại
và hàm số đạt cực tiểu tại và c) Ta có:
; Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận xiên
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Vấn đề 3: Ứng dụng
Câu 7 [861144]: Giả sử chi phí tiền xăng 
(đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình 
theo công thức:
Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
(đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình theo công thức:Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?
Tập xác định: 
.
Sự biến thiên:
Đạo hàm
(loại) hoặc 
.
Trên khoảng
nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Trên khoảng
nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
.
Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là
.Sự biến thiên:
Đạo hàm
(loại) hoặc .Trên khoảng
nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.Trên khoảng
nên hàm số đồng biến trên khoảng này.Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
.Như vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên chạy xe với tốc độ trung bình là
Câu 8 [1003016]: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi 
là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là 
(nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là 
(giờ). Xưởng muốn xác định kích thước 
để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của 
là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của
Đáp án: 6
Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là
Ta có
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy
đạt GTNN bằng 
khi 
Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì
Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là
Ta có
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta thấy
đạt GTNN bằng khi
Vậy để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất thì