Đáp án Ví dụ minh hoạ

Câu 1 [31003]: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí

có khoảng cách đến bờ biển

Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí

cách

một khoảng

. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ

đến

trên bờ biển với vận tốc

rồi đi bộ đến

với vận tốc

. Vị trí của điểm

cách

một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất? (đơn vị km, làm tròn đến hai chữ số thập phân)

Đặt

Tam giác

vuông tại

có

Thời gian đi từ

là

Thời gian đi từ

là

Tổng thời gia thời gian đi từ

là

Xét hàm số

trên khoảng

có

Phương trình

Vậy để đi từ

nhanh nhất khi

cách

một khoảng

Câu 2 [31014]: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh

Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số

từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu?

Gọi kích thước 2 cạnh góc vuông tam giác vuông là

Độ dài cạnh huyển là

Không mất tính tổng quát, giả sử

Diện tích tấm gỗ tam giác vuông là:

Dấu bằng khi

Câu 3 [31001]: Một sợi dây có chiều dài là

, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình vuông, phần thứ hai uốn thành tam giác đều. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để tổng diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất (đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần trăm)?

HD:Gọi độ dài hai phần lần lượt là

Suy ra độ dài cạnh hình vuông và độ dài tam giác sẽ bằng

Suy ra diện tích hai hình sẽ bằng

Ta có

Lập bảng biến thiện hàm số

trên đoạn

ta thấy

Suy ra độ dài cạnh tam giác sẽ bằng

Điền đáp số 1,13

Câu 4 [861535]: Có hai cây cột, một cây cao 16 m và một cây cao 24 m đứng cách nhau 30 m. Chúng được giữ bằng hai sợi dây, gắn vào một cọc duy nhất nối từ mặt đất đến đỉnh mỗi cột (tham khảo hình vẽ sau).

Gọi

là khoảng cách từ chân cột cao 16 m đến cọc

. Khi đó

Phương pháp:
Tính độ dài các đoạn thẳng còn thiếu theo x từ đó tìm tổng chiều dài 3 sợi dây. Khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất.
Cách giải:

a) Khoảng cách từ chân cây cột cao 24 m đến cọc là

b) Ta có:

c) Ta có:

Vậy tổng chiều dài 2 sợi dây là

d) Theo BĐT Minkowski ta có:

Dấu "

" xảy ra khi và chỉ khi

Vậy tổng chiều dài hai sợi dây ngắn nhất là 50 m
Đáp án: a đúng| b đúng| c đúng| d sai

Câu 5 [390554]: Một người quan sát đang đứng ở điểm

cách con đường một khoảng

Tại một thời điểm nào đó, có một chiếc xe đạp và xe máy cùng xuất phát tại điểm A và chạy về cùng một hướng (xem hình vẽ bên), biết rằng vận tốc của xe máy gấp bốn lần vận tốc xe đạp. Tìm giá trị lớn nhất của góc nhìn

của người quan sát với hai chiếc xe đó. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ.

Đáp số:……………………..

Đặt

(vì vận tốc của xe máy gấp 4 lần vân tốc xe đạp)
Ta có:

Do đó

Câu 6 [390555]: Bạn Nam có thể chèo thuyền với vận tốc

và có thể đi bộ với vận tốc

Hiện tại Nam đang ở vị trí A trên bờ hồ bán kính 2 km. Nam sẽ chèo thuyền đến điểm C, sau đó đi bộ quanh bờ đến điểm B đối diện với A (như hình vẽ). Thời gian dài nhất bạn Nam đi từ A đến C rồi đến B là bao nhiều phút?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.