Câu 1 [5873]: Một tấm kẽm hình vuông 
có cạnh bằng 
Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh 
và 
cho đến khi 
và 
trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của 
để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là
có cạnh bằng Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh và cho đến khi và trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là
Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là 
Thể tích đạt GTLN khi
lớn nhất.
Hay
Xét hàm số
(Áp dụng BĐT 
Dấu bằng xảy ra
Thể tích đạt GTLN khi
lớn nhất. Hay
Xét hàm số
(Áp dụng BĐT Dấu bằng xảy ra
Câu 2 [31024]: Một người cần đi từ khách sạn 
bên bờ biển đến hòn đảo 
Biết rằng khoảng cách từ đảo 
đến bờ biển là 
khoảng cách từ khách sạn 
đến điểm 
trên bờ gần đảo 
nhất là 
. Người đó có thể di đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là 
, đi đường bộ là 
. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất (
)?
bên bờ biển đến hòn đảo Biết rằng khoảng cách từ đảo đến bờ biển là khoảng cách từ khách sạn đến điểm trên bờ gần đảo nhất là . Người đó có thể di đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ bên). Biết kinh phí đi đường thủy là , đi đường bộ là . Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất ()?
HD: Đặt 
Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là
Khảo sát hàm số
trên 
ta được: 
Suy ra
Vậy chi phí nhỏ nhất cần phải bỏ khi người đó đi bộ
và chi phí thấp nhất là 160 USD.
Suy ra kinh phí người đó phải bỏ là
Khảo sát hàm số
trên ta được: Suy ra
Vậy chi phí nhỏ nhất cần phải bỏ khi người đó đi bộ
và chi phí thấp nhất là 160 USD.
Câu 3 [1003062]: Một sợi dây kim loại dài 
Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn có độ dài 
được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông 
Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn có độ dài được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông
a) Đúng.
Do chu vi của đường tròn là
nên bán kính đường tròn là 
b) Đúng.
Chu vi của hình vuông là:
Độ dài một cạnh của hình vuông là:
Diện tích hình vuông là:
c) Đúng.
Tổng diện tích của 2 hình là:
d) Đúng.
Xét hàm số
BBT:
Vậy tổng diện tích của hai hình bé nhất khi
Do chu vi của đường tròn là
nên bán kính đường tròn là b) Đúng.
Chu vi của hình vuông là:
Độ dài một cạnh của hình vuông là:
Diện tích hình vuông là:
c) Đúng.
Tổng diện tích của 2 hình là:
d) Đúng.
Xét hàm số
BBT:
Vậy tổng diện tích của hai hình bé nhất khi
Câu 4 [384769]: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50 m và chiều dài 200 m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s. 
Gọi quãng đường vận động viên chạy trên bờ là: 
Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ là:
Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là:
Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm
để 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
thì 
đạt giá trị nhỏ nhất.
Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ là:
Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là:
Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm
để đạt giá trị nhỏ nhất. Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra
thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 [1003063]: Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí 
cách bờ biển 
, anh dự định chèo thuyền vào bờ tại điểm 
và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm 
ở ven bờ biển, 
cách vị trí 
trên bờ gần với thuyền nhất là 
(hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 
và chạy bộ trên bờ với vận tốc 
và giả thiết rằng bờ biển là một đường thẳng. Gọi 
khi đó:
cách bờ biển , anh dự định chèo thuyền vào bờ tại điểm và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm ở ven bờ biển, cách vị trí trên bờ gần với thuyền nhất là (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc và chạy bộ trên bờ với vận tốc và giả thiết rằng bờ biển là một đường thẳng. Gọi khi đó: a) Xét
vuông tại 
có: 
Đúng.
b) Thời gian anh Ba chèo thuyền vào đến bờ là
Sai.
c) Quãng đường anh Ba di chuyển từ điểm
đến điểm 
là: 
Thời gian di chuyển từ điểm 
đến điểm 
là: 
Vậy thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là
Sai.
d) Xét hàm số
với 
Ta có:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy
Vậy thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm
là 
giờ, tức là 40 phút. Đúng.
Câu 6 [31097]: Một sợi dây kim loại dài 
được cắt ra thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài 
được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị của 
bằng bao nhiêu 
(Viết kết quả đến hàng phần mười)
được cắt ra thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất có độ dài được uốn thành một hình vuông. Đoạn dây còn lại được uốn thành một vòng tròn. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì giá trị của bằng bao nhiêu (Viết kết quả đến hàng phần mười)
+ Độ dài cạnh hình vuông là 
Chu vi
Chu vi
Câu 7 [307636]: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát trong đất liền (điểm 
) ra đảo (điểm 
). Biết khoảng cách ngắn nhất từ 
đến 
là 60 km, khoảng cách từ 
đến 
là 100 km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 100 triệu đồng, chi phí mỗi km dây điện trên bờ là 60 triệu đồng. Hỏi điểm 
cách 
bao nhiêu km để mắc dây
điện từ 
đến 
rồi từ 
đến 
chi phí thấp nhất?
) ra đảo (điểm ). Biết khoảng cách ngắn nhất từ đến là 60 km, khoảng cách từ đến là 100 km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 100 triệu đồng, chi phí mỗi km dây điện trên bờ là 60 triệu đồng. Hỏi điểm cách bao nhiêu km để mắc dây
điện từ đến rồi từ đến chi phí thấp nhất?
Ta gọi khoảng cách 
.
Tính được khoảng cách
.
Suy ra hàm số tính chi phí dây điện từ A đến G rồi G đến C là
Tính
ra nghiệm 
, ta lập BBT như sau
Vậy chi phí thấp nhất khi
.
.Tính được khoảng cách
.Suy ra hàm số tính chi phí dây điện từ A đến G rồi G đến C là
Tính
ra nghiệm , ta lập BBT như sauVậy chi phí thấp nhất khi
.
Câu 8 [31013]: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí 
tới điểm 
về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 
(như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến 
và sau đó chạy đến 
, hay có thể chèo trực tiếp đến 
, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm 
giữa 
và 
và sau đó chạy đến 
. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 
, chạy 
và quãng đường 
. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ, làm tròn đến hàng phần trăm) để người đàn ông đến 
.
tới điểm về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến và sau đó chạy đến , hay có thể chèo trực tiếp đến , hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm giữa và và sau đó chạy đến . Biết anh ấy có thể chèo thuyền , chạy và quãng đường . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ, làm tròn đến hàng phần trăm) để người đàn ông đến .
HD: Thời gian đi từ 
đến 
là 
Thời gian đi từ
đến 
rồi đến 
là 
Goi
Xét hàm số
Suy ra
Suy ra thời gian ngắn nhất bằng
đến là Thời gian đi từ
đến rồi đến là Goi
Xét hàm số
Suy ra
Suy ra thời gian ngắn nhất bằng
Câu 9 [358939]: Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài 
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân 
như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng 
không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? Viết kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân như hình vẽ (bờ sông là đường thẳng không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? Viết kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Gọi 
là hình chiếu vuông góc của 
trên 
và đặt 
Có:
và 
Diện tích hình thang
là: 
Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là
là hình chiếu vuông góc của trên và đặt Có:
và Diện tích hình thang
là: Có:
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là
Câu 10 [5882]: Để làm một máng xối nước, từ một tấm tôn kích thước 
người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới, biết mặt cắt của máng xối (bởi mặt phẳng song song với hai mặt đáy) là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ, có chiều cao bằng chiều dài của tấm tôn. Hỏi 
bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất?
người ta gấp tấm tôn đó như hình vẽ dưới, biết mặt cắt của máng xối (bởi mặt phẳng song song với hai mặt đáy) là một hình thang cân và máng xối là một hình lăng trụ, có chiều cao bằng chiều dài của tấm tôn. Hỏi bằng bao nhiêu thì thể tích máng xối lớn nhất?
HD: Mặt đáy của máng xối nước thang cân có đáy lớn là 
đáy bé là 
Cạnh bên của hình thang là
suy ra chiều cao của hình thang là 
Khi đó
Đến đây chúng ta có thể xét hàm
hoặc sử dụng CASIO, CALC các giá trị 
để bài đã cho ta được 
Do đó ta thấy
đáy bé là Cạnh bên của hình thang là
suy ra chiều cao của hình thang là Khi đó
Đến đây chúng ta có thể xét hàm
hoặc sử dụng CASIO, CALC các giá trị để bài đã cho ta được Do đó ta thấy
Câu 11 [358940]: Có hai xã 
cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là 
và người ta đo được 
(hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí 
của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn 
sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí 
là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
cùng ở một bên bờ sông Lam, khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là và người ta đo được (hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Điền đáp án: 2460.
Đặt
Suy ra:
Rõ ràng,
phảithỏa mãn điều kiện 
Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
Tổng khoảng cách từ hai vị trí
đến vị trí 
là: 
Xét hàm số
với 
Ta có:
Trên khoảng 
ta thấy 
khi 
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biếnthiên, ta thấy hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là 2460 m.
Đặt
Suy ra:
Rõ ràng,
phảithỏa mãn điều kiện Áp dụng định lí Pythagore ta tính được:
Tổng khoảng cách từ hai vị trí
đến vị trí là: Xét hàm số
với Ta có:
Trên khoảng ta thấy khi Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biếnthiên, ta thấy hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách cần tìm là 2460 m.
Câu 12 [1003064]: Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao 
(m) để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính 12 m. Cường độ ánh sáng 
tại một điểm 
trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc 
và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách 
(m) từ nguồn sáng đến điểm 
(xem hình dưới đây). Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai
(m) để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính 12 m. Cường độ ánh sáng tại một điểm trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách (m) từ nguồn sáng đến điểm (xem hình dưới đây). Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai
a) Gọi 
lần lượt là chân và đỉnh của cột đèn
Ta có:
Chọn SAI.
b) Do cường độ ánh sáng
tại một điểm 
trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc 
và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách 
(m) từ nguồn sáng đến điểm 
nên ta có:
(với 
là hằng số dương). Chọn ĐÚNG.
c) Trong tam giác
vuông tại 
với 
Nếu
thì
Chọn SAI.
d) Để cường độ ánh
lớn nhất thì cột đèn phải cao 
m.
Cho
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt giá trị lớn nhất khi 
Chọn ĐÚNG.
lần lượt là chân và đỉnh của cột đèn
Ta có:
Chọn SAI.
b) Do cường độ ánh sáng
tại một điểm trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách (m) từ nguồn sáng đến điểm nên ta có:
(với là hằng số dương). Chọn ĐÚNG.
c) Trong tam giác
vuông tại
với
Nếu
thì
Chọn SAI.
d) Để cường độ ánh
lớn nhất thì cột đèn phải cao m.
Cho
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
đạt giá trị lớn nhất khi
Chọn ĐÚNG.
Câu 13 [31058]: Một người muốn kéo đường dây đi từ vị trí 
đến vị trí 
nằm ở hai bên bờ sông bằng cách kéo từ 
đến 
, rồi từ 
kéo đến vị trí 
, sau đó từ 
kéo đến 
theo đường gấp khúc 
(các số liệu như hình vẽ). Biết rằng chi phí lắp đặt cho mỗi 
dây kéo từ 
đến 
là 
triệu đồng, từ 
đến 
là 
triệu đồng và chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ 
đến 
tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi vị trí điểm 
phải cách 
một khoảng là bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là ít nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
đến vị trí nằm ở hai bên bờ sông bằng cách kéo từ đến , rồi từ kéo đến vị trí , sau đó từ kéo đến theo đường gấp khúc (các số liệu như hình vẽ). Biết rằng chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ đến là triệu đồng, từ đến là triệu đồng và chi phí lắp đặt cho mỗi dây kéo từ đến tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi vị trí điểm phải cách một khoảng là bao nhiêu để tổng chi phí lắp đặt là ít nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đặt 
Tam giác
vuông tại 
có 
Tam giác
vuông tại 
có 
Vậy tổng chi phí để lắp đặt quãng đường từ
và 
là 
Xét hàm số
Phương trình 
Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
Tam giác
vuông tại có Tam giác
vuông tại có
Vậy tổng chi phí để lắp đặt quãng đường từ
và là
Xét hàm số
Phương trình Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi
Câu 14 [31034]: Có hai chiếc cọc cao 
và 
lần lượt đặt hai vị trí 
Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 
Người ta chọn một cái chốt ở vị trí 
trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng giăng giây nối đến hai đỉnh 
và 
của cọc như hình vẽ. Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
và lần lượt đặt hai vị trí Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng Người ta chọn một cái chốt ở vị trí trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng giăng giây nối đến hai đỉnh và của cọc như hình vẽ. Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?
HD: Đặt 
Tam giác
vuông tại 
có 
Khi đó
Xét hàm số
với 
ta có 
(thỏa mãn điều kiện )
Dựa vào BBT, suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất 
Tam giác
vuông tại có Khi đó
Xét hàm số
với ta có (thỏa mãn điều kiện )Dựa vào BBT, suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 15 [31012]: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m
được treo trên tường, có mép dưới cao hơn tầm mắt người quan
sát 1,8 m (như hình vẽ). Mắt người quan sát phải cách tường
bao nhiêu mét để có được tầm nhìn thuận lợi nhất (tức là góc
nhìn 
là lớn nhất).
là lớn nhất).
Với bài toán này, ta cần xác định 
để góc 
lớn nhất. Điều này xảy ra 
lớn nhất.
Đặt
với 
Ta có
Xét hàm số
trên khoảng 
Ta có
Tính các giá trị tại
Vậy khoảng cách
cần tìm là 
để góc lớn nhất. Điều này xảy ra lớn nhất. Đặt
với Ta có
Xét hàm số
trên khoảng Ta có
Tính các giá trị tại
Vậy khoảng cách
cần tìm là
Câu 16 [715757]: Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh 20 cm, bạn Tuấn muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nổi có kích thước không đăng kể, tham khảo hình vẽ). Thể tích hình chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất là bao nhiêu 
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Điền đáp án: 429.
Đặt cạnh đáy của chóp lục giác đều là
thì 
Độ dài đường cao của mặt bên chóp lục giác đều là
Chiều cao của lục giác đều là
Thể tích khối chóp thu được
Ta có
Suy ra
Đặt cạnh đáy của chóp lục giác đều là
thì Độ dài đường cao của mặt bên chóp lục giác đều là
Chiều cao của lục giác đều là
Thể tích khối chóp thu được
Ta có
Suy ra