Câu 1 [31062]: Một người lính đặc công thực hiện bơi luyện tập từ vị trí 
trên bờ biển đến một cái thuyền đang neo đậu ở vị trí 
trên biển. Sau khi bơi được 
do khác nước người này đã bơi vào vị trí 
trên bờ để uống nước rồi mới từ 
bơi đến 
Hãy tính xem người lính này phải bơi ít nhất bao nhiêu 
Biết rằng khoảng cách từ 
đến 
là 
và khoảng cách ngắn nhất từ 
vào bờ là 
(Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
trên bờ biển đến một cái thuyền đang neo đậu ở vị trí trên biển. Sau khi bơi được do khác nước người này đã bơi vào vị trí trên bờ để uống nước rồi mới từ bơi đến Hãy tính xem người lính này phải bơi ít nhất bao nhiêu Biết rằng khoảng cách từ đến là và khoảng cách ngắn nhất từ vào bờ là (Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Tam giác 
vuông có 
và 
Đặt
Tam giác
vuông tại 
có 
Khi đó,
Xét hàm số
với 
ta có 
(thoả mãn điều kiện).
Dựa vào BBT, suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất là 
vuông có và Đặt
Tam giác
vuông tại có Khi đó,
Xét hàm số
với ta có (thoả mãn điều kiện). Dựa vào BBT, suy ra
đạt giá trị nhỏ nhất là
Câu 2 [31087]: Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách đất liền 
và cách hòn đảo 
. Hòn đảo cách đất liền 
. Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Quãng đường ngắn
nhất mà con thuyền đó đi là bao nhiêu km? (Viết kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị)
và cách hòn đảo . Hòn đảo cách đất liền . Con thuyền cần cập bến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo. Quãng đường ngắn
nhất mà con thuyền đó đi là bao nhiêu km? (Viết kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị)
Thuyền ở vị trí 
sẽ đi đến 
(đất liền) và đi ra đảo 
Bài toán yêu cầu tìm GTNN của quãng đường
Chuẩn hoá
Cách 1: Đặt
Ta có: 
Đặt
Khảo sát hàm số
trên khoảng 
Cách 2: Gọi
là điểm đối xứng với 
qua 
và 
là điểm đối xứng với 
qua 
Vì 
là hình chiếu của 
lên 
Khi đó,
là hình thang cân và 
Ta thấy 
nên 
Để
và điều đó có nghĩa là 
thẳng hàng.
Vì thế
Hay quãng đường ngắn nhất cần tính là
sẽ đi đến (đất liền) và đi ra đảo Bài toán yêu cầu tìm GTNN của quãng đường
Chuẩn hoá
Cách 1: Đặt
Ta có: Đặt
Khảo sát hàm số
trên khoảng Cách 2: Gọi
là điểm đối xứng với qua và là điểm đối xứng với qua Vì là hình chiếu của lên Khi đó,
là hình thang cân và Ta thấy nên Để
và điều đó có nghĩa là thẳng hàng. Vì thế
Hay quãng đường ngắn nhất cần tính là
Câu 3 [31009]: Hai thành phố 
và 
ngăn cách nhau bởi một con sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố 
cách bờ sông 
thành phố 
cách bờ sông 
khoảng cách giữ đường thẳng đi qua 
và đường thẳng đi qua 
cùng vuông góc với bờ sông là 
Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố 
đến thành phố 
người ta xây cây cầu ở vị trí 
để quãng đường đi từ thành phố 
đến thành phố 
là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn 
bằng (Viết theo đơn vị km và làm tròn đến hai chữ số thập phân).
và ngăn cách nhau bởi một con sông. Người ta cần xây cây cầu bắc qua sông và vuông góc với bờ sông. Biết rằng thành phố cách bờ sông thành phố cách bờ sông khoảng cách giữ đường thẳng đi qua và đường thẳng đi qua cùng vuông góc với bờ sông là Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song với nhau. Nhằm tiết kiệm chi phí đi từ thành phố đến thành phố người ta xây cây cầu ở vị trí để quãng đường đi từ thành phố đến thành phố là ngắn nhất (hình vẽ). Khi đó, độ dài đoạn bằng (Viết theo đơn vị km và làm tròn đến hai chữ số thập phân).
HD:
Với hình vẽ trên giả sử
khi đó 
Khi đó
Quảng đường
là: 
ngắn nhất khi 
nhỏ nhất.
Ta có:
Đặt
thì ta có 
Do đó
, dấu bằng xảy ra khi 
Áp dụng ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Với hình vẽ trên giả sử
khi đó Khi đó
Quảng đường
là: ngắn nhất khi nhỏ nhất. Ta có:
Đặt
thì ta có Do đó
, dấu bằng xảy ra khi Áp dụng ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:
Câu 4 [774140]: Cho một tấm tôn hình một ngũ giác đều có cạnh bằng 
Người ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Cắt ở mỗi đỉnh của ngũ giác đều đó hai tam giác vuông bằng nhau.
Bước 2: Cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một ngũ giác đều và năm hình chữ nhật.
Bước 3: Gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ ngũ giác đều (tham khảo hình vẽ).
Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng chục).
Người ta thực hiện các bước sau:Bước 1: Cắt ở mỗi đỉnh của ngũ giác đều đó hai tam giác vuông bằng nhau.
Bước 2: Cắt theo nét đứt đoạn để thu được hình hợp bởi một ngũ giác đều và năm hình chữ nhật.
Bước 3: Gấp các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ ngũ giác đều (tham khảo hình vẽ).
Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu đề-xi-mét khối? (làm tròn kết quả đến hàng chục).
Điền đáp án: 37,9
Ngũ giác được chia thành 5 tam giác.
Xét tam giác ABC cân tại C có
.
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C xuống AB, có
Mặt khác CH là đường phân giác góc C, có
Suy ra
Đặt
khi đó 
là đường cao của khối lăng trụ và
Xét tam giác vuông CEK, có
Suy ra
Diện tích tam giác CEF:
Diện tích đáy khối lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Xét hàm số
Có
Thay hai giá trị của
vào 
, ta được thể tích lớn nhất của khối lăng trụ là:
Ngũ giác được chia thành 5 tam giác.
Xét tam giác ABC cân tại C có
.
Gọi H là chân đường cao kẻ từ C xuống AB, có
Mặt khác CH là đường phân giác góc C, có
Suy ra
Đặt
khi đó là đường cao của khối lăng trụ và
Xét tam giác vuông CEK, có
Suy ra
Diện tích tam giác CEF:
Diện tích đáy khối lăng trụ là
Thể tích khối lăng trụ là
Xét hàm số
Có
Thay hai giá trị của
vào , ta được thể tích lớn nhất của khối lăng trụ là:
Câu 5 [31094]: Trên một đoạn đường giao thông có hai con đường vuông góc với nhau như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại 
, vị trí 
cách đường 
và cách đường 
. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường 
đi qua vị trí 
, biết rằng để làm 
đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của 
và 
để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
, vị trí cách đường và cách đường . Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường đi qua vị trí , biết rằng để làm đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của và để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Chọn hệ trục toạ độ với 
Khi đó
Do 
luôn đi qua 
nên ta có 
Ta có
Chi phí làm đường là 
Chi phí nhỏ nhất
Ta có
(BĐT Cauchy Schwarz)
Mặt khác
Lại có:
Khi đó 
Dấu “=” xảy ra 
Suy ra
Khi đó
Do luôn đi qua nên ta có Ta có
Chi phí làm đường là Chi phí nhỏ nhất
Ta có
(BĐT Cauchy Schwarz)Mặt khác
Lại có:
Khi đó Dấu “=” xảy ra Suy ra
Câu 6 [31072]: Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường nhà. Ông muốn một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí 
biết rằng điểm 
cao 
so với nền nhà và điểm 
cách tường nhà 
(như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/ m. Hỏi ông An cần ít nhất baonhiêu tiền (đơn vị nghìn đồng) để sản xuất mộtcái thang? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
biết rằng điểm cao so với nền nhà và điểm cách tường nhà (như hình vẽ). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 400.000 đồng/ m. Hỏi ông An cần ít nhất baonhiêu tiền (đơn vị nghìn đồng) để sản xuất mộtcái thang? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) 
Đặt
khi đó 
Do đó,
Ta có:
Câu 7 [31098]: Để chặn đường hành lang hình chữ 
người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng 
và 
hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến
hàng phần mười)
người ta dùng một que sào thẳng dài đặt kín những điểm chạm với hành lang (như hình vẽ bên). Biết rằng và hỏi cái sào thỏa mãn điều kiện trên có chiều dài tối thiểu là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến
hàng phần mười) 
Theo bài ra, thanh sào sẽ đi qua các điểm
(như hình vẽ trên).Suy ra độ dài thanh sào là
Đặt
do đó 
Yêu cầu bài toán
Ta có
Suy ra
Vậy độ dài tối thiểu của thanh sào là
Câu 8 [31020]: Cho một tờ giấy hình chữ nhật có chiều dài 
, chiều rộng 
. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy dưới (như hình vẽ). Gọi độ dài nếp gấp là 
thì giá trị nhỏ nhất của 
là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm)
, chiều rộng . Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho khi gấp, đỉnh của góc đó chạm với đáy dưới (như hình vẽ). Gọi độ dài nếp gấp là thì giá trị nhỏ nhất của là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm) 
Ta có
Lại có
Câu 9 [31077]: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 
. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng 
để diện tích hình thang 
đạt giá trị nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng để diện tích hình thang đạt giá trị nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Điền đáp án: 4,95.
Đường thẳng
cắt 
lần lượt tại 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Đường thẳng
cắt lần lượt tại Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Câu 10 [1003059]: Cho một tờ giấy hình chữ nhật ABCD có chiều dài 
(cm) và chiều rộng 
(cm). Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải B của tờ giấy nằm trên cạnh dưới CD của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu centimét? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)
(cm) và chiều rộng (cm). Gấp tờ giấy một lần sao cho góc trên bên phải B của tờ giấy nằm trên cạnh dưới CD của nó (tham khảo hình vẽ). Nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng bao nhiêu centimét? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)
Đáp số: 
Thêm các điểm như hình vẽ:
Đặt
thì 
Ta có
nên 
(Pytago). Suy ra 
Chứng minh:
mà 
Mà
Ta có:
nên 
Suy ra 
Từ đó
Với 
Ta có
Kết hợp với điều kiện của 
ta chọn 
Ta có bảng biến thiên sau:
Qua bảng biến thiên ta thấy nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng
Thêm các điểm như hình vẽ:
Đặt
thì Ta có
nên (Pytago). Suy ra
Chứng minh:
mà
Mà
Ta có:
nên Suy ra Từ đó
Với Ta có
Kết hợp với điều kiện của ta chọn Ta có bảng biến thiên sau:
Qua bảng biến thiên ta thấy nếp gấp MP có độ dài ngắn nhất bằng
Câu 11 [1003060]: Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài 
chiều rộng 
và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 
Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng 
rồi bơi tiếp đoạn thẳng 
với 
là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm 
dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí 
và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là
vận tốc đi bộ là 
và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
chiều rộng và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng rồi bơi tiếp đoạn thẳng với là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là
vận tốc đi bộ là và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp số: 
phút.
Đổi
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là
Do
không đổi nên 
khi 
đạt giá trị lớn nhất.
Đặt
Suy ra
Xét hàm số
Ta có
Lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng 
ta có 
Vậy
giây
phút.
phút.Đổi
Quãng đường Hoa đi hết một chu trình là
Tổng thời gian Hoa thực hiện một chu trình là
Do
không đổi nên khi đạt giá trị lớn nhất.Đặt
Suy ra
Xét hàm số
Ta có
Lập bảng biến thiên của hàm số
trên khoảng ta có Vậy
giây phút.
Câu 12 [30959]: Lúc 10 giờ sáng trên sa mạc, một nhà địa chất đang ở tại vị trí 
anh ta muốn đến vị trí 
(bằng ôtô) trước 12 giờ trưa, với 
Nhưng trong xa mạc thì xe chỉ có thể di chuyển với vận tốc 
Cách vị trí 
một đoạn 
có một con đường nhựa chạy song song với đường thẳng nối từ 
đến 
Trên đường nhwuaj thì xe có thể di chuyển với vận tốc 
Tìm thời gian ít nhất để nhà địa chất đến 
là bao nhiêu phút?
anh ta muốn đến vị trí (bằng ôtô) trước 12 giờ trưa, với Nhưng trong xa mạc thì xe chỉ có thể di chuyển với vận tốc Cách vị trí một đoạn có một con đường nhựa chạy song song với đường thẳng nối từ đến Trên đường nhwuaj thì xe có thể di chuyển với vận tốc Tìm thời gian ít nhất để nhà địa chất đến là bao nhiêu phút? 
Áp dụng Bất đẳng thức Minkowski:
Dấu bằng xảy ra
Ta có BBT:
Vậy t min
(phút)Điền đáp án: 116.
Câu 13 [31043]: Trên sân bay có một máy bay cất cánh trên đường băng 
(từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm 
. Gọi 
là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng 
của máy bay. Dọc theo đường băng 
cách vị trị máy bay cất cánh 
một khoảng 
về phía bên phải có 1 người quan sát 
. Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng 
và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình 
(với 
là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng 
và tính từ 
). Khoảng cách ngắn nhất từ người 
(đứng cố định) đến máy bay là bao nhiêu mét. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
(từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm . Gọi là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng của máy bay. Dọc theo đường băng cách vị trị máy bay cất cánh một khoảng về phía bên phải có 1 người quan sát . Biết máy bay chuyển động trong mặt phẳng và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình (với là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng và tính từ ). Khoảng cách ngắn nhất từ người (đứng cố định) đến máy bay là bao nhiêu mét. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Lấy 
Ta có:
Xét hàm số:
có nghiệm duy nhất 
Ta có bảng biến thiên sau
Ta có:
Xét hàm số:
có nghiệm duy nhất Ta có bảng biến thiên sau
Câu 14 [390553]: Có ba khu dân cư 
tạo thành một tam giác. Trên đoạn đường 
người ta xây dựng một cây xăng tại 
sao cho tổng khoảng cách 
là ngắn nhất. Biết rằng 
(như hình vẽ), tính độ dài 
để xác định vị trí xây dựng cây xăng. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân theo đơn vị km.
tạo thành một tam giác. Trên đoạn đường người ta xây dựng một cây xăng tại sao cho tổng khoảng cách là ngắn nhất. Biết rằng (như hình vẽ), tính độ dài để xác định vị trí xây dựng cây xăng. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân theo đơn vị km.
HD: Đặt 
Khi đó
Suy ra
Ta có:
Lại có
Khi đó
khi 
Khi đó
Suy ra
Ta có:
Lại có
Khi đó
khi
Câu 15 [390556]: Trên con đường 
người ta muốn xây dựng một trạm quan sát 
để theo dõi hai vị trí 
và 
Biết rằng hai vị trí 
và 
này cách con đường 
một khoảng lần lượt là 
và 
(như hình vẽ). Hãy tính độ dài 
khi góc quan sát 
đạt giá trị lớn nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét. 
người ta muốn xây dựng một trạm quan sát để theo dõi hai vị trí và Biết rằng hai vị trí và này cách con đường một khoảng lần lượt là và (như hình vẽ). Hãy tính độ dài khi góc quan sát đạt giá trị lớn nhất. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét.
Đặt 
thì 
Khi đó
(1) 
Ta đặt
Mặt khác 
và 
Thay vào (1) ta được:
Để
thì 
Giải phương trình
Suy ra
thì Khi đó
(1) Ta đặt
Mặt khác và Thay vào (1) ta được:
Để
thì Giải phương trình
Suy ra
Câu 16 [31027]: Một cái ao có hình 
(như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 
, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ 
của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu 
cây cầu biết:
- Hai bờ
và 
nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại 
.
- Bờ
là một phần của một parabol có đỉnh là điểm 
và có trục đối xứng là đoạn thẳng 
.
- Độ dài đoạn
và 
lần lượt là 
và 
.
- Tâm
của mảnh vườn cách đường thẳng 
và 
lần lượt là 
và 
.
(viết kết quả theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười).
(như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính , người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu cây cầu biết:- Hai bờ
và nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại .- Bờ
là một phần của một parabol có đỉnh là điểm và có trục đối xứng là đoạn thẳng .- Độ dài đoạn
và lần lượt là và .- Tâm
của mảnh vườn cách đường thẳng và lần lượt là và . (viết kết quả theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục toạ độ 
với 
Toạ độ tâm 
Phương trình parabol có đỉnh là điểm
đi qua 
là 
Điểm
Độ dài cây cầu ngắn nhất
Xét hàm số
trên 
suy ra 
Vậy
Độ dài cây cầu cần tính là 
với Toạ độ tâm Phương trình parabol có đỉnh là điểm
đi qua là Điểm
Độ dài cây cầu ngắn nhất
Xét hàm số
trên suy ra Vậy
Độ dài cây cầu cần tính là