Đặt
Phương trình đã cho trở thành
Dựa vào bảng biến thiên ra thấy đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng
Suy ra phương trình có 3 nghiệm thực ứng với mỗi nghiệm cho 2 nghiệm thực
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.
Điền đáp án: 6.

Phương trình:
Đặt:
PT


Từ đồ thị hình vẽ, phương trình có 10 nghiệm

Bước 1: Giải phương trình hàm
Đặt
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
• Trên khoảng tăng từ lên nên phương trình có 1 nghiệm
• Trên đoạn giảm từ xuống nên phương trình có 1 nghiệm
• Trên đoạn tăng từ lên nên phương trình có 1 nghiệm
• Trên khoảng giảm từ xuống nên phương trình có 1 nghiệm
Bước 2: Giải để tìm nghiệm tương ứng
Do với mọi ta loại các giá trị là và
Như vậy, ta chỉ cần giải: với và với (Gợi ý: Đếm số nghiệm bằng đường tròn lượng giác)
Xét sự biến thiên của trên đoạn
• Khi đi từ tăng từ
• Khi đi từ giảm từ
• Khi đi từ giảm từ
• Khi đi từ tăng từ
• Khi đi từ tăng từ
Đếm số giao điểm:
• Trường hợp 1: Với
Đường thẳng nằm trong khoảng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt thuộc (1 điểm thuộc 1 điểm thuộc và 1 điểm thuộc ).
• Trường hợp 2: Với
Đường thẳng nằm trong khoảng cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt thuộc (1 điểm thuộc và 1 điểm thuộc ).
Vậy tổng số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là

Ta có:
Đặt:



Xét
Ta có bảng biến thiên:

Suy ra phương trình bài cho có tất cả 6 nghiệm phân biệt.

Đặt , ta có .
Bảng biến thiên :

Phương trình đã cho trở thành
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số :

Dựa vào bảng biến thiên , ta có
+) . Dựa vào bảng biến thiên , ta có phương trình có 1 nghiệm và phương trình có 1 nghiệm (các nghiệm này không trùng nhau).
+)
Dựa vào bảng biến thiên , ta có phương trình có 3 nghiệm; phương trình có 3 nghiệm; phương trình có 1 nghiệm; phương trình có 1 nghiệm (các nghiệm này không trùng nhau và không trùng với các nghiệm của phương trình ).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm.