Bước 1: Khai thác dữ liệu từ bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu, ta xác định được các khoảng mà hàm số đồng biến (tương ứng với ):
khi
Nói cách khác, hàm số đồng biến trên khoảng
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Xét hàm số Đạo hàm của là:


Để hàm số đồng biến, ta cần tìm các khoảng mà
Bước 3: Xét các trường hợp để tìm khoảng đồng biến
Trường hợp 1:
Khi đó , suy ra Biểu thức đạo hàm trở thành:

Để thì Dựa vào Bước 1, ta có:

Kết hợp với điều kiện , ta được khoảng:
Trường hợp 2:
Khi đó , suy ra Biểu thức đạo hàm trở thành:

Để thì Dựa vào bảng xét dấu, khi hoặc :
Nhánh 1: (Loại vì đang xét ).
Nhánh 2:
Vậy trong trường hợp này ta được khoảng:
Bước 4: Đối chiếu với các phương án
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Chọn đáp án C. Đáp án: C

Bước 1: Khai thác dữ liệu từ đồ thị
Dựa vào đồ thị hàm số , ta xác định được các khoảng giá trị của đạo hàm:
khi
khi
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm hợp
Đặt Để tìm khoảng đồng biến, ta cần tìm các khoảng mà
Công thức đạo hàm hàm hợp là:
Ta xét hai trường hợp của
Nếu
Nếu
Bước 3: Xét dấu đạo hàm để tìm khoảng đồng biến ()
Trường hợp 1:
Để thì
Dựa vào Bước 1, khi hoặc Thay


Kết hợp với điều kiện , ta có các khoảng: và
Trường hợp 2:
Để thì
Dựa vào Bước 1, khi hoặc Thay

(Loại vì đang xét ).
Vậy trong trường hợp này ta có khoảng:
Bước 4: Đối chiếu với các phương án
Từ kết quả trên, hàm số đồng biến trên các khoảng , và
Chọn đáp án C. Đáp án: C

HD: Lý thuyết: Số điểm cực trị của hàm số là với là số điểm cực trị dương của hàm số
Xét hàm số có Do đó hàm số có 1 điểm cực trị dưong.
Vậy hàm số đã cho có điểm cực trị.

Xét
Đặt:



Suy ra có tổng 7 nghiệm phân biệt bội lẻ.
Suy ra hàm số bài cho có 7 điểm cực trị.

Lại có:



Vậy hàm số có 3 điểm cực trị là
Điền đáp án: 3.

Xét

Từ bảng trên ta thấy có 4 nghiệm phân biệt:
Giả sử:
Ta có trục xét dấu như sau:

Từ trục xét dấu ta thấy đổi dấu từ - sang + 2 lần. Suy ra hàm số bài cho có 2 điểm cực tiểu.

Đặt

Tìm



Tìm



Khi thì (mang dấu +)
Khi thì (mang dấu +)
Vậy
Ta có trục biến thiên sau:

Vậy có 7 giá trị cưc đại của hàm số.

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Dựa vào bảng xét dấu của , ta thấy đạo hàm đổi dấu khi đi qua các điểm:
Đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) Cực đại.
Đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) Cực tiểu.
Đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) Cực đại.
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị là , , và
Bước 2: Khảo sát hàm số lõi
Xét hàm số
Đạo hàm Cho hoặc
Các giá trị cực trị: và
Đồ thị cắt trục hoành tại và
Xét hàm số
Đồ thị có 3 điểm cực trị (tại , , và ).
Khi cộng thêm , đồ thị tịnh tiến lên trên. Hàm số có:
3 điểm cực trị là: (), (), và ().
Tập giá trị:
Bước 3: Đếm số điểm cực trị của hàm hợp
Số điểm cực trị của hàm hợp được tính bằng:
(Số điểm cực trị của ) + (Số nghiệm đơn/bội lẻ của các phương trình )
(Với là các điểm cực trị của sao cho thuộc tập giá trị của ).
Xét các phương trình
Vì (nằm giữa cực tiểu và cực đại của ), đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Vì , đường thẳng cũng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Đường thẳng đi qua điểm cực đại của và cắt 2 nhánh ngoài. Tại là nghiệm kép (không tính), chỉ có 2 nghiệm đơn ở hai nhánh biên.
Kết luận
Tổng số điểm cực trị của hàm số là:
Hàm số có 13 điểm cực trị.

Chọn B



Suy ra chọn đáp án B. Đáp án: B

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số gốc
Dựa vào bảng xét dấu
đổi dấu tại các điểm: (từ sang ), (từ sang ), (từ sang ), và (từ sang - không đổi dấu).
Vậy hàm số có 3 điểm cực trị là: , , và
Bước 2: Phân tích hàm lõi
Xét hàm số bên trong
Số điểm cực trị của
Vậy có 2 điểm cực trị.
Số giao điểm của với trục hoành:
Ta có và Vì giá trị cực đại và cực tiểu trái dấu (), đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Số điểm cực trị của Tổng số điểm cực trị của và số giao điểm với trục hoành là điểm cực trị.
Bước 3: Tìm số điểm cực trị của hàm hợp
Công thức tổng quát:

Lưu ý: Chỉ xét các thuộc tập giá trị của Vì , ta chỉ xét
Dựa vào Bước 1, các cực trị dương của là và Ta đếm số giao điểm của đồ thị với hai đường thẳng này:
Phương trình
(3 nghiệm).
(nghiệm đơn , nghiệm kép ).
Tổng cộng có 4 nghiệm đơn/bội lẻ (0, , , ).
Phương trình
Đường thẳng nằm giữa cực tiểu () và các nhánh đi lên, đồng thời cắt các phần cong của đồ thị bậc 3 đã lấy trị tuyệt đối. Qua khảo sát, phương trình này sẽ có 4 nghiệm đơn phân biệt.
Kết luận
Tổng số điểm cực trị của hàm số là:
Vậy hàm số đã cho có 13 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên của đạo hàm trong hình, ta xác định số nghiệm của phương trình :
Trên khoảng : giảm từ xuống Do đi từ dương sang âm nên tồn tại 1 nghiệm
Trên khoảng : tăng từ lên Do đi từ âm sang dương nên tồn tại 1 nghiệm
Trên khoảng : giảm từ xuống Do đi từ dương sang âm nên tồn tại 1 nghiệm
Trên khoảng : tăng từ lên Do đi từ âm sang dương nên tồn tại 1 nghiệm
Vậy hàm số có 4 điểm cực trị là
Bước 2: Phân tích hàm lõi
Xét hàm số
Đạo hàm
Giá trị cực tiểu tại đây là
Khi thì Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là
Hàm số sẽ có đồ thị dạng chữ "W" với các đặc điểm: 3 điểm cực trị: (cực tiểu, ) và (cực đại, ).
Tập giá trị:
Bước 3: Đếm số điểm cực trị của
Số điểm cực trị của hàm hợp bằng:
(Số điểm cực trị của ) + (Số nghiệm phân biệt của các phương trình )
Ta xét số giao điểm của đường thẳng với đồ thị :
Với và : Vì nên hai phương trình và vô nghiệm.
Với : Đường thẳng này nằm giữa giá trị cực tiểu () và cực đại () của , nên nó cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Với : Đường thẳng này nằm phía trên điểm cực đại của , nên nó cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
Tổng cộng số điểm cực trị là:

Kết luận: Hàm số có 9 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên của , ta xác định số lần đổi dấu (tức là số nghiệm của ):
Trên khoảng : giảm từ xuống Vì đi từ dương sang âm nên có 1 nghiệm
Trên khoảng : tăng từ lên Vì đi từ âm sang dương nên có 1 nghiệm
Trên khoảng : giảm từ xuống Vì đi từ dương sang âm nên có 1 nghiệm
Trên khoảng : tăng từ lên Vì đi từ âm sang dương nên có 1 nghiệm
Vậy hàm số có 4 điểm cực trị là
Bước 2: Phân tích hàm số lõi
Xét hàm số phía trong dấu giá trị tuyệt đối:
Đạo hàm:

Giá trị cực tiểu của tại là
Khi , Do đó, phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Hàm số sẽ có: 3 điểm cực trị: Tại (cực tiểu, ), (cực đại, ), và (cực tiểu, ).
Tập giá trị:
Bước 3: Đếm số điểm cực trị của
Số điểm cực trị của hàm hợp bằng:
(Số cực trị của ) + (Số nghiệm phân biệt của các phương trình )
Ta xét giao điểm của đồ thị với các đường thẳng :
Với và : Do nên các phương trình và vô nghiệm.
Với : Đường thẳng này nằm giữa giá trị cực tiểu () và cực đại () của Dựa vào hình dáng đồ thị (dạng chữ W), nó cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
Với : Đường thẳng này nằm phía trên điểm cực đại () nên chỉ cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị tại 2 điểm phân biệt.
Bước 4: Kết luận
Tổng số điểm cực trị của hàm số là:

Hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy đồ thị có 3 điểm cực trị (2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại). Gọi hoành độ của các điểm cực trị này lần lượt là
Điểm cực tiểu bên trái.
Điểm cực đại ở giữa.
Điểm cực tiểu bên phải (thường .
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Bước 2: Phân tích hàm lõi
Xét hàm số

Giá trị cực trị của là và
hoặc
Hàm số sẽ có các đặc điểm sau:
Số điểm cực trị của Hàm có cực trị tại các điểm cực trị của và tại các điểm Tổng cộng có 5 điểm cực trị tại
Giá trị tại các điểm cực trị:
Tại và (các điểm cực tiểu).
Tại (các điểm cực đại).
Bước 3: Đếm số điểm cực trị của
Số điểm cực trị của bằng:
(Số điểm cực trị của + (Số nghiệm phân biệt của các phương trình
(Lưu ý: Không tính các nghiệm trùng với điểm cực trị của
Ta xét số nghiệm của các phương trình dựa vào bảng biến thiên/đồ thị của trên miền
Phương trình Với
Đường thẳng nằm giữa giá trị cực tiểu (-2) và giá trị cực đại (0) của Dựa vào hình dáng đồ thị "W" kép của , đường thẳng này cắt đồ thị tại 6 điểm phân biệt.
Phương trình Với
Đường thẳng nằm trên các điểm cực đại (0) của Nó chỉ cắt hai nhánh ngoài cùng của đồ thị. Vậy phương trình này có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình Với
Tương tự, đường thẳng nằm phía trên các điểm cực đại (0) nên cũng chỉ cắt hai nhánh ngoài cùng. Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Bước 4: Tổng kết
Tổng số điểm cực trị của hàm số là:

Kết luận: Hàm số đã cho có 15 điểm cực trị.

Bước 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số gốc
Dựa vào đồ thị hàm số trong hình, ta thấy đồ thị có 3 điểm cực trị (2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu) tại các hoành độ:
(Cực đại)
(Cực tiểu)
(Cực đại)
Bước 2: Phân tích hàm lõi
Để tìm số điểm cực trị của , trước tiên ta cần xác định các điểm cực trị của và tập giá trị của nó.
Xét : Có 1 điểm cực trị tại với giá trị cực tiểu Đồ thị cắt trục hoành tại và
Xét : Đồ thị được tạo bằng cách giữ nguyên phần trên trục hoành và lấy đối xứng phần dưới lên trên. Hàm số này có 3 điểm cực trị tại , , và
Hàm số chỉ là tịnh tiến đồ thị xuống dưới 1 đơn vị. 3 điểm cực trị của là: (), (), và ().
Tập giá trị của là
Bước 3: Đếm số điểm cực trị của hàm hợp
Số điểm cực trị của hàm hợp được tính bằng công thức:

(Trong đó là các điểm cực trị của và phải thuộc tập giá trị của ).
Ta xét các phương trình :
: Vì (nằm giữa cực tiểu và cực đại của ), đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
: Vì , đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt.
: Vì (nằm phía trên cực đại của ), đường thẳng cắt đồ thị tại 2 điểm ở hai nhánh ngoài cùng.
Kết luận
Tổng số điểm cực trị của hàm số là:

Hàm số đã cho có 13 điểm cực trị.

Ta thấy hàm có tập xác định và nên hàm số là hàm số chẵn.
Xét hàm số
Khi đó

Vì nên loại
Do đó khi hàm số có hai điểm cực trị
Mà hàm số là hàm số chẵn nên hàm số có điểm cực trị