Bước 1: Khảo sát hàm lõi
Xét hàm số trên :
Đạo hàm:
Giá trị cực trị:
Tại
Tại
Giới hạn: Khi ; khi
Bước 2: Lập bảng biến thiên ghép trục cho
Dựa vào bảng biến thiên của , các điểm cực trị của hàm số là Ta theo dõi sự biến thiên của khi chạy qua các khoảng giá trị:
Phân tích các giá trị tại điểm cực trị của :
Tại
Tại
Tại
Bước 3: Biện luận số nghiệm theo
Phương trình ban đầu tương đương với:
Để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt, đường thẳng phải cắt đồ thị hàm hợp tại 8 điểm.
Dựa vào bảng biến thiên ghép trục:
Các "đỉnh" cao nhất của các thung lũng cục bộ là tại giá trị và các "đáy" là và
Để có 8 giao điểm, đường thẳng phải nằm giữa giá trị cực tiểu cao hơn và giá trị cực đại thấp hơn trong cấu trúc các nhánh.
Cụ thể, quan sát các nhánh: Đường thẳng phải cắt qua các khoảng giữa các cực trị sao cho tổng số giao điểm trên toàn trục là 8. Điều này xảy ra khi:

Bước 4: Tìm giá trị nguyên của
Từ điều kiện , ta có:

Vì là số nguyên, nên
Tổng cộng có 5 giá trị nguyên của

Đầu tiên, ta cần xác định bảng biến thiên của hàm số
hoặc
(cực đại).
(cực tiểu).
Bước 1: Khảo sát hàm lõi
Xét hàm số
hoặc
Giá trị cực trị:
Tại
Tại
Khi
Bước 2: Lập bảng biến thiên ghép trục cho
Dựa vào các điểm cực trị của là và , ta lập bảng biến thiên của theo sự thay đổi của
Tính các giá trị tại các điểm u quan trọng:
Tại
Tại
Tại
Bước 3: Biện luận số nghiệm để tìm
Để phương trình có đúng 4 nghiệm phân biệt, đường thẳng phải cắt đồ thị hàm hợp tại 4 điểm. Quan sát bảng biến thiên ta thấy có 4 nghiệm.
Kết luận: Vậy các giá trị nguyên của từ đến là 15 giá trị.

Phương trình cần giải:
Bước 1: Khảo sát hàm lõi
Đầu tiên, xét :

Tại ; tại
Đồ thị cắt trục hoành () tại và
Khi lấy trị tuyệt đối , phần đồ thị phía dưới trục hoành được đối xứng lên trên.
Các điểm cực trị của : (cho ) và các điểm làm là
Bảng biến thiên nhanh của : Từ giảm về , tăng lên , giảm về , tăng lên , giảm về , rồi tăng lên
Bước 2: Ghép trục tìm biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của , hàm số có các điểm cực trị tại với các giá trị tương ứng là
Giá trị tại các điểm:
Tại ,
Tại ,
Bước 3: Biện luận số nghiệm
Phương trình có ít nhất 5 nghiệm khi đường thẳng cắt đồ thị tại 5 điểm trở lên. Quan sát bảng biến thiên của :
Đồ thị có 3 "đáy" tại giá trị và các "đỉnh" tại giá trị
Khi : Đường thẳng cắt mỗi nhánh chữ "W" kéo dài này nhiều lần. Cụ thể, trong khoảng này, mỗi "thung lũng" giữa các đỉnh sẽ cho 2 nghiệm. Với 3 thung lũng và 2 nhánh vô cực, số nghiệm sẽ rất lớn (lên đến 8 nghiệm).
Tại : Đường thẳng đi qua 3 điểm cực đại (), tổng cộng có 3 nghiệm (không thỏa mãn "ít nhất 5").
Tại : Đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu (), tổng cộng có 2 nghiệm (không thỏa mãn).
Vậy điều kiện để có ít nhất 5 nghiệm là:


Bước 4: Đếm các giá trị nguyên của
Số giá trị nguyên của trong khoảng là:

Kết quả: Có 30 giá trị nguyên của tham số

Phương pháp: Ghép trục.
Đặt
Để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt
Xét bảng biến thiên hàm , ta có:

Đồ thị hàm số liên tục trên tương tự đồ thị hàm

Vậy để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt thì
Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Điền đáp án: 2.

Ta có với . Đặt
Ta có bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán
Vì

Đặt , với .
Ta thấy hàm số liên tục trên đoạn và ; .
Bảng biến thiên:

Ta có nhận xét:
Với thì phương trình có nghiệm phân biệt;
Với thì phương trình có nghiệm phân biệt;
Với mỗi thì phương trình có nghiệm phân biệt.
Với phương trình thành .
Dựa vào đồ thị, ta có khi thì trên phương trình
. Khi đó phương trình có nghiệm phân biệt.
Vì nên .

Phương pháp: ghép trục.
Ta có:
Bước 1: Khảo sát hàm lõi
Xét hàm số :
Đạo hàm:
Nghiệm đạo hàm:
Giá trị cực trị:
Tại
Tại
Bước 2: Lập bảng biến thiên ghép trục cho
Dựa vào bảng biến thiên của , các điểm cực trị của hàm số là
Các giá trị quan trọng của từ bảng biến thiên:



Bước 3: Xét hàm trị tuyệt đối
Để phương trình có nghiệm, ta lấy trị tuyệt đối các giá trị cực trị của :
Các giá trị giữ nguyên.
Giá trị trở thành
Giá trị trở thành
Bảng biến thiên của sẽ có các "đỉnh" cao nhất là , các "đỉnh" trung gian là , và các "đáy" là Để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt, đường thẳng phải cắt đồ thị tại 6 điểm. Qua quan sát sự biến thiên:
Nếu : Đường thẳng đi qua các đỉnh cao nhất, thường tạo ra ít nghiệm hơn (tại và các điểm tương ứng).
Nếu : Đường thẳng sẽ cắt các nhánh đi từ xuống và các nhánh từ lên
Nếu : Đường thẳng đi ngang qua các đỉnh trị tuyệt đối của cực trị
Dựa trên cấu trúc đồ thị ghép trục, điều kiện để có 6 nghiệm phân biệt là:


Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của
Các giá trị nguyên của thỏa mãn là:

Tổng cộng có 8 giá trị nguyên của

Phương pháp: ghép trục.
Phương trình ban đầu tương đương với:
Bước 1: Khảo sát hàm lõi
Xét hàm số :
Đạo hàm:

Giá trị cực trị: và
Bước 2: Lập bảng biến thiên ghép trục cho
Dựa vào bảng biến thiên của trong đề bài, ta thấy các điểm cực trị của là
Chi tiết các điểm cực trị của :
Tại
Tại
Tại
Bước 3: Xét hàm trị tuyệt đối
Để tìm số nghiệm của , chúng ta lật các phần âm của đồ thị lên trên trục hoành:
Các điểm cực đại giữ nguyên:
Các điểm cực tiểu trở thành cực đại:
Các điểm trở thành các điểm cực tiểu bằng
Dựa vào bảng biến thiên của , để phương trình có đúng 6 nghiệm phân biệt, đường thẳng phải nằm ở vị trí:

Bước 4: Tìm giá trị nguyên của
Trường hợp
Trường hợp
Các giá trị nguyên của là:
Kết luận: có 9 giá trị nguyên của

Phương pháp: ghép trục.
Ta có:
Bước 1: Khảo sát hàm số
Xét hàm số :


Bảng biến thiên của :
Khi
Tại (Cực đại)
Tại (Cực tiểu)
Khi
Bước 2: Khảo sát hàm hợp qua biến thiên của
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy các điểm cực trị của xảy ra tại (cực đại bằng 3) và (cực tiểu bằng -1).
Ta lập bảng biến thiên ghép trục cho
Lưu ý: Từ đồ thị, ta thấy (vì tại đồ thị đang đi lên từ phía dưới).
Bước 3: Xét hàm trị tuyệt đối và biện luận
Để phương trình có 8 nghiệm phân biệt, ta quan sát sự biến thiên của hàm số
Khi lấy trị tuyệt đối, các phần đồ thị nằm dưới trục hoành sẽ được đối xứng lên trên. Các giá trị cực trị của sẽ là:
Các điểm cực đại cũ:
Các điểm cực tiểu cũ: và
Các điểm giao với trục hoành (nơi ).
Dựa trên bảng biến thiên ghép trục, để có 8 nghiệm phân biệt, đường thẳng phải cắt đồ thị tại 8 điểm. Điều này xảy ra khi:


Bước 4: Tìm các giá trị nguyên của
Vì là số nguyên, nên
Vậy có 5 giá trị nguyên của

Ta có:


Đặt .Với , thì .

BBT:

Ghép trục trên BBT đã cho:
Trên đoạn , có 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì có 4 nghiệm phân biệt.



Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:
Đây là phương trình bậc hai ẩn . Ta có thể phân tích thành nhân tử:


Đặt . Với , thì .
Ta có:
BBT:

Phương trình (1) trở thành . Dựa vào đồ thị hàm số đã cho:
Trên đoạn , có 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì có 4 nghiệm phân biệt.



Vậy có 2 giá trị của m để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt.

Bước 1: Khảo sát hàm số
Đặt . Với , ta có:
.
.
.
.
.
Bước 2: Mối liên hệ giữa số nghiệm và số nghiệm
Quan sát hàm trên đoạn :
Nếu (cho 1 nghiệm ).
Nếu mỗi giá trị cho 2 nghiệm đối xứng nhau qua 0.
Phương trình ban đầu trở thành: với .
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt, ta có các trường hợp sau đối với :
Phương trình có duy nhất một nghiệm .
Phương trình có nghiệm và các nghiệm khác (nếu có) phải nằm ngoài đoạn . Tuy nhiên, nếu có thêm nghiệm thì tổng số nghiệm sẽ là (loại).
Bước 3: Dựa vào đồ thị để tìm giá trị
Nhìn vào đồ thị trên đoạn (tương ứng với trục của chúng ta):
Tại , .
Tại , (điểm cực tiểu).
Tại , .
Đặt . Để có duy nhất một nghiệm , đường thẳng phải cắt đồ thị tại:
Trường hợp 1: Cắt tại điểm cực tiểu .
Lúc này (thỏa mãn ), cho ta đúng 2 nghiệm .
Trường hợp 2: Cắt trong khoảng giá trị mà chỉ có 1 nhánh đồ thị tồn tại, đó là từ trên đến .
Điều kiện: .
(Lưu ý: Tại , ta có 2 nghiệm : và . Tổng cộng sẽ có nghiệm , nên ta loại dấu bằng tại ).
Bước 4: Giải bất phương trình tìm nguyên
Với :
(1 giá trị nguyên)
Với :




Vì nên (5 giá trị nguyên)
Kết luận
Tổng cộng có giá trị nguyên của thỏa mãn.

B1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của
Đặt . Với , ta xét sự biến thiên của :
Khi .
Khi (đây là giá trị cực đại).
Khi .
Bảng biến thiên của theo :
tăng từ : tăng từ .
tăng từ : giảm từ
B2. Mối quan hệ giữa số nghiệm và số nghiệm
Dựa vào sự biến thiên trên, ta có các trường hợp sau cho mỗi giá trị tìm được:
Nếu : Có đúng 1 giá trị (tại ).
Nếu : Có 2 giá trị phân biệt (một trong và một trong ).
Nếu : Có đúng 1 giá trị phân biệt (nằm trong ).
Nếu hoặc : Không có giá trị nào thỏa mãn.
B3. Biện luận theo đồ thị để tìm
Phương trình trở thành với . Để phương trình gốc có đúng 2 nghiệm , ta xét các khả năng của dựa trên đồ thị:
Trường hợp 1: Phương trình có duy nhất 1 nghiệm .
Nhìn vào đồ thị trong khoảng , hàm số đi từ xuống (tại ) rồi lên lại (tại ).
Tại : Có nghiệm (thuộc 2 nghiệm ) và một nghiệm (loại vì ). Vậy thỏa mãn.
Tại : Có 2 nghiệm , mỗi cho 2 nghiệm tổng cộng 4 nghiệm (Loại).
Trường hợp 2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng .
Nhìn vào đồ thị trong khoảng , hàm số đi từ lên rồi xuống .
Để có 2 nghiệm , đường thẳng phải cắt đồ thị tại 2 điểm có hoành độ trong khoảng này. Điều này xảy ra khi .
Vì là số nguyên nên ta có và . (Tại có 3 nghiệm , tại chỉ có 1 nghiệm ).
Kết luận
Các giá trị nguyên của thỏa mãn là: .
Tổng cộng có 3 giá trị nguyên của