Đặt , dựa vào BBT suy ra phương trình
Lập BBT của ta có:

Phương trình có 1 nghiệm, phương trình có 3 nghiệm, phương trình có 1 nghiệm nên phương trình đã cho có 8 nghiệm.

Từ bảng biến thiên ta có:
Suy ra:
Phương trình cho ta ba nghiệm, phương trình cho ta một nghiệm.
Vậy tổng phương trình có bốn nghiệm.

Bước 1: Giải phương trình hàm
Đặt
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta vẽ đường thẳng cắt các nhánh của đồ thị
• Trên khoảng giảm từ xuống Đường thẳng cắt tại 1 điểm
• Trên đoạn tăng từ lên Đường thẳng cắt tại 1 điểm
• Trên đoạn giảm từ xuống Đường thẳng cắt tại 1 điểm
• Trên đoạn tăng từ lên Đường thẳng cắt tại 1 điểm
• Trên khoảng giảm từ xuống Đường thẳng cắt tại 1 điểm
Bước 2: Loại nghiệm không thỏa điều kiện
Vì nên
Do đó, ta loại các giá trị là và
Như vậy, ta chỉ giữ lại 3 giá trị của


Bước 3: Tìm số nghiệm cho từng trường hợp
Khoảng tương ứng với 2,5 vòng quay trên đường tròn lượng giác.
Với mỗi giá trị phương trình có nghiệm là các giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số trên khoảng
Xét đồ thị trên
• Trong chu kỳ đầu Mỗi đường cắt tại 2 điểm.
• Trong chu kỳ thứ hai Mỗi đường cắt tại 2 điểm.
• Trong nửa chu kỳ cuối Đồ thị đi từ xuống Do đó, với bất kỳ đường thẳng cắt đồ thị tại thêm 1 điểm.
Với mỗi giá trị phương trình có tổng cộng nghiệm thuộc khoảng Cả 3 giá trị đều phân biệt và nằm trong khoảng nên
• cho 5 nghiệm
• cho 5 nghiệm
• cho 5 nghiệm
Vậy tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình thuộc khoảng là

Ta có:

Đặt

Xét

Trên khoảng : Phương trình có nghiệm phân biệt.
Trên khoảng : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Trên khoảng : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình có tổng 13 nghiệm phân biệt.

Ta có:
Đặt:
PT




Xét

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra phương trình có tất cả 7 nghiệm.

Đặt
Khi đó phương trình trở thành:

BBT của u:
Dựa vào BBT ta có:
- Với mỗi có 1 giá trị
- Với mỗi có 2 giá trị
- Với mỗi có 3 giá trị
Vậy phương trình đã cho có 10 nghiệm.

Đặt
và PT




Xét hàm số trên
Ta có
Tính các giá trị
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng
+) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.
có 3 nghiệm phân biệt.
+) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt.
có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.

Ta có:
Ta dựa vào đồ thị:
Phương trình có 3 nghiệm.
Phương trình có 1 nghiệm.
Phương trình có 3 nghiệm.
Vậy phương trình có 7 nghiệm phân biệt.

Đặt .
Phương trình có dạng
* Với ta có Phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
* Với ta có . Phương trình có nghiệm thuộc khoảng .
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng .

Đặt:

Ta xét:

Trên khoảng : Phương trình có nghiệm phân biệt.
Trên khoảng : Phương trình có 1 nghiệm phân biệt.
Trên khoảng : Phương trình có 1 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình có tổng 8 nghiệm phân biệt.

Đặt:
PT


Suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Trước tiên ta khảo sát hàm số

Đồng thời và
Ta có bảng biến thiên:

Trở lại bài toán, đặt Khi đó phương trình trở thành
Suy ra
+) Với
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
+) Với
Phương trình có đúng 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm thực.

Đặt , .
Khi đó phương trình trở thành ,
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và đường thẳng .

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có .
Với

Dựa vào đồ thị hàm số trên nửa khoảng hoặc dùng đường tròn lượng giác, ta được: Phương trình có nghiệm phân biệt.

Ta có .
Hàm số không có điểm cực trị .
Gọi là nghiệm chung của hai phương trình và phương trình khi hàm số không có điểm cực trị.
Khi đó, phương trình có duy nhất một nghiệm .
Ta có (Do phương trình có duy nhất một nghiệm ).
Vậy .
YCBT .
Mà .
Vậy có cặp thỏa ycbt.