Câu 1 [120743]: [Đề THPT QG 2017]: Tìm nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
Lời giải: Ta có 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [147990]: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 3 [147984]: Hàm số 
là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:
là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau: A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án A
là nguyên hàm của hàm số 
Đáp án: A
là nguyên hàm của hàm số
Đáp án: A
Câu 4 [360263]: 
bằng:
bằng: A, 
B, 
C, 
D, 
Áp dụng công thức nguyên hàm: 
Ta được
Chọn D. Đáp án: D
Ta được
Chọn D. Đáp án: D
Câu 5 [148006]: Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án D Đáp án: D
Câu 6 [148016]: Nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [147965]: Họ nguyên hàm của hàm số 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: 
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 8 [360302]: Cho hàm số 
Nguyên hàm 
của hàm số 
trên 
sao cho 
là:
Nguyên hàm của hàm số trên sao cho là: A, 
B, 
C, 
D, 
Có
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 9 [148223]: Cho hàm số 
thỏa mãn 
và 
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
thỏa mãn và Mệnh đề nào dưới đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
Mà
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 10 [148237]: Biết 
là một nguyên hàm của hàm số 
và 
. Chọn khẳng định đúng
là một nguyên hàm của hàm số và . Chọn khẳng định đúng A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có 
Mặt khác
Chọn A. Đáp án: A
Mặt khác
Chọn A. Đáp án: A
Câu 11 [396464]: Tìm một nguyên hàm 
của hàm số 
thoả mãn điều kiện 
của hàm số thoả mãn điều kiện A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
Lại có 
Lại có
Câu 12 [1012182]: Cho hàm số 
Hàm số 
là một nguyên hàm của 
thỏa mãn 
Khi đó
[[20589551]] và 
[[20589552]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Hàm số là một nguyên hàm của thỏa mãn
Khi đó
[[20589551]] và [[20589552]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có 
Mà
Mà
Câu 13 [161485]: Cho hàm số 
thỏa mãn 
và có đồ thị đi qua điểm 
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
thỏa mãn và có đồ thị đi qua điểm Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Sai.
Ta có hệ số góc
b) Sai.
Ta có
Lại có
Suy ra
c) Đúng.
Ta có
d) Sai.
Ta có hệ số góc
b) Sai.
Ta có
Lại có
Suy ra
c) Đúng.
Ta có
d) Sai.
Câu 14 [389746]: Cho hàm số 
có 
và 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
có và Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) Đúng.
b) Sai.
Có
c) Sai.
d) Đúng.
b) Sai.
Có
c) Sai.
d) Đúng.
Câu 15 [389747]: Cho hàm số 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) Đúng.
b) Sai.
Nên
không là một nguyên hàm của hàm số.
c) Sai.
Mà
d) Sai.
không là một nguyên hàm của hàm số 
vì
b) Sai.
Nên
không là một nguyên hàm của hàm số.c) Sai.
Mà
d) Sai.
không là một nguyên hàm của hàm số vì
Câu 16 [389753]: Hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
thỏa mãn 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.
a) Đúng.
Ta có:
(tính chất nguyên hàm)
b) Đúng.
c) Sai.
Có
d) Đúng.
Ta có
Vậy mệnh đề đúng.
Ta có:
(tính chất nguyên hàm) b) Đúng.
c) Sai.
Có
d) Đúng.
Ta có
Vậy mệnh đề đúng.
Câu 17 [1012183]: Biết 
là một nguyên hàm của hàm số 
Khi đó
bằng [[20589587]] và 
[[20589589]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
là một nguyên hàm của hàm số Khi đó
bằng [[20589587]] và [[20589589]] .Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có: 
Suy ra
Suy ra
Câu 18 [389749]: Kí hiệu 
là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng 
năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 
Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ 
năm). Hỏi sau khi trồng 5 năm, cây cao bao nhiêu mét. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ năm). Hỏi sau khi trồng 5 năm, cây cao bao nhiêu mét. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
Ta có 
Có 
Vậy chiều cao của cây sau khi trồng được 5 năm là 
Câu 19 [389751]: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày sau ngày thứ 
với số lượng là 
nếu phát hiện sớm thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết rằng 
và sau 1 ngày bệnh nhân có 2000 con vi khẩn trong dạ dày. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị...
với số lượng là nếu phát hiện sớm thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết rằng và sau 1 ngày bệnh nhân có 2000 con vi khẩn trong dạ dày. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị...
Ta có 
Có
Vậy sau 15 ngày thì số con vi khuẩn trong dạ dày là
(con)
Có
Vậy sau 15 ngày thì số con vi khuẩn trong dạ dày là
(con)
Câu 20 [371984]: Mặt cắt ngang của một ống dẫn khí nóng là hình vành khuyên như hình vẽ. Khí bên trong ống được duy trì ở 
Biết rằng nhiệt độ 
tại điểm 
trên thành ống là hàm số của khoảng cách 
từ 
đến tâm của mặt cắt và 
(Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của 
Biết rằng nhiệt độ tại điểm trên thành ống là hàm số của khoảng cách từ đến tâm của mặt cắt và (Nguồn: Y.A.Çengel, A.I.Gahjar, Heat and Mass Transfer, Mc Graw Hill, 2015). Tìm nhiệt độ mặt ngoài của ống. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của
Cách 1: Ta có: 
vì 
Lại có
Do đó
Cách 2: Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở
nên 
Nhiệt độ mặt ngoài của ống là
vì Lại có
Do đó
Cách 2: Do nhiệt độ của khí bên trong ống luôn được duy trì ở
nên Nhiệt độ mặt ngoài của ống là
Câu 21 [879552]: Một vật đang ở nhiệt độ 100 °C thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30 °C. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc độ 
(°C/phút), trong đó 
là nhiệt độ tính theo °C tại thời điểm 
phút kể từ khi được đặt vào môi trường.
a) Xác định hàm số
b) Tìm nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của °C).
c) Sau bao nhiêu phút, nhiệt độ của vật là
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của phút).
(°C/phút), trong đó là nhiệt độ tính theo °C tại thời điểm phút kể từ khi được đặt vào môi trường.a) Xác định hàm số
b) Tìm nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của °C).
c) Sau bao nhiêu phút, nhiệt độ của vật là
(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của phút).
a) Xác định hàm số 
.
Hàm số
là nguyên hàm của tốc độ thay đổi nhiệt độ 
.
.
Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm của
: 
.
Tại thời điểm ban đầu (
), nhiệt độ của vật là 
Vậy, hàm số
là 
b) Tìm nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của
Ta cần tính
.
c) Sau bao nhiêu phút, nhiệt độ của vật là
(kết quả làm tròn đển hàng phần trăm của phút).
Ta cần tìm
sao cho 
( Lấy logarit tự nhiên cả hai vế)
Kết quả:
a) Hàm số
b) Nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút là khoảng
c) Nhiệt độ của vật là
sau 0.97 phút.
.Hàm số
là nguyên hàm của tốc độ thay đổi nhiệt độ ..Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm của
: .Tại thời điểm ban đầu (
), nhiệt độ của vật là Vậy, hàm số
là b) Tìm nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của
Ta cần tính
.c) Sau bao nhiêu phút, nhiệt độ của vật là
(kết quả làm tròn đển hàng phần trăm của phút).Ta cần tìm
sao cho ( Lấy logarit tự nhiên cả hai vế)Kết quả:
a) Hàm số
b) Nhiệt độ của vật ở thời điểm 1 phút là khoảng
c) Nhiệt độ của vật là
sau 0.97 phút.
Câu 22 [1020767]: Một hồ nước có diện tích 
Thí nghiệm cho thấy bèo phủ mặt hồ trên theo quy luật: diện tích bèo tăng thêm tỉ lệ thuận với diện tích đã có, tức là nếu 
là diện tích bèo đã phủ sau 
ngày thì 
Biết rằng vào thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ 
và sau 5 ngày thì bèo đã phủ được 
Thí nghiệm cho thấy bèo phủ mặt hồ trên theo quy luật: diện tích bèo tăng thêm tỉ lệ thuận với diện tích đã có, tức là nếu là diện tích bèo đã phủ sau ngày thì Biết rằng vào thời điểm ban đầu, diện tích bèo phủ và sau 5 ngày thì bèo đã phủ được
a) Đúng.
b) Đúng.
Theo đề bài, ta có:
Lấy tích phân hai vế theo
:
với 
.
Do đó,
.
Chuyển về dạng hàm mũ:
.
Đặt
, ta được hàm số diện tích bèo có dạng: 
.
Tìm các hằng số C và k.
Theo đề bài ta có: Tại
, 
.
.
Vậy, hàm số diện tích bèo là
.
c) Sai.
Sử dụng điều kiện sau 5 ngày: Tại
, 
.
.
d) Sai.
Sau 9 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị), bèo đã phủ kín mặt hồ.
"Phủ kín mặt hồ" có nghĩa là diện tích bèo đạt 245
.
Ta cần tìm
sao cho 
.
.
.
Lấy logarit tự nhiên hai vế:
ngày.
Làm tròn đến hàng đơn vị,
ngày.
b) Đúng.
Theo đề bài, ta có:
Lấy tích phân hai vế theo
: với . Do đó,
.Chuyển về dạng hàm mũ:
.Đặt
, ta được hàm số diện tích bèo có dạng: .Tìm các hằng số C và k.
Theo đề bài ta có: Tại
, . .Vậy, hàm số diện tích bèo là
.c) Sai.
Sử dụng điều kiện sau 5 ngày: Tại
, ..d) Sai.
Sau 9 ngày (làm tròn đến hàng đơn vị), bèo đã phủ kín mặt hồ.
"Phủ kín mặt hồ" có nghĩa là diện tích bèo đạt 245
.Ta cần tìm
sao cho ...Lấy logarit tự nhiên hai vế:
ngày.Làm tròn đến hàng đơn vị,
ngày.
Câu 23 [1023979]: Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thuỷ sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm 
ngày 
kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn 
và 
trong đó 
là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm 
(ngày); 
(ngày) nhận được kết quả lần lượt là 
mg/lít; 
mg/lít. Cho biết 
(đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm ngày kể từ lúc sử dụng thuốc, thoả mãn và trong đó là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm (ngày); (ngày) nhận được kết quả lần lượt là mg/lít; mg/lít. Cho biết
a) Ta có: 
Lấy nguyên hàm hai vế, ta có:
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có
(giải hệ phương trình) 
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Giải từ câu b)
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
và 
(mg/lít).
Suy ra mệnh đề d) sai.
Lấy nguyên hàm hai vế, ta có:
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có
(giải hệ phương trình)
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Giải từ câu b)
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
và (mg/lít).
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 24 [775914]: Ông Tuấn đang đổ đầy nước từ vòi vào bình tưới nước. Nước chảy vào bình với tốc độ 
lít mỗi phút. Bình tưới nước của ông ta ban đầu đầu rỗng và có thể chứa được 16 lít nước. Thật không may, bình có một lỗ ở đáy nên nước bị rò rỉ với tốc độ
lít mỗi phút, trong đó 
là thời gian tính bằng phút. Mất bao lâu bình tưới nước mới đầy (làm tròn đến hàng đơn vị của giây)?
lít mỗi phút. Bình tưới nước của ông ta ban đầu đầu rỗng và có thể chứa được 16 lít nước. Thật không may, bình có một lỗ ở đáy nên nước bị rò rỉ với tốc độ lít mỗi phút, trong đó là thời gian tính bằng phút. Mất bao lâu bình tưới nước mới đầy (làm tròn đến hàng đơn vị của giây)?
Điền đáp án: 199.
Để bình tưới nước đầy thì sự chênh lệch giữa nước chảy vào bình và nước bị rò rỉ phải bằng thể tích bình hay bằng 16 lít. Ở bài này ta áp dụng công thức:
với 
là lượng nước có trong bình tại thời điểm 
Giả sử tại thời điểm
(phút) thì bình đầy nước.
Vì nước chảy vào bình với tốc độ
lít mỗi phút nên lượng nước chảy vào bình trong 
phút là 
Tương tự, ta có lượng nước rò rỉ ra ngoài trong
phút là 
Bình tưới nước đầy khi và chỉ khi
Bấm phương trình vào máy tính casio sau đó ấn SHIFT -> SOLVE, ta thu được nghiệm
phút hay 199 giây. Vậy sau 199 giây thì bình tưới nước mới đầy.
Để bình tưới nước đầy thì sự chênh lệch giữa nước chảy vào bình và nước bị rò rỉ phải bằng thể tích bình hay bằng 16 lít. Ở bài này ta áp dụng công thức:
với là lượng nước có trong bình tại thời điểm
Giả sử tại thời điểm
(phút) thì bình đầy nước.
Vì nước chảy vào bình với tốc độ
lít mỗi phút nên lượng nước chảy vào bình trong phút là
Tương tự, ta có lượng nước rò rỉ ra ngoài trong
phút là
Bình tưới nước đầy khi và chỉ khi
Bấm phương trình vào máy tính casio sau đó ấn SHIFT -> SOLVE, ta thu được nghiệm
phút hay 199 giây. Vậy sau 199 giây thì bình tưới nước mới đầy.