Câu 1 [151263]: Cho đồ thị hàm số 
. Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là
. Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là A, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị ta thấy : trong đoạn
và trong đoạn 
Ta có
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 2 [151268]: Cho đồ thị hai hàm số 
và 
. Diện tích hình phẳng được gạch chéo tính theo công thức nào dưới đây?
và . Diện tích hình phẳng được gạch chéo tính theo công thức nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án A
Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Khi
Khi
Do đó diện tích cần tìm bằng:
Đáp án: A
Ta có: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
Khi
Khi
Do đó diện tích cần tìm bằng:
Đáp án: A
Câu 3 [151245]: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
và 
và A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Phương trình hoành độ giao điểm 
Ta có
Chọn B.
Đáp án: B
Ta có
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 4 [115851]: Tính diện tích 
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
đường thẳng 
và trục hoành.
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng và trục hoành. A, 
B, 
C, 
D, 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường thẳng 
là:
Ta có:
Xét
, ta đặt 
Cách 2: Diện tích cần tìm là hình quạt có góc ở đỉnh bằng
.
Chọn D. Đáp án: D
Câu 5 [140086]: Tính diện tích 
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 
và các đường thẳng 
,
.
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường thẳng ,. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Lời giải: Ta có: 
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Chọn B.
Đáp án: B
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
Chọn B.
Đáp án: B
Câu 6 [151235]: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
được tính bởi công thức
và được tính bởi công thức A, 
B, 
C, 
D, 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Ta có trục xét dấu của hàm số
là
Suy ra diện tích hình phẳng đó là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Ta có trục xét dấu của hàm số
là Suy ra diện tích hình phẳng đó là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [392135]: Cho 
là hình phẳng giới hạn bởi parabol 
và nửa đường tròn tâm 
bán kính bằng 
(phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của 
bằng
là hình phẳng giới hạn bởi parabol và nửa đường tròn tâm bán kính bằng (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của bằngA, 
B, 
C, 
D, 
Phương trình đường tròn tâm 
bán kính 
là: 
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có:
Đáp án: C Đáp án: C
bán kính là:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có:
Đáp án: C Đáp án: C
Câu 8 [392130]: Đường cong trong hình vẽ bên là một Parabol. Diện tích phần tô đậm trong hình bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
Phương trình Parabol cắt trục 
tại hai điểm có hoành độ 
có dạng:
Vì Parabol đi qua điểm
nên 
Phương trình đường thẳng là:
Diện tích hình phẳng tô đậm bằng:
Đáp án: D
tại hai điểm có hoành độ có dạng:
Vì Parabol đi qua điểm
nên
Phương trình đường thẳng là:
Diện tích hình phẳng tô đậm bằng:
Đáp án: D
Câu 9 [392114]: Giả sử 
lần lượt là diện tích các hình được tô màu ở hình vẽ.Biết 
Khi đó đẳng thức nào dưới đây là đúng
lần lượt là diện tích các hình được tô màu ở hình vẽ.Biết Khi đó đẳng thức nào dưới đây là đúngA, 
B, 
C, 
D, 
Có
Đáp án: D. Đáp án: D
Câu 10 [392124]: Cho parabol 
có đồ thị như hình vẽ bên. Dựa vào hình vẽ, hãy tính tổng diện tích các phần được tô đậm.
có đồ thị như hình vẽ bên. Dựa vào hình vẽ, hãy tính tổng diện tích các phần được tô đậm.A, 
B, 
C, 
D, 
Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ 
có dạng
Parabol đi qua điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng
là:
Diện tích cần tìm:
(bấm máy nhé các em). Đáp án: D
có dạngParabol đi qua điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng
là:Diện tích cần tìm:
(bấm máy nhé các em). Đáp án: D
Câu 11 [1012199]: Parabol 
tiếp xúc với đường thẳng 
tại điểm 
Tung độ của điểm
bằng [[20590356]] .
Diện tích miền tô đậm trong hình vẽ bằng [[20590355]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
tiếp xúc với đường thẳng tại điểm
Tung độ của điểm
bằng [[20590356]] .
Diện tích miền tô đậm trong hình vẽ bằng [[20590355]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có: 
Đường thẳng 
Gọi
Đường thẳng
là tiếp tuyến của Parabol 
nên
Diện tích cần tìm là
Đường thẳng
Gọi
Đường thẳng
là tiếp tuyến của Parabol nên
Diện tích cần tìm là
Câu 12 [392118]: Hình vẽ bên là đồ thị hai hàm số 
Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ bằng
Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ bằngA, 
B, 
C, 
D, 
Dựa vào đồ thị ta thấy: 
Đáp án: B
+) Parabol 
đi qua các điểm 
đi qua các điểm Suy ra ta có hệ sau: 
+) Đường thẳng 
đi qua 2 điểm 
đi qua 2 điểm Vậy diện tích phần tô đậm là 
Chọn đáp án B.
Câu 13 [1012200]: Cho đồ thị hàm số 
và đường thẳng 
có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
và đường thẳng 
bằng [[20590383]]
Biết đường thẳng
cắt đồ thị 
thành hai miền 
và 
Tỉ số 
[[20590381]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
và đường thẳng có đồ thị như hình vẽ.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
và đường thẳng bằng [[20590383]]
Biết đường thẳng
cắt đồ thị thành hai miền và Tỉ số [[20590381]] .Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có
Ta có:
Diện tích:
Ta có:
Câu 14 [161502]: Cho hai hàm số 
Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và trục hoành (hình vẽ). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục hoành (hình vẽ). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng.
b) Đúng.
c) Đúng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng 
là
d) Đúng.
Diện tích hình phẳng
là
b) Đúng.
c) Đúng.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành và hai đường thẳng làd) Đúng.
Diện tích hình phẳng
là
Câu 15 [161504]: Cho hai hàm số 
Hình phẳng 
được giới hạn bởi các đường 
và trục hoành được tô đậm như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Hình phẳng được giới hạn bởi các đường và trục hoành được tô đậm như hình vẽ. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Sai.
b) Đúng.
c) Sai.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
và
là nghiệm của phương trình: 
Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
là 
d) Đúng.
Diện tích hình phẳng
là
b) Đúng.
c) Sai.
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
và là nghiệm của phương trình: Suy ra diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
là d) Đúng.
Diện tích hình phẳng
là
Câu 16 [1012203]: Cho hàm số 
liên tục trên 
và có đồ thị như hình bên dưới.
Gọi
là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành, đường thẳng 
và đường thẳng 
là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và các đường thẳng 
Ký hiệu diện tích của các hình phẳng 
và 
tương ứng là 
và 
liên tục trên và có đồ thị như hình bên dưới. Gọi
là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng và đường thẳng là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và các đường thẳng Ký hiệu diện tích của các hình phẳng và tương ứng là và
Gợi ý: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành, đường thẳng 
và 
là: 
a)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành, đường thẳng 
và 
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành, đường thẳng 
và 
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta thấy đồ thị
khi 
Ta thấy đồ thị
khi 
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Ta có:
Ta có
Suy ra mệnh đề d) sai.
trục hoành, đường thẳng và là:
a)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng và
Suy ra mệnh đề a) sai.
b)
được giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng và
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta thấy đồ thị
khi
Ta thấy đồ thị
khi
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Ta có:
Ta có
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 17 [865107]: Cho 
là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình 
Diện tích của hình phẳng 
bằng bao nhiêu.
là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình Diện tích của hình phẳng bằng bao nhiêu.
Xét:
và 
. Do đó hàm số liên tục tại 
.
Diện tích hình phẳng cần tính là:
.
Câu 18 [1012167]: Sân chơi của một cụm dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều dài 118 m, chiều rộng 46 m và hai trục đối xứng 
như hình vẽ. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch. Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua 
phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận 
là trục đối xứng. Biết hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m; giá trồng hoa là 25000 đồng/
và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa.
a) Tính diện tích khu trồng hoa.
b) Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó
như hình vẽ. Người ta muốn trồng hoa ở hai đầu sân chơi đó, phần còn lại lát gạch. Khu trồng hoa (được tô đậm) gồm hai mảnh đối xứng nhau qua phần biên cong của mỗi mành là một phần của parabol nhận là trục đối xứng. Biết hai đỉnh của hai parabol cách nhau 40 m; giá trồng hoa là 25000 đồng/ và giá lát gạch gấp 5 lần giá trồng hoa.a) Tính diện tích khu trồng hoa.
b) Tính tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó
Gợi ý: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành, đường thẳng 
và 
là: 
a) Độ cao của một Parabol là:
Dựa vào dữ kiện đề bài, ta chọn hệ trục tọa độ như hình.
Parabol có dạng
đi qua các điểm 
Diện tích khu trồng hoa là:
(Thực hiện tính toán trên máy tính Casio).
b) Diện tích khu lát gạch là:
Số tiền để lát
gạch là: 
đồng/
Tổng số tiền cần chỉ để hoàn thành việc trồng hoa và lát gạch cho sân chơi đó là:
(đồng).
Câu 19 [906100]: Cho đồ thị hàm số bậc ba 
và đường thẳng 
như hình vẽ và 
là diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bên. Biết 
là một phân số tối giản. Tính 
và đường thẳng như hình vẽ và là diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình bên. Biết là một phân số tối giản. Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Theo hình vẽ, ta có hệ:
Có:
Ta có:
Đáp án: D Đáp án: D
Câu 20 [115866]: Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
, trục tung và trục hoành. Xác định 
để đường thẳng 
đi qua điểm 
có hệ số góc 
chia 
thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên).
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên). A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 21 [151345]: Cho parabol 
và hai tiếp tuyến của 
tại các điểm 
và 
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
và hai tiếp tuyến đó bằng
và hai tiếp tuyến của tại các điểm và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và hai tiếp tuyến đó bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 22 [234261]: [Đề thi TH THPT 2022]: Biết 
và 
là hai nguyên hàm của hàm số 
trên 
và 
Gọi 
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
Khi 
thì 
bằng
và là hai nguyên hàm của hàm số trên và Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và Khi thì bằng
HD: Ta có: 
(với 
)
Mặt khác
nên 
(với )Mặt khác
nên
Câu 23 [786828]: Cho đồ thị hàm số bậc ba 
có đồ thị 
Đường thẳng 
(với 
và phân số 
tối giản) cắt đồ thị 
tại hai điểm phân biệt thuộc góc phần tư thứ nhất như trong hình. Tìm giá trị của 
biết diện tích hai phần tô đậm 
và 
bằng nhau.
có đồ thị Đường thẳng (với và phân số tối giản) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc góc phần tư thứ nhất như trong hình. Tìm giá trị của biết diện tích hai phần tô đậm và bằng nhau.
Điền đáp án: 13.
Đặt
và đường thẳng 
cắt đồ thị 
tại hai điểm có hoành độ 
và 
thì 
và 
Mà
Lại có
nên 
Suy ra
Đặt
và đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm có hoành độ và thì và Mà
Lại có
nên Suy ra
Câu 24 [800182]: Cho hàm số 
xác định và liên tục trên đoạn 
Biết rằng diện tích hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
và đường parabol 
lần lượt là 
Tích phân
bằng
xác định và liên tục trên đoạn Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường parabol lần lượt là Tích phân
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 25 [151389]: Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
của hàm số 
và trục hoành. Hai đường thẳng 
chia hình 
thành ba phần có diện tích bằng nhau.Tính 
.
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành. Hai đường thẳng chia hình thành ba phần có diện tích bằng nhau.Tính .
Ta có: 
Suy ra diện tích hình
bằng 
Khi đó
Suy ra:
Suy ra diện tích hình
bằng Khi đó
Suy ra: