Câu 1 [151426]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho vật thể 
được giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình 
Gọi 
là diện tích thiết diện của 
bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục 
tại điểm có hoành độ là 
Giả sử hàm số 
liên tục trên đoạn 
Khi đó thể tích 
của vật thể được cho bởi công thức
cho vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình Gọi là diện tích thiết diện của bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là Giả sử hàm số liên tục trên đoạn Khi đó thể tích của vật thể được cho bởi công thức A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 2 [360293]: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường thẳng 
quay quanh trục 
là:
trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục là: A, 
B, 
C, 
D, 
Thể tích của khối tròn xoay đó là 
Chọn B. Đáp án: B
Chọn B. Đáp án: B
Câu 3 [151627]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
, trục 
và hai đường thẳng 
Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi hình phẳng 
quay quanh trục 
là
giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và hai đường thẳng Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi hình phẳng quay quanh trục là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 4 [151629]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi các đường 
Gọi 
là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay 
xung quanh trục 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
giới hạn bởi các đường Gọi là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề nào sau đây đúng? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án A
Thể tích của vật thể được tạo nên là
Đáp án: A
Thể tích của vật thể được tạo nên là
Đáp án: A
Câu 5 [151632]: Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi các đường 
và 
. Thể tích 
của khối tròn xoay tạo thành khi quay 
quanh trục 
được định bởi công thức
là hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục được định bởi công thức A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: D
Câu 6 [378616]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường thẳng 
Thể tích của khối tròn xoay khi quay 
quanh 
là
giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng Thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh là A, 
B, 
C, 
D, 
Thể tích của khối tròn xoay đó là 
Chọn đáp án D.
Đáp án: D
Câu 7 [151431]: Cho phần vật thể 
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình 
và 
. Cắt phần vật thể 
bởi mặt phẳng vuông góc với trục 
tại điểm có hoành độ 
, ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng 
. Tính thể tích 
của phần vật thể 
.
giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình và . Cắt phần vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ , ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng . Tính thể tích của phần vật thể . A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 8 [161581]: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
, trục hoành và 
quay xung quanh trục 
. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành.
, trục hoành và quay xung quanh trục . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành. A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành: 
.
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
Đáp án: D
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành: .
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:
Đáp án: D
Câu 9 [151643]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đường cong 
, trục hoành và các đường thẳng 
. Khối tròn xoay tạo thành khi quay 
quanh trục hoành có thể tích 
bằng bao
nhiêu?
giới hạn bởi đường cong , trục hoành và các đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành có thể tích bằng bao
nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 10 [161521]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đường cong 
và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
giới hạn bởi đường cong và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng.
Số giao điểm của đồ thị hàm số
và 
là số nghiệm của phương trình
Vậy hàm số
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
b) Đúng.
c) Sai.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành 
là 
Vậy hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường thẳng 
sẽ có diện tích là:
d) Sai.
Khối tròn xoay khi quay hình phẳng
quanh trục 
có nghĩa là khối tròn xoay sinh được khi quay 
quanh trục hoành và bị giới hạn bởi hai đường thẳng 
Vậy thể tích khối tròn xoay đó là:
Số giao điểm của đồ thị hàm số
và là số nghiệm của phương trìnhVậy hàm số
cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.b) Đúng.
c) Sai.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và trục hoành là Vậy hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng sẽ có diện tích là:d) Sai.
Khối tròn xoay khi quay hình phẳng
quanh trục có nghĩa là khối tròn xoay sinh được khi quay quanh trục hoành và bị giới hạn bởi hai đường thẳng Vậy thể tích khối tròn xoay đó là:
Câu 11 [161570]: Cho hàm số 
Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Các mệnh đề sau đúng hay sai? A, a) Hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số B, b) Diện tích hình phẳng 
bằng 
bằng C, c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
và đường thẳng 
bằng 
và đường thẳng bằng D, d) Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng 
quanh trục hoành bằng 
quanh trục hoành bằng
a) Sai. 
b) Đúng. Diện tích hình phẳng
bằng 
c) Sai. Ta có
d) Đúng. Ta có
b) Đúng. Diện tích hình phẳng
bằng
c) Sai. Ta có
d) Đúng. Ta có
Câu 12 [161623]: Cho hàm số 
Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:
a) Sai.
b) Đúng.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
, trục hoành và hai đường thẳng 
là 
c) Đúng.
.
d) Đúng.
Vì
là một nguyên hàm của hàm số 
nên
.
Khi đó:
.
Vậy
.
b) Đúng.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là c) Đúng.
.d) Đúng.
Vì
là một nguyên hàm của hàm số nên .Khi đó:
.Vậy
.
Câu 13 [1012204]: Cho hình phẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường thẳng 
giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng
a) Sai.
Diện tích hình phẳng
là 
b) Đúng.
Tập xác định của hàm số
là 
Nên ta sẽ được khối tròn xoay tạo bởi
quay quanh trục hoành và giới hạn bởi hai đường thẳng 
Suy ra thể tích khối tròn xoay
là 
Diện tích hình phẳng
là b) Đúng.
Tập xác định của hàm số
là Nên ta sẽ được khối tròn xoay tạo bởi
quay quanh trục hoành và giới hạn bởi hai đường thẳng Suy ra thể tích khối tròn xoay
là
Câu 14 [779600]: Cho hàm số 
có đạo hàm trên 
và thoả mãn 
Gọi 
là hình phẳng xác định bởi các đường 
và trục 
có đạo hàm trên và thoả mãn Gọi là hình phẳng xác định bởi các đường và trục
a) Đúng.
b) Sai.
Ta có
Mà
Suy ra
c) Đúng.
Vậy phương trình
có hai nghiệm phân biệt trên tập 
d) Sai.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay, ta có thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng
xung quanh trục 
bằng 
b) Sai.
Ta có
Mà
Suy ra
c) Đúng.
Vậy phương trình
có hai nghiệm phân biệt trên tập d) Sai.
Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay, ta có thể tích vật tròn xoay khi quay hình phẳng
xung quanh trục bằng
Câu 15 [372589]: Trên mặt phẳng toạ độ 
vẽ nửa đường tròn tâm 
bán kính 
nằm phía trên trục 
Gọi 
là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục 
và hai đường thẳng 
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay 
quanh trục 
vẽ nửa đường tròn tâm bán kính nằm phía trên trục Gọi là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục và hai đường thẳng Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục
Phương trình nửa đường tròn trong hình vẽ là: 
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
Thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
Câu 16 [1012170]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Bình chứa nhiên liệu của một chiếc máy bay phản lực được mô tả trong không gian là một khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
với 
và trục 
quanh trục 
(
tính theo đơn vị m). Thể tích của bình chứa bằng 
với 
là phân số tối giản. Khi đó 
bằng___________
Bình chứa nhiên liệu của một chiếc máy bay phản lực được mô tả trong không gian là một khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
với và trục quanh trục ( tính theo đơn vị m). Thể tích của bình chứa bằng với là phân số tối giản. Khi đó bằng___________
Thể tích của bình chứa là 
Do đó, 
và 
nên 
Do đó, và nên
Câu 17 [371990]: Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục 
tại điểm có hoành độ 
mặt cắt là tam giác vuông có một góc 
và độ dài một cạnh góc vuông là 
Tính thể tích của vật thể theo đơn vị 
. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục. 
tại điểm có hoành độ mặt cắt là tam giác vuông có một góc và độ dài một cạnh góc vuông là Tính thể tích của vật thể theo đơn vị . Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.
Vì mặt cắt là tam giác vuông có một góc 45° nên mặt cắt là tam giác vuông cân.
Do đó diện tích của mặt cắt là:
Thể tích vật thể là:
Do đó diện tích của mặt cắt là:
Thể tích vật thể là:
Câu 18 [372588]: Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng 
thì được hình vuông có cạnh
Tính thể tích của lều. 
thì được hình vuông có cạnh Tính thể tích của lều.
Vì mặt cắt là hình vuông nên diện tích của mặt cắt là:
Thể tích vật thể là:
Thể tích vật thể là:
Câu 19 [1012201]: Cho hàm số 
với 
có đồ thị là 
như hình vẽ bên,
Diện tích hình phẳng
bằng [[20590606]]
Quay hình
quanh trục 
tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng [[20590609]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
với có đồ thị là như hình vẽ bên, Diện tích hình phẳng
bằng [[20590606]] Quay hình
quanh trục tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng [[20590609]] Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành, đường thẳng 
và 
là: 
Diện tích hình phẳng
được giới hạn bởi 
Gợi ý: Khối tròn xoay được xoay từ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành, đường thẳng 
và 
là: 
Quay hình tạo thành khối tròn xoay có thể tích:
(Thực hiện tính toán trên máy tính Casio).
Lần lượt kéo thả các đáp án 1 và
trục hoành, đường thẳng và là:
Diện tích hình phẳng
được giới hạn bởi
Gợi ý: Khối tròn xoay được xoay từ hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
trục hoành, đường thẳng và là:
Quay hình tạo thành khối tròn xoay có thể tích:
(Thực hiện tính toán trên máy tính Casio).
Lần lượt kéo thả các đáp án 1 và
Câu 20 [42008]: Tính thể tích 
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 
và 
, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục 
tại điểm có hoành độ 
(
) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 
.
của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại điểm có hoành độ () thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: B
Câu 21 [1012171]: Một bình chứa nước dạng như hình vẽ có chiều cao là 
Nếu lượng nước trong bình có chiều cao 
thì mặt nước là hình tròn có bán kính 
với 
Tính thể tích (theo 
) của bình chứa đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Nếu lượng nước trong bình có chiều cao thì mặt nước là hình tròn có bán kính với Tính thể tích (theo ) của bình chứa đã cho (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Gợi ý: Thể tích của vật thể có tiết diện 
được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với 
lần lượt tại 
là: 
Thiết diện mặt nước là:
Thể tích của bình chứa nước đã cho là:
Điền đáp án: 26,5.
được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với lần lượt tại là: Thiết diện mặt nước là:
Thể tích của bình chứa nước đã cho là:
Điền đáp án: 26,5.
Câu 22 [140096]: Cho hình thang cong 
giới hạn bởi các đường 
Đường thẳng 
với 
chia 
thành hai phần là 
và 
quay quanh trục 
ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là 
và 
Xác định 
để 
giới hạn bởi các đường Đường thẳng với chia thành hai phần là và quay quanh trục ta thu được hai khối tròn xoay có thể tích lần lượt là và Xác định để A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Đáp án: B
Chọn đáp án B.
Câu 23 [376851]: Xét chiếc chén trong bộ ấm chén uống trà, bạn Dương ước lượng được rằng chiếc chén được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
trục hoành và hai đường thẳng 
quay quanh trục 
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là centimét). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét khối).
trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là centimét). Tính thể tích của chiếc chén (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của centimét khối).
Ta có thể tích của chiếc chén là:
Vậy thể tích của chiếc chén là
Vậy thể tích của chiếc chén là
Câu 24 [779611]: Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 
(tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính 
với 
là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ( tính theo đơn vị 
). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng 
chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
(tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính với là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa ( tính theo đơn vị ). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 
Diện tích của mặt cắt vuông góc với trục tại vị trí cách mặt đáy của bình hoa một khoảng
là: 
Lượng nước đổ đầy bình hoa là:
Lượng nước đổ vào bình cao bằng
chiều cao của bình là: 
Vậy tỉ lệ phần trăm lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng
chiều cao của bình so với thể tích của bình hoa là 
.
Diện tích của mặt cắt vuông góc với trục tại vị trí cách mặt đáy của bình hoa một khoảng
là: Lượng nước đổ đầy bình hoa là:
Lượng nước đổ vào bình cao bằng
chiều cao của bình là: Vậy tỉ lệ phần trăm lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng
chiều cao của bình so với thể tích của bình hoa là .
Câu 25 [204876]: Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình vẽ. Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh 2 m và hai xương dây 𝑎, 𝑏 nằm trên các đường parabol đỉnh 𝑆. Biết chiều cao của lều là 
𝑂 là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị 
Viết kết quả dưới dạng số thập phân.
𝑂 là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị Viết kết quả dưới dạng số thập phân.
Điền đáp án: 2,7.
Gắn hệ trục như hình vẽ.
Ta tính được
Gọi phương trình của đường thẳng
là 
Ta có
đi qua các điểm
Suy ra ta có hệ
Gọi
Mặt phẳng vuông góc
tại 
cắt hình đa cho theo 1 thiết diện là hình vuông 
có diện tích 
Theo giả thiết trên các điểm
cùng có tung độ bằng 
Mà hai điểm 
thuộc đường 
có phương trình 
Suy ra
Suy ra thể tích chiếc lều là
Gắn hệ trục như hình vẽ.
Ta tính được
Gọi phương trình của đường thẳng
là Ta có
đi qua các điểm Suy ra ta có hệ
Gọi
Mặt phẳng vuông góc
tại cắt hình đa cho theo 1 thiết diện là hình vuông có diện tích Theo giả thiết trên các điểm
cùng có tung độ bằng Mà hai điểm thuộc đường có phương trình Suy ra
Suy ra thể tích chiếc lều là