Quay lại
Đáp án
Câu 1 [695543]: Khối nón có chiều cao bán kính đáy được đặt trên mặt phẳng như hình vẽ. Mặt phẳng song song với và qua điểm là tâm đáy của Thiết diện tạo bởi và (phần tô đậm trong hình vẽ) có diện tích bằng bao nhiêu? (biết giao tuyến của và là một đường Parabol).
Điền đáp án: 2.

Xét có: là đường trung bình

Vì diện tích thiết diện cần tìm có hình parabol nên ta có diện tích đó là
Câu 2 [151404]: Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ như hình vẽ bên thì parabol có phương trình và đường thẳng là . Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua và điểm trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông xác định điểm bằng cách tính độ dài để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng .

A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án B.
Giả sử suy ra phương trình
Khi đó diện tích khu vườn là

Khi đó . Đáp án: B
Câu 3 [779607]: Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình bên). Trong đó là hình vuông có cạnh bằng 4 cm, các đường cong và là một phần của các parabol đỉnh Với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm có tung độ bằng 1. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí 1 triệu đồng/ phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/ các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.
Ta có
a) Sai.
Gọi phương trình parabol chứa đường cong có dạng:
Ta có
Vậy parabol chứa đường cong có phương trình là
b) Đúng.
Gọi phương trình parabol chứa đường cong có dạng:
Ta có
Vậy parabol chứa đường cong có phương trình là
c) Sai.
Vì diện tích của huy hiệu đối xứng qua trục nên diện tích của phần tô đậm sẽ bằng 2 lần diện tích miền giới hạn bởi đường cong và các đường thẳng Áp dụng công thức ứng dụng tích phân vào tính diện tích, ta được:
Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ bằng
d) Sai.
Diện tích phần không tô đậm bằng
Chi phí sản xuất 1 chiếc huy hiệu là triệu đồng.
Câu 4 [696483]: Khu vực trung tâm một quảng trường có dạng hình tròn đường kính AB bằng 10 m. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong một hình tròn, hai parabol đi qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng hoa với chi phí 200 nghìn đồng 1 mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 800 nghìn đồng 1 mét vuông. Để tính toán chi phí người ta gắn vườn hoa vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.
a) Sai.
Đường tròn nằm ngoài 2 parabol có phương trình là
b) Sai.
Phương trình parabol có dạng
Thay tọa độ các điểm vào phương trình parabol ta được:

c) Đúng.
d) Đúng.
Diện tích phần trồng hoa giới hạn bới 2 parabol là:

Diện tích toàn bộ phần hình tròn là:
Diện tích phần còn lại để trang trí gốm sứ là:

Vậy tổng chi phí để làm khu vực trung tâm quảng trường là
(triệu đồng).
Câu 5 [80749]: Ông A muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi ông An phải trả bao nhiêu nghìn đồng để làm cái cửa sắt như vậy. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng.
46a.png
A, đồng.
B, đồng
C, đồng.
D, đồng.
Chọn đáp án D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Trong đó .
Giả sử đường cong trên là một Parabol có dạng với
Do Parabol đi qua các điểm nên ta có hệ phương trình

Khi đó phương trình Parabol là
Diện tích của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng
Ta có
Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là :
(đồng). Đáp án: D
Câu 6 [151397]: Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có , cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm . Kinh phí làm bức tranh là đồng/. Công ty cần triệu đồng để làm bức tranh đó. Tìm viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
Gọi là trung điểm của và trùng với gốc toạ độ
Phương trình parabol có đỉnh và đi qua hai điểm là
Bức tranh là mặt phẳng bị giới hạn bởi hàm số và các đường thẳng
Khi đó diện tích bức tranh là
Vậy số tiền công ty X cần dùng để làm bức tranh là
triệu đồng.
Vậy
Câu 7 [151384]: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ. Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với chiều dài 1 mét.
Screenshot_28.png
A,
B,
C,
D,
Screenshot_1.png Đáp án: D
Câu 8 [151416]: Từ một miếng tôn hình vuông, người thợ làm chậu cảnh đã tạo mẫu và cắt đi phần hình phẳng không tô đậm trên hình, phần tô đậm được giữ lại làm khuôn quay thành các đôn để đặt các chậu hoa. Tính diện tích hình phẳng đã bị cắt bỏ (đơn vị ) biết đường cong trong hình là một parabol có đỉnh nằm trên đường chéo của hình vuông.
Screenshot_4.png
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: D
Câu 9 [878362]: Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m2. Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Phương pháp:
Gắn hệ trục tọa độ tìm parabol và diện tích
Cách giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Từ đường tròn đường kính 1 và hình vuông cạnh 1 suy ra

Ta có parabol đi qua nên có phương trình
Xét
Diện tích phần kính là
Diện tích parabol tạo với Ox là
Vậy cho phí sơn màu là triệu đồng.
Đáp án: 8,1
Câu 10 [1002588]: Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật với thành hai phần (hai lề đường là các đường cong và ). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong và các đoạn để trồng hoa (tham khảo hình vẽ).

Nếu gắn một hệ trục toạ độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng thì đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba ; Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên . Biết , điểm cách các cạnh lần lượt và , điểm cách các cạnh lần lượt và . Gọi là diện tích phần sân chơi và là diện tích phần trồng hoa. Tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ sao cho , tia trùng với tia , tia trùng với tia
Đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba ;
Đồ thị hàm số đi qua điểm , , , ta có
Nên
Đường cong nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong theo phương thẳng đứng lên phía trên nên nó là phần đồ thị hàm số
Suy ra .
Câu 11 [301738]: Cho hình vuông có cạnh bằng Vẽ nửa đường tròn đường kính và (như hình vẽ). Diện tích phần tô đậm là bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
bstichphan1_ungdung1thaytuan.png







Đáp án: 32
Câu 12 [972784]: Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình và Tính giá trị biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm diện tích mặt sàn

ungdungtichphanthemdp.png
A,
B,
C,
D,
adâpna432.png Đáp án: A
Câu 13 [693129]: Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa màu đen (xem hình vẽ). Đường viền của phần màu đen bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng Hãy cho biết phần màu đen có diện tích bằng bao nhiêu decimét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 25,2.

Vì tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch bằng .
Theo hình vẽ ta có: đường cong thuộc đồ thị hàm số ; đường cong thuộc đồ thị hàm số
Gọi diện tích giới hạn bởi đường cong , các đường thẳng .

Có:
Diện tích phần tô đậm là
Câu 14 [1004661]: Một công ty đang thiết kế một bảng quảng cáo hình chữ nhật có kích thước và. Phần trung tâm của bảng sẽ được in nội dung quảng cáo, được mô tả là phần tô đậm (xem hình minh họa). Hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số có dạng , đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này đều cách điểm một khoảng bằng . Đồ thị giao với cạnh tại điểm thỏa mãn . Diện tích phần in nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án: 64,2

Chọn hệ trục tọa độ trùng với hai tiệm cận như hình vẽ
Suy ra:
Tiệm cận đứng
Tiệm cận ngang Ta có: thay vào phương trình .Khi đó: .
Gọi là giao điểm của đồ thị với đường thẳng
Từ hình vẽ ta có

Diện tích phần in nội dung quảng cáo (phần tô đậm) là:
Câu 15 [151412]: Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao , chiều rộng chân đế . Người ra căng hai sợi dây trang trí nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol và mặt đất thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số bằng bao nhiêu
Screenshot_2.png
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: A
Câu 16 [779024]: Phần tô đậm trong hình vẽ bên cho biết một miền D nằm trong hình vuông có cạnh bằng 4. Miền D này gồm các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích của miền D (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:


Gọi hình vuông có cạnh bằng 4 là và gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do vai trò của các đường cong như nhau, giả sử là một điểm thuộc đường cong của miền D như hình vẽ.
Ta có khoảng cách từ tới là .
Khoảng cách từ tới cạnh của hình vuông là
Khoảng cách từ tới bằng khoảng cách từ tới nên
Hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng (thuộc góc phần tư thứ nhất) là nghiệm của phương trình
Parabol cắt đường thẳng tại điểm thuộc góc phần tư thứ nhất nên .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol, trục , trục và đường thẳng là: .
Diện tích tam giác là .
Diện tích của miền là .
Diện tích miền D là .
Câu 17 [779017]: Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông tâm bằng một đường cong kính rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm thuộc cạnh của hình vuông và tia cắt tại điểm thì Biết rằng Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 4384.
Diện tích của cả hình vuông là Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Khi đó ta suy ra toạ độ các đỉnh và tâm là Và phương trình các cạnh là
Vì tính đối xứng của ta chỉ cần xét phần của nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba của hệ trục tọa độ (kết quả sẽ bằng bốn phần diện tích này).
Gọi
và
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên trục tung.
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác ta có:

(dấu +, - tương ứng với nửa trên trục hoành và nửa dưới trục hoành)
Xét một phần tư bông hoa giới hạn bởi đoạn thẳng và đoạn thẳng
Giả sử

Xét
Vậy diện tích cả công hoa là
Vậy diện tích phần tô màu đen là bên ngoài bông hoa bằng
Câu 18 [1014219]: Cho hàm số bậc hai trên bậc nhất và parabol có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận xiên cắt parabol tại điểm . Ký hiệu các diện tích hình phẳng lần lượt là phần diện tích được tô đậm và là phần diện tích được giới hạn bởi nhánh phải của đồ thị với parabol như hình vẽ. Biết rằng giá trị và Tính giá trị của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần chục)