Câu 1 [151402]: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 
. Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng 
, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) để dành trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 
đồng/
. Hỏi cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
. Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) cách nhau một khoảng bằng , phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) để dành trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là đồng/. Hỏi cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)? 
HD:Ta có
Trong đó
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 
được tô màu trong hình bên, 
là diện tích nửa hình tròn có bán kính bằng 
.
Suy ra
Chi phí sẽ bằng 
đồng 
nghìn đồng.
Câu 2 [1000889]: Trong cơ khí chế tạo, một chi tiết máy hình đĩa tròn có dạng như hình vẽ, nhận 
và 
làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính 
, các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng 
,
và chi phí sơn là 82.000 đồng/
. Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
và làm các trục đối xứng. Người ta cần phủ sơn cả hai mặt của chi tiết. Biết rằng đường tròn lớn có bán kính , các đường tròn nhỏ đều có bán kính bằng ,và chi phí sơn là 82.000 đồng/. Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy bằng bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 
Chọn hệ trục
sao cho gốc toạ độ 
trùng với giao điểm 
Đường tròn lớn có phương trình:
Ta có:
Đường tròn nhỏ có tâm trên trục
là 
nên có phương trình: 
Ta có:
.
Gọi
là phần hình phẳng gạch chéo. Ta có hình phẳng 
giới hạn bởi các đường : 
.
Đặt :
Diện tích của hình
là :
.Diện tích của hình 
là 
Khi đó diện tích của hình
là: 
.Diện tích của đường tròn lớn là: 
.
Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy
.
Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy:
(nghìn đồng).
Chọn hệ trục
sao cho gốc toạ độ trùng với giao điểm Đường tròn lớn có phương trình:
Ta có:
Đường tròn nhỏ có tâm trên trục
là nên có phương trình: Ta có:
.Gọi
là phần hình phẳng gạch chéo. Ta có hình phẳng giới hạn bởi các đường : .Đặt :
Diện tích của hình
là :.Diện tích của hình là Khi đó diện tích của hình
là: .Diện tích của đường tròn lớn là: .Diện tích phần sơn 1 mặt của chi tiết máy
.Chi phí để sơn hoàn thiện chi tiết máy:
(nghìn đồng).
Câu 3 [1014220]: Ông A có mảnh đất hình chữ nhật chiều dài 16m, chiều rộng 6m. Ông A muốn thiết kế mảnh đất đó thành ba phần bởi đường cong hypebol (như hình vẽ). Ông A dự định trồng hoa ở hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hyepebol và chiều dài mảnh đất, phần đất còn lại ông lát đá. Biết chi phí trồng hoa là 150.000 đồng /
và lát đá là 300.000 đồng /
Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
và lát đá là 300.000 đồng / Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục). 
Chọn hệ trục tọa độ như hình
Diện tích mảnh đất của ông A là:
Dựa vào hình ảnh và kiến thức Hypebol được học từ lớp 10, ta có tiêu cự
Ta có:
Phương trình Hypebol:
Diện tích trồng hoa là:
Diện tích lát đá là:
Chi phí mà ông A bỏ ra:
(nghìn đồng) 
(triệu đồng)Điền đáp số: 23,1.
Câu 4 [860848]: Một mảnh vườn hoa dạng hình tròn có bán kính 
. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Biết hai hình chữ nhật 
và 
có 
và kinh phí trồng hoa là 
đồng /
. Tính số tiền cần để trồng hoa ? (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
. Phần đất trồng hoa là phần tô trong hình vẽ bên. Biết hai hình chữ nhật và có và kinh phí trồng hoa là đồng / . Tính số tiền cần để trồng hoa ? (đơn vị: triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Đáp số: 10,2.
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính
là 
và phương trình của đường tròn đó là 
Bên cạnh đó điểm
có tọa độ 
Diện tích phần không trồng hoa là
Số tiền cần để trồng hoa là:
( triệu đồng).
Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính
là và phương trình của đường tròn đó là
Bên cạnh đó điểm
có tọa độ
Diện tích phần không trồng hoa là
Số tiền cần để trồng hoa là:
( triệu đồng).
Câu 5 [159442]: Một biển quảng cáo có dạng hình vuông 
cạnh 
Trên tấm biển đó có các cung tròn tâm 
và tâm 
có cùng bán kính 
, hai cung tròn cắt nhau như hình vẽ.
Chi phí để sơn phần gạch chéo là
đồng/
, chi phí sơn màu đen là 
đồng 
, chi phí để sơn phần còn lại là 
đồng 
Hỏi số tiền để sơn bảng quảng cáo là __________ triệu đồng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục điền vào chỗ trống).
cạnh Trên tấm biển đó có các cung tròn tâm và tâm có cùng bán kính , hai cung tròn cắt nhau như hình vẽ.Chi phí để sơn phần gạch chéo là
đồng/, chi phí sơn màu đen là đồng , chi phí để sơn phần còn lại là đồng Hỏi số tiền để sơn bảng quảng cáo là __________ triệu đồng (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục điền vào chỗ trống).
Chọn hệ tọa độ 
sao cho 
, 
thuộc tia 
, 
thuộc tia 
Suy ra cung tròn
là phần đồ thị của hàm số 
, cung tròn 
là phần đồ thị của hàm số 
với 
Xét phương trình
Diện tích phần gạch chéo là
Diện tích phần màu đen là
(
là bán kính hai đường tròn tâm 
và 
)
Diện tích phần còn lại là
Số tiền để sơn bảng quảng cáo là
(triệu đồng)
sao cho , thuộc tia , thuộc tia Suy ra cung tròn
là phần đồ thị của hàm số , cung tròn là phần đồ thị của hàm số với Xét phương trình
Diện tích phần gạch chéo là
Diện tích phần màu đen là
(là bán kính hai đường tròn tâm và )Diện tích phần còn lại là
Số tiền để sơn bảng quảng cáo là
(triệu đồng)
Câu 6 [151403]: Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm 
. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hòa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh 
và đối xứng nhau qua 
. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm 
tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 
(như hình vẽ). Phần diện tích 
dùng để trồng hoa, phần diện tích 
dùng để trồng cỏ (diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Biết kinh phí để trồng hoa là
nghìn đồng/ 
, kinh phí để trồng cỏ là 
nghìn đồng/ 
. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hòa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh và đối xứng nhau qua . Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm tạo thành một hình vuông có cạnh bằng (như hình vẽ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ (diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).Biết kinh phí để trồng hoa là
nghìn đồng/ , kinh phí để trồng cỏ là nghìn đồng/ . Hỏi nhà trường cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)? 
Chọn hệ trục toạ như hình vẽ
Khi đó phương trình Parabol phía trên có dạng là :
trong đó 
Suy ra
Phương trình cung tròn nằm phía trên trục 
là 
Khi đó
Diện tích hình tròn là
Ta có:
Bấm máy ta được
nghìn đồng.
Câu 7 [1014221]: [MĐ3] [Trích Sở Thái Bình 2025]: Trong hình vẽ dưới đây, đoạn 
được chia làm 3 bởi các điểm 
và 
sao cho 
Ba nửa đường tròn có bán kính bằng 1 là 
và 
có đường kính tương ứng là 
và 
Các điểm 
lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung 
với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm 
bán kính bằng 2.
Diện tích miền bên trong đường tròn tâm
và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
được chia làm 3 bởi các điểm và sao cho Ba nửa đường tròn có bán kính bằng 1 là và có đường kính tương ứng là và Các điểm lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm bán kính bằng 2. Diện tích miền bên trong đường tròn tâm
và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Diện tích hình tròn tâm 
là: 
Diện tích một nửa hình tròn nhỏ là:
Phương trình đường tròn tâm
bán kính bằng 2: 
Cung tròn
cắt đường thẳng 
tại điểm: 
Diện tích phần màu tím là:
Diện tích cần tìm là:
Điền đáp án: 9,6.
là: Diện tích một nửa hình tròn nhỏ là:
Phương trình đường tròn tâm
bán kính bằng 2: Cung tròn
cắt đường thẳng tại điểm: Diện tích phần màu tím là:
Diện tích cần tìm là:
Điền đáp án: 9,6.
Câu 8 [1014222]: Một phần của bề mặt phía trên của các gợn sóng của nước biển có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba khi gắn hệ trục tọa độ 
Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị lần lượt là 
và 
, đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét. Hai vị trí 
và 
có hoành độ lần lượt là 
và 
nằm trên đường cong của các gợn sóng đó. Độ dài đường cong 
bằng bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Biết rằng độ dài đường cong có phương trình 
từ điểm 
tới điểm 
với 
được tính bởi công thức 
Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị lần lượt là và , đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét. Hai vị trí và có hoành độ lần lượt là và nằm trên đường cong của các gợn sóng đó. Độ dài đường cong bằng bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Biết rằng độ dài đường cong có phương trình từ điểm tới điểm với được tính bởi công thức
Gợn sóng đó là đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị 
và 
Đạo hàm của hàm số nhận 
và 
là nghiệm.
Vì 
Độ dài đường cong
với hai vị trí 
và 
có hoành độ lần lượt là 
và 
là: 
Điền đáp số: 4,07.
và Đạo hàm của hàm số nhận và là nghiệm.
Vì
Độ dài đường cong
với hai vị trí và có hoành độ lần lượt là và là:
Điền đáp số: 4,07.
Câu 9 [151395]: Người ta cần trồng một vườn hoa (phần tô đậm như hình vẽ). Biết đường viền ngoài và đường viền trong khu đất trồng hoa là hai đường elip. Đường elip ngoài có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là 
và 
. Đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng bằng 
. Kinh phí cho mỗi 
trồng hoa là 
đồng. Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?:
và . Đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng bằng . Kinh phí cho mỗi trồng hoa là đồng. Tổng số tiền (đơn vị đồng) dùng để trồng vườn hoa là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?:
Điền đáp án: 3770.
Do đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng
Độ dài trục lớn và trục bé của elip trong lần lượt là 
Diện tích vườn hoa (phần tô đậm) = Diện tích elip ngoài – Diện tích elip trong:
Suy ra tổng số tiền dùng để trồng vường hoa là:
(nghìn đồng)
Nhắc lại: Công thức tính diện tích hình elip là:
Trong đó, nửa độ dài trục lớn; nửa độ dài trục bé.
Do đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng
Độ dài trục lớn và trục bé của elip trong lần lượt là Diện tích vườn hoa (phần tô đậm) = Diện tích elip ngoài – Diện tích elip trong:
Suy ra tổng số tiền dùng để trồng vường hoa là:
(nghìn đồng)Nhắc lại: Công thức tính diện tích hình elip là:
Trong đó, nửa độ dài trục lớn; nửa độ dài trục bé.
Câu 10 [137641]: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục
lớn bằng
và độ dài trục bé bằng 
. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 
và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 
đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa trên dải đất đó? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng.
lớn bằng
và độ dài trục bé bằng . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa trên dải đất đó? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng.
Điền đáp án: 7653.
Giả sử elip có phương trình
với 
Từ giả thiết ta có
và 
Vậy phương trình của elip là
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường
và diện tích của dải vườn là 
Tính tích phân này bằng phép đổi biến
ta được
Khi đó số tiền là
(nghìn đồng)
Giả sử elip có phương trình
với Từ giả thiết ta có
và Vậy phương trình của elip là
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường
và diện tích của dải vườn là Tính tích phân này bằng phép đổi biến
ta đượcKhi đó số tiền là
(nghìn đồng)
Câu 11 [142534]: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 
như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 
nghìn đồng/m2 và phần còn lại là 
nghìn đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên là bao nhiêu nghìn đồng? Biết 
và tứ giác 
là hình chữ nhật có 
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng).
như hình vẽ bên. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là nghìn đồng/m2 và phần còn lại là nghìn đồng/m2. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên là bao nhiêu nghìn đồng? Biết và tứ giác là hình chữ nhật có (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng).
Điền đáp án:7322.
Chọn hệ trục
với 
là tâm hình chữ nhật 
Phương trình
đi qua bốn đỉnh 
là 
Diện tích
là 
Dễ thấy
có 
Suy ra diện tích phần tô đậm là
Do đó diện phần phần không tô đậm là
Vậy chi phí đế sơn là
đồng 
nghìn đồng.
Chọn hệ trục
với là tâm hình chữ nhật Phương trình
đi qua bốn đỉnh là Diện tích
là Dễ thấy
có Suy ra diện tích phần tô đậm là
Do đó diện phần phần không tô đậm là
Vậy chi phí đế sơn là
đồng nghìn đồng.
Câu 12 [151415]: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 
như hình vẽ. Biết chi phí sơn phần tô đậm là 
đồng/
và phần còn lại là 
đồng/
. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên bằng bao nhiêu triệu đồng? Biết 
, 
và tứ giác 
là hình chữ nhật có 
(làm tròn đến hàng phần mười).
như hình vẽ. Biết chi phí sơn phần tô đậm là đồng/ và phần còn lại là đồng/. Hỏi số tiền để sơn theo cách trên bằng bao nhiêu triệu đồng? Biết , và tứ giác là hình chữ nhật có (làm tròn đến hàng phần mười).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ.
- Chi phí sơn phần tô đậm là 200 000 đồng
và phần còn lại là 100 000 đồng
- Biết
và tứ giác 
là hình chữ nhật có 
b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền để sơn theo cách trên bằng bao nhiêu triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ trục
như hình vẽ.
Khi đó elip (
) có độ dài trục lớn là 
và độ dài trục bé là 
Do đó phương trình elip là 
(xét phần đường cong phía trên trục hoành.
Khi đó diện tích phần tô đậm là
Đặt
khi 
Do đó
Diện tích elip là
Vậy giá tiền làm bảng quảng cáo là
nghìn đồng.
Điền đáp án: 7494.
a) Đề cho:
- Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh
như hình vẽ. - Chi phí sơn phần tô đậm là 200 000 đồng
và phần còn lại là 100 000 đồng - Biết
và tứ giác là hình chữ nhật có b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền để sơn theo cách trên bằng bao nhiêu triệu đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ trục
như hình vẽ. Khi đó elip (
) có độ dài trục lớn là và độ dài trục bé là Do đó phương trình elip là (xét phần đường cong phía trên trục hoành.Khi đó diện tích phần tô đậm là
Đặt
khi Do đó
Diện tích elip là
Vậy giá tiền làm bảng quảng cáo là
nghìn đồng.Điền đáp án: 7494.
Câu 13 [80768]: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 
như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh 
, trục đối xứng 
và đi qua các điểm 
. Sau đó sơn phần tô đậm với giá 
nghìn đồng/
và trang trí đèn led phần còn lại với giá 
nghìn đồng/
. Hỏi kinh phí sử dụng là bao nhiêu nghìn đồng? Biết rằng 
, 
,
(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng).
như hình vẽ bên. Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh , trục đối xứng và đi qua các điểm . Sau đó sơn phần tô đậm với giá nghìn đồng/ và trang trí đèn led phần còn lại với giá nghìn đồng/. Hỏi kinh phí sử dụng là bao nhiêu nghìn đồng? Biết rằng , , (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị nghìn đồng). 
+ Chọn hệ trục tọa độ
sao cho 
là trung điểm của 
. Tọa độ các đỉnh 
+ Phương trình đường Elip
+ Ta có
+ Parabol
có đỉnh 
và trục đối xứng là 
nên 
có phương trình 
đi qua 
có phương trình 
.+ Diện tích phần tô đậm
Đặt
.Đổi cận:
.
+ Diện tích hình Elip là
.
Diện tích phần còn lại 
.+ Kinh phí sử dụng là:
(đồng).Chú ý: Ta có thể bấm máy
Suy ra:
Suy ra:
đồng 
nghìn đồng.
Câu 14 [151410]: Khu vườn nhà ông Ba có dạng hình tròn, bán kính 
. Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực 
và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt 
. Với 
là phần diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và 
là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ). Biết rằng kinh phí trồng hoa Hồng là 
nghìn đồng/ 
, kinh phí trồng hoa Ly là 
nghìn đồng/
. Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)?
. Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt . Với là phần diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ). Biết rằng kinh phí trồng hoa Hồng là nghìn đồng/ , kinh phí trồng hoa Ly là nghìn đồng/. Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)?
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khu vườn nhà ông Ba có dạng hình tròn, bán kính 10 m .
- Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực
và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt 
- Với
là phân diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và 
là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ).
- Kinh phí trồng hoa Hồng là
nghìn đồng 
trồng hoa Ly là 150 nghìn đồng 
b) Yêu cầu:
- Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol đi qua tâm hình tròn là
và phương trình đường tròn là 
Diện tích dài đất trồng hoa Hồng là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
hình tròn 
và hai đường thẳng 
Khi đó
Xét nửa hình tròn chứa hình bán nguyệt, ta thấy nửa hình tròn tạo bởi hình bán nguyệt và nửa hình elip với hình elip có độ dài hai bán trục
Vậy diện tích hình bán nguyệt là
Tổng số tiền ông Ba cần phải chi để trồng hoa là
triệu đồng.
Điền đáp án: 23.
a) Đề cho:
- Khu vườn nhà ông Ba có dạng hình tròn, bán kính 10 m .
- Ông Ba dự định trồng hoa Hồng ở khu vực
và hoa Ly ở khu vực hình bán nguyệt - Với
là phân diện tích giới hạn bởi đường parabol đi qua tâm hình tròn và là phần diện tích giới hạn bởi nửa đường elip không chứa tâm hình tròn (kích thước như hình vẽ). - Kinh phí trồng hoa Hồng là
nghìn đồng trồng hoa Ly là 150 nghìn đồng b) Yêu cầu:
- Hỏi ông Ba phải mất bao nhiêu tiền (đơn vị triệu đồng) để trồng hoa lên hai dải đất đó?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Phương trình parabol đi qua tâm hình tròn là
và phương trình đường tròn là Diện tích dài đất trồng hoa Hồng là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol
hình tròn và hai đường thẳng Khi đó
Xét nửa hình tròn chứa hình bán nguyệt, ta thấy nửa hình tròn tạo bởi hình bán nguyệt và nửa hình elip với hình elip có độ dài hai bán trục
Vậy diện tích hình bán nguyệt là
Tổng số tiền ông Ba cần phải chi để trồng hoa là
triệu đồng. Điền đáp án: 23.
Câu 15 [146745]: Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh 
và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là 
(phần tô đậm của hình vẽ). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng 
đối xứng nhau qua trục 
, hai parabol cắt elip tại các điểm 
Biết 
Chi phí để trồng hoa trên vườn là 
/
. Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là (phần tô đậm của hình vẽ). Hai đường parabol có cùng trục đối xứng đối xứng nhau qua trục , hai parabol cắt elip tại các điểm Biết Chi phí để trồng hoa trên vườn là /. Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?
a) Đề cho:
- Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh
và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là 
- Hai đường parabol có cùng trục đối xứng , đối xứng nhau qua trục hai parabol cắt elip tại các điểm
-
- Chi phí để trồng hoa trên vườn là .
b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là trung điểm của
(xem hình vẽ)
Khi đó
có độ dài trục lớn 
Độ dài trục bé
Phương trình (E) là:
Parabol có phương trình
(vì điểm 
)
Do
mà 
nên ta có:
Mặt khác Parabol đi qua
Xét phần hình phẳng thuộc góc phần tư thứ nhất khi đó đường cong
có phương trình 
Parabol có phương trình
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và 
là:
Diện tích elip là:
Diện tích phần tô đậm là:
đồng.
nghìn đồng.
Điền đáp án: 4809.
- Vườn hoa của một trường học có hình dạng được giới hạn bởi một đường elip có bốn đỉnh
và hai đường parabol có các đỉnh lần lượt là - Hai đường parabol có cùng trục đối xứng , đối xứng nhau qua trục hai parabol cắt elip tại các điểm
-
- Chi phí để trồng hoa trên vườn là .
b) Yêu cầu:
- Hỏi số tiền trồng hoa cho cả vườn là bao nhiêu nghìn đồng?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là trung điểm của
(xem hình vẽ)Khi đó
có độ dài trục lớn Độ dài trục bé
Phương trình (E) là:
Parabol có phương trình
(vì điểm )Do
mà nên ta có:
Mặt khác Parabol đi qua
Xét phần hình phẳng thuộc góc phần tư thứ nhất khi đó đường cong
có phương trình Parabol có phương trình
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
và là:Diện tích elip là:
Diện tích phần tô đậm là:
đồng. nghìn đồng.Điền đáp án: 4809.
Câu 16 [301739]: “Bài toán tính diện tích hình càng cua”. Từ bảng gỗ hình vuông ABCD độ dài cạnh 12 cm, người ta chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau rồi vẽ một hình càng cua được giới hạn bởi các cung phần tư của các đường tròn tâm 
(xem hình vẽ). Tính diện tích hình càng cua theo đơn vị 
(phần tô đậm trong hình vẽ) (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
(xem hình vẽ). Tính diện tích hình càng cua theo đơn vị (phần tô đậm trong hình vẽ) (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 37
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có tọa độ các điểm:
Phương trình đường tròn tâm
có bán kính 
Phương trình đường tròn tâm
có bán kính 
Phương trình đường tròn tâm
có bán kính 
Phương trình đường tròn tâm
có bán kính 
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có tọa độ các điểm:
Phương trình đường tròn tâm
có bán kính Phương trình đường tròn tâm
có bán kính Phương trình đường tròn tâm
có bán kính Phương trình đường tròn tâm
có bán kính
Câu 17 [151418]: Hình 
được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường 
và hai đoạn thẳng 
với 
, 
với 
. Tính diện tích 
của hình 
(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường và hai đoạn thẳng với , với . Tính diện tích của hình (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
a) Đề cho:
- Hình
được cho như bên là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường 
và hai đoạn thẳng 
với 
với 
b) Yêu cầu:
- Tính diện tích
của hình 
(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi
là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 
được tô màu trong hình bên suy ra 
Gọi
là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 
được tô màu trong hình bên suy ra 
Diện tích cần tính bằng
Điền đáp án: 64.
- Hình
được cho như bên là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường và hai đoạn thẳng với với b) Yêu cầu:
- Tính diện tích
của hình (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng tích phân.
Phần 3. Giải chi tiết
Gọi
là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường được tô màu trong hình bên suy ra Gọi
là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường được tô màu trong hình bên suy ra Diện tích cần tính bằng
Điền đáp án: 64.
Câu 18 [907260]: Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 
thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số 
và 
để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng 
Khi đặt trong hệ tọa độ 
thì điểm 
và đường cong 
là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba 
Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm 
diện tích hình vuông. Tính 
thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số và để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng Khi đặt trong hệ tọa độ thì điểm và đường cong là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba Biết rằng tỷ lệ phần tô đậm chiếm diện tích hình vuông. Tính
a) Đề cho:
- Từ một tấm bìa hình vuông cạnh
thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số 
và 
để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng 
- Khi đặt trong hệ tọa độ
thì điểm 
và đường cong 
là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba
- Tỷ lệ phần tô đậm chiếm
diện tích hình vuông.
b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng dữ kiện đề bài và tích phân lập được hệ phương trình giải các ẩn.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích hình vuông của hình vẽ là:
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta có:
Lại có
đi qua 
nên ta có:
(1)
Ta có diện tích phần trắng là
Vậy diện tích phần in đậm là:
Theo bài cho ta có:
(2)
Từ (1) (2) suy ra:
Vậy
Điền đáp án: 72.
- Từ một tấm bìa hình vuông cạnh
thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số và để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng - Khi đặt trong hệ tọa độ
thì điểm và đường cong là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba - Tỷ lệ phần tô đậm chiếm
diện tích hình vuông. b) Yêu cầu:
- Tính
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng dữ kiện đề bài và tích phân lập được hệ phương trình giải các ẩn.
Phần 3. Giải chi tiết
Diện tích hình vuông của hình vẽ là:
Dựa vào đồ thị hình vẽ ta có:
Lại có
đi qua nên ta có: (1)Ta có diện tích phần trắng là
Vậy diện tích phần in đậm là:
Theo bài cho ta có:
(2)Từ (1) (2) suy ra:
Vậy
Điền đáp án: 72.
Câu 19 [907642]: Để thể hiện tình cảm của mình với Crush, thầy Tuấn đã dùng một tấm bìa và vẽ trái tim bé nhỏ của mình tặng cho Crush, biết rằng nếu đặt trái tim đó vào hệ trục tọa độ 
thì đường cong khép kín có phương trình là 
(trong đó a là số thực , tham khảo hình vẽ). Thầy Tuấn đã dùng bút màu và tô màu đỏ cho trái tim của mình và diện tích thầy cần tô là 3,5 (đvdt). Hỏi giá trị của 
bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.
thì đường cong khép kín có phương trình là (trong đó a là số thực , tham khảo hình vẽ). Thầy Tuấn đã dùng bút màu và tô màu đỏ cho trái tim của mình và diện tích thầy cần tô là 3,5 (đvdt). Hỏi giá trị của bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.
Gọi 
ta có phương trình: 
Ta gọi
Mà
Ta có phương trình:
Ta có diện tích hình trái tìm:
Đặt
(thực hiện vi phân), ta có bảng đổi cận:
(sử dụng máy tính Casio) 
ta có phương trình: Ta gọi
Mà
Ta có phương trình:
Ta có diện tích hình trái tìm:
Đặt
(thực hiện vi phân), ta có bảng đổi cận: (sử dụng máy tính Casio)
Câu 20 [907309]: Mặt sàn của một căn nhà được lát bằng những viên gạch màu trắng hình vuông và được tráng trí bằng một hình 4 cánh giống nhau (như hình vẽ). Khi đặt trong hệ trục tọa độ 
với 
là tâm hình vuông thì các đường cong 
có phương trình dạng 
và 
Gọi 
là diện tích phần tô đậm, khi 
(đvdt) thì giá trị của 
bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
với là tâm hình vuông thì các đường cong có phương trình dạng và Gọi là diện tích phần tô đậm, khi (đvdt) thì giá trị của bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phần 1. Tóm tắt đề
a) Đề cho:
- Khi đặt trong hệ trục tọa độ
với 
là tâm hình vuông thì các đường cong 
có phương trình dạng 
và 
-
là diện tích phần tô đậm, 
(đvdt)
b) Yêu cầu:
- Tính
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
Dựa vào hình vẽ, ta đặt:
Trong hệ trục
: 
Đồ thị
đi qua điểm 
Ta đi tính diện tích phần trắng:
Diện tích phần trắng được chia thành 8 phần bẳng nhau:
Mặt khác:
Điền đáp án: 0,45.
a) Đề cho:
- Khi đặt trong hệ trục tọa độ
với là tâm hình vuông thì các đường cong có phương trình dạng và -
là diện tích phần tô đậm, (đvdt) b) Yêu cầu:
- Tính
(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?Phần 2. Hướng dẫn tư duy
Phần 3. Giải chi tiết
Dựa vào hình vẽ, ta đặt:
Trong hệ trục
: Đồ thị
đi qua điểm Ta đi tính diện tích phần trắng:
Diện tích phần trắng được chia thành 8 phần bẳng nhau:
Mặt khác:
Điền đáp án: 0,45.