Câu 1 [734734]: [MĐ1] Hàm số 
có một nguyên hàm là hàm số 
trên khoảng 
nếu
có một nguyên hàm là hàm số trên khoảng nếu A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có: 
là nguyên hàm của 
. Đáp án: B
là nguyên hàm của . Đáp án: B
Câu 2 [386264]: Trên khoảng 
thì hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
thì hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có: 
Suy ra hàm số
là một nguyên hàm của hàm số 
Chọn A. Đáp án: A
Suy ra hàm số
là một nguyên hàm của hàm số Chọn A. Đáp án: A
Câu 3 [389362]: 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 4 [386265]: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án D.
Ta có:
Đáp án: D
Ta có:
Đáp án: D
Câu 5 [234243]: [Đề thi TH THPT 2022]: Nếu 
Khẳng định nào dưới đây đúng?
Khẳng định nào dưới đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có: 
Chọn C. Đáp án: C
Chọn C. Đáp án: C
Câu 6 [148225]: Cho 
là một nguyên hàm của hàm số 
thỏa mãn 
, giá trị của 
bằng
là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn , giá trị của bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 7 [386275]: Cho hàm số 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Sai. 
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.
Câu 8 [386276]: Cho hàm số 
Gọi 
là một nguyên hàm của hàm số 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Gọi là một nguyên hàm của hàm số Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Đúng. 
b) Sai.
c) Sai. Một hàm số có nhiều nguyên hàm khác nhau.
d) Đúng.
b) Sai.
c) Sai. Một hàm số có nhiều nguyên hàm khác nhau.
d) Đúng.
Câu 9 [1012132]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Biết rằng
Giá trị của
__________.
Biết rằng
Giá trị của
__________. 
Câu 10 [389368]: Cho hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
Tính 
là một nguyên hàm của hàm số Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Câu 11 [1012175]: Biết rằng 
Khi đó
[[20589125]] và 
[[20589123]] .
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Khi đó
[[20589125]] và [[20589123]] .Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Khi đó:
Câu 12 [161484]: Biết hàm số 
thỏa mãn các điều kiện 
và đồ thị hàm số 
đi qua điểm 
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
thỏa mãn các điều kiện và đồ thị hàm số đi qua điểm Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Sai.
Vì
có một nghiệm bội lẻ 
Hàm số đồng biến trên khoảng
và hàm số nghịch biến trên khoảng 
b) Đúng.
Ta có
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm 
là 
c) Đúng.
Ta có
Điểm
Vậy
d) Sai.
Vì
có một nghiệm bội lẻ Hàm số đồng biến trên khoảng
và hàm số nghịch biến trên khoảng b) Đúng.
Ta có
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm là c) Đúng.
Ta có
Điểm
Vậy
d) Sai.
Câu 13 [161574]: Cho hàm số 
một nguyên hàm của hàm số 
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
một nguyên hàm của hàm số Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Đúng. 
b) Sai.
c) Sai.
mà 
d) Đúng.
b) Sai.
c) Sai.
mà d) Đúng.
Câu 14 [161575]: Cho hàm số 
Gọi 
là họ nguyên hàm của hàm số 
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
Gọi là họ nguyên hàm của hàm số Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Sai
Ta có
b) Sai
Ta có
c) Đúng
Ta có
d) Đúng
Ta có
Ta có
b) Sai
Ta có
c) Đúng
Ta có
d) Đúng
Ta có
Câu 15 [389381]: Cho hàm số 
là một nguyên hàm của hàm số 
Biết rằng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
là một nguyên hàm của hàm số Biết rằng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Sai. 
b) Sai. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ 
có hệ số góc bằng 
c) Sai.
Hàm số
đồng biến trên khoảng 
và 
d) Đúng.
b) Sai. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ có hệ số góc bằng c) Sai.
Hàm số
đồng biến trên khoảng và d) Đúng.
Câu 16 [386656]: Cho hàm số 
thoả mãn 
Gọi 
là một nguyên hàm của hàm số 
thoả mãn 
Biết 
, xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
thoả mãn Gọi là một nguyên hàm của hàm số thoả mãn Biết , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Ta có: 
Lại có
Suy ra
mà 
a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng.
d) Đúng.
Lại có
Suy ra
mà a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng.
d) Đúng.
Câu 17 [161578]: Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi 
là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của viên đạn là 
. Tính độ cao lớn nhất của viên đạn tính từ mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của viên đạn là . Tính độ cao lớn nhất của viên đạn tính từ mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Điền đáp số: 
Độ cao của viên đạn tại thời điểm
giây là 
Tại
ta có 
nên 
vậy có 
Độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được khi
Khi đó ta có độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được là
Độ cao của viên đạn tại thời điểm
giây là Tại
ta có nên vậy có Độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được khi
Khi đó ta có độ cao lớn nhất của viên đạn đạt được là
Câu 18 [1012176]: Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa chua âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm 
(giờ) được kí hiệu là 
Ban đầu (
giờ), mật độ vi khuẩn đo được là 
triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn 
(đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức 
(triệu tế bào/ml mỗi giờ) với 
là thời gian tính bằng giờ (
).
So với lúc ban đầu (
), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm [[20589149]] triệu tế bào/ml khi đến thời điểm 
giờ. Tại thời điểm 
giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là [[20589149]] triệu tế bào/ml.
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
(giờ) được kí hiệu là Ban đầu ( giờ), mật độ vi khuẩn đo được là triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn (đơn vị: triệu tế bào/ ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức (triệu tế bào/ml mỗi giờ) với là thời gian tính bằng giờ ().So với lúc ban đầu (
), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm [[20589149]] triệu tế bào/ml khi đến thời điểm giờ. Tại thời điểm giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là [[20589149]] triệu tế bào/ml.
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có 
(
).
Ta có
(
).
Mà
nên 
Vậy 
Tại thời điểm
ta có 
Ban đầu (
giờ), mật độ vi khuẩn đo được là 
triệu tế bào/ml nên tại thời điểm 
mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml.
Tại thời điểm
giờ, ta có 
nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.
().
Ta có
().
Mà
nên Vậy
Tại thời điểm
ta có Ban đầu ( giờ), mật độ vi khuẩn đo được là triệu tế bào/ml nên tại thời điểm mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 108 triệu tế bào/ml.
Tại thời điểm
giờ, ta có nên mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 108 triệu tế bào/ml.
Câu 19 [161486]: Cho hàm số 
liên tục trên 
thoả mãn:
Biết rằng 
các mệnh đề sau đúng hay sai?
liên tục trên thoả mãn: Biết rằng các mệnh đề sau đúng hay sai?
Ta có: 
a) Sai.
b) Đúng.
có hai nghiệm phân biệt nên hàm số 
có hai điểm cực trị.
c) Đúng.
Phương trình 
có ba nghiệm thực phân biệt.
d) Đúng.
a) Sai.
b) Đúng.
có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị.c) Đúng.
Phương trình có ba nghiệm thực phân biệt.d) Đúng.
Câu 20 [389382]: Cho hàm số 
liên tục trên 
thoả mãn 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
liên tục trên thoả mãn Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
Lưu ý: Bài toán này thầy đính chính lại: Thêm dữ kiện "Hàm số liên tục trên R".
a) Sai.
Vì hàm số
liên tục trên 
nên hàm số liên tục tại 
Thay 
vào 2 vế của phương trình trên, ta được
b) Đúng.
Ta có:
c) Đúng.
Vì
nên ở í c) ta cần tính 
Ta có:
Thay
vào phương trình trên, ta được
d) Đúng.
Ta có:
a) Sai.
Vì hàm số
liên tục trên nên hàm số liên tục tại Thay vào 2 vế của phương trình trên, ta được b) Đúng.
Ta có:
c) Đúng.
Vì
nên ở í c) ta cần tính Ta có:
Thay
vào phương trình trên, ta đượcd) Đúng.
Ta có:
Câu 21 [389386]: Cho hàm số 
liên tục trên 
và thoả mãn 
tính giá trị của 
liên tục trên và thoả mãn tính giá trị của
Ta có 
(1)
Hàm số
liên tục trên 
nên hàm số 
liên tục trên 
Thay
vào (1) ta được: 
Khi đó
Suy ra
mặt khác 
Vậy
(1) Hàm số
liên tục trên nên hàm số liên tục trên Thay
vào (1) ta được: Khi đó
Suy ra
mặt khác Vậy
Câu 22 [212392]: Cho hàm số 
có đạo hàm là 
và 
Biết 
là nguyên hàm của 
thỏa mãn 
khi đó 
bằng
có đạo hàm là và Biết là nguyên hàm của thỏa mãn khi đó bằng A, 
B, 1.
C, 2.
D, 7.
Chọn B
Ta có:
Mà
Lại có:
Khi đó:
Cách khác: Ta có:
Đáp án: B
Ta có:
Mà
Lại có:
Khi đó:
Cách khác: Ta có:
Đáp án: B
Câu 23 [1012133]: Một khinh khí cầu bay với độ cao (so với mực nước biển) tại thời điểm 
là 
trong đó 
tính bằng phút và 
tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số 
với 
tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát (
) khinh khí cầu ở độ cao 
m.
a) Tìm hàm
với 
b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu mét?
c) Sau bao nhiêu phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
là trong đó tính bằng phút và tính bằng mét. Tốc độ bay của khinh khí cầu được cho bởi hàm số với tính bằng mét/phút. Tại thời điểm xuất phát () khinh khí cầu ở độ cao m.
a) Tìm hàm
với
b) Độ cao tối đa của khinh khí cầu khi bay là bao nhiêu mét?
c) Sau bao nhiêu phút từ khi xuất phát thì khinh khí cầu trở lại độ cao khi bắt đầu xuất phát.
a) Ta có 
Tại thời điểm xuất phát (
), độ cao của khinh khí cầu là 520m nên 
Vậy
b) Ta có
suy ra 
Ta có BBT:
Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540m.
c) Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì
Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.
Tại thời điểm xuất phát (
), độ cao của khinh khí cầu là 520m nên
Vậy
b) Ta có
suy ra
Ta có BBT:
Vậy độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540m.
c) Khi trở lại độ cao như lúc xuất phát thì
Vậy sau 15 phút thì khinh khí cầu quay trở lại độ cao như lúc đầu.
Câu 24 [389390]: Cho hàm số 
có đồ thị như hình vẽ bên. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 
Biết rằng 
Tính giá trị của 
có đồ thị như hình vẽ bên. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ Biết rằng Tính giá trị của
Phương trình tiếp tuyến của 
tại điểm 
suy ra 
Giả sử phương trình tiếp tuyến của hàm số
có dạng: 
với 
Ta có hệ phương trình
Ta có
tại điểm suy ra Giả sử phương trình tiếp tuyến của hàm số
có dạng: với Ta có hệ phương trình
Ta có
Câu 25 [775913]: Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu 
và 
cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục 
như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình 
Khi đó
với 
Hỏi tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
và cách nhau 4 m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình Khi đó
với Hỏi tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất bao nhiêu cm (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Điền đáp án: 5,7.
Khoảng võng xuống lớn nhất so với phương ngang của tấm ván là bằng với
Do đó, ta cần đi tìm hàm 
Và ta sẽ sử dụng các công thức 
để tìm được hàm 
Thực hiện như sau:
Ta có
Tiếp đến, ta có
Dựa vào hình vẽ, ta có
Suy ra
Xét hàm số
trên đoạn 
Ta có
Vậy tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất là 0,057 m hay 5,7 cm.
Khoảng võng xuống lớn nhất so với phương ngang của tấm ván là bằng với
Do đó, ta cần đi tìm hàm Và ta sẽ sử dụng các công thức để tìm được hàm Thực hiện như sau:Ta có
Tiếp đến, ta có
Dựa vào hình vẽ, ta có
Suy ra
Xét hàm số
trên đoạn Ta có
Vậy tấm ván bị võng xuống so với phương ngang một khoảng lớn nhất là 0,057 m hay 5,7 cm.