Đáp án Đề thi online: Bài tập tự luyện số 1

Câu 1 [151703]: Cho hình phẳng

giới hạn bởi cung tròn

của đường tròn tâm

bán kính

và dây cung

vuông góc với

tại

và

(hình vẽ). Tính thể tích

của vật thể tròn xoay tạo được khi quay hình phẳng

xung quanh

.

A,

B,

C,

D,

Đáp án: A

Câu 2 [151712]: Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang

mét, chiều dài

mét, đỉnh trại cách nền

mét. Tính thể tích phần không gian bên trong lều trại.

Câu 3 [1014215]: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu thể thao là một khối bê tông có chiều cao từ mặt đất lên là 3 m. Bề mặt tiếp xúc với mặt đất là một hình chữ nhật, giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng

Thiết diện của tường cong khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

tại

là một tam giác cong

vuông tại

với

cạnh cong

nằm trên một đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Tại vị trí

là trung điểm

thì đường cong có độ cao 1 m (xem hình vẽ sau).

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Dựa vào điều kiện các điểm thuộc đồ thị để xác định phương trình parabol, sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích và thể tích tương ứng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có parabol

đi qua

nên

.
Parabol đi qua

và

nên

và

.

.
Suy ra mệnh đề a) đúng.
Diện tích hình phẳng

là

.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
Diện tích thiết diện hình chữ nhật tại hoành độ

là

.
Suy ra mệnh đề c) sai.
Thể tích khối bê tông là

.
Suy ra mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Câu 4 [1003207]: Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bầu dục quốc gia có kích thước

từ đầu này đến đầu kia và đường kính

ở phần dày nhất ( quy định có phép thay đổi một chút về các kích thước này) ( Nguồn: NFL).

Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

, trục hoành và các đường thẳng

, trong đó

tính bằng centimet

. Thể tích ( đơn vị: cm³, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu?

Điền đáp án: 3390

Ta thấy đồ thị hàm số

đi qua các điểm

và

nên ta có hệ phương trình :

Vậy thể tích của quả bóng bầu dục trên là:

Câu 5 [408110]: Từ hình chữ nhật

có chiều dài

và chiều rộng

người ta cắt bỏ miền

được giới hạn bởi cạnh

của hình chữ nhật và hai nửa đường thẳng parabol có chung đỉnh là trung điểm cạnh

chúng lần lượt đi qua hai đầu mút

của hình chứ nhất đó (phần tô đậm như hình vẽ). Phần còn lại cho quay quanh trục

để tạo nên một đồ vật làm trang trí, thể thế của vật trang trí đó bằng bao nhiêu

Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Phương trình Parabol

có dạng:

Mặt khác Parabol đi qua điểm

Khi đó phương trình đường cong

là

Thể tích của vật thể thu được là:

Câu 6 [398640]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục

Biết rằng

là trung điểm

miền

được giới hạn bởi đoạn thẳng

và các cung tròn bán kính

có tâm

và

Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu cm³ (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Điền đáp án: 2,9.

Chọn hệ trục

như hình vẽ
Khi đó mặt phẳng

được giới hạn bởi hai cung tròn:

và

Hoành độ giao điểm của hai cung tròn này là nghiệm của phương trình

Khi đó miền phẳng

Vậy

Câu 7 [408109]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền

được giới hạn bởi đường gấp khúc

và cung tròn

(phần tô đậm trong hình bên) xung quanh trục

. Biết

là hình chữ nhật cạnh

,

;

là trung điểm của

; điểm

cách

một đoạn bằng

. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị

+ Gắn hệ trục

như hình vẽ.
Gọi

là trung điểm

+ Gọi

là thể tích khối trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật

quanh trục

gọi

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn đi qua

và cạnh

quanh

+ Ta có:

+

+ Phương trình đường tròn đi qua

là

+ Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng

Điền đáp án: 16,5.

Câu 8 [408479]: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng

, đường cong

là một phần của parabol có đỉnh là điểm

. Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu

(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

a) Đề cho:
- Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên.
-

đường cong

là một phần của parabol có đỉnh là điểm

b) Yêu cầu:
- Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu

(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Phần 2. Hướng dẫn tư duy
- Sử dụng công thức thể tích khi quay quanh trục

Phần 3. Giải chi tiết
Thể tích mũ là

thể tích khối trụ bán kính đáy bằng

và đường cao

là

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi

và 2 trục tọa độ quanh trục

là

Ta có: +)

+)

(

)

Parabol có đỉnh

nên

:

đi qua

nên

Điền đáp án: 2618.

Câu 9 [395596]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(phần gạch chéo trong hình vẽ bên) quanh trục

Miền

được giới hạn bởi các cạnh

,

của hình vuông

và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng

cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh

,

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười của cm³.

Điền đáp án: 10,5.

Chọn hệ trục tọa độ

sao cho trục

chứa cạnh

và

Khi đó

và

với

,

lần lượt là trung điểm của

,

Khi đó đường tròn tâm

chứa cung tròn

là

và đường tròn tâm

chứa cung tròn

là

Suy ra phương trình cung trên của đường tròn tâm

là

và phương trình cung dưới của của đường tròn tâm

là

Khi đó, thể tích vật thể trang trí là

Câu 10 [913181]: Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục

và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục

như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh cần xác định tính đúng hoặc sai của từng mệnh đề a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Biểu diễn các mảnh của quả trứng bằng phương trình đường cong trong mặt phẳng tọa độ.
Xác định biểu thức

theo

để tính thể tích bằng phương pháp khối tròn xoay.
Áp dụng công thức

trên từng khoảng xác định.
Cộng các thể tích thành phần để suy ra thể tích toàn bộ khối.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Mảnh trên được biểu diễn bởi elip

.
Thể tích phần trong của mảnh trên được tính bởi

.
b) Đúng.
Ta có

.
Mảnh dưới được biểu diễn bởi đường tròn

.
Thể tích phần trong mảnh dưới là

.

, nên thể tích phần trong của mảnh trên gấp

lần thể tích phần trong của mảnh dưới.
c) Đúng.
Thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi là

.
d) Sai.
Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là

, không thỏa mãn mệnh đề đã cho.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Câu 11 [408108]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền

(Phần gạch sọc trong hình vẽ bên dưới) quanh trục

Biết rằng

miền

được giới hạn bởi đoạn thẳng

, cung tròn

có tâm

đường tròn elip

có trục

và

Thể tích của vật trang trí bằng bao nhiêu cm³ (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Chọn hệ trục với

trùng với

như hình vẽ.
Phương trình nửa đường tròn là

Phương trình Elip là:

suy ra phương trình đường cong Elip phía trên là

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là

Câu 12 [789818]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác

là các hình vuông cạnh

. Tứ giác

là hình chữ nhật có

. Mặt bên

được mài nhẵn theo đường parabol

có đỉnh parabol nằm trên cạnh

. Thể tích của chi tiết máy bằng __________ cm³.

Điền đáp án: 17,7.

Gọi hình chiếu của

trên

và

là

và

.
Vật thể được chia thành hình lập phương

có cạnh

, thể tích

và phần còn lại có thể tích

.
Khi đó thể tích vật thể

.
Đặt hệ trục

sao cho

trùng với

,

trùng với

,

trùng với tia

song song với

.
Khi đó Parabol

có phương trình dạng

, đi qua điểm

do đó

.
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với

và đi qua điểm

ta được thiết diện là hình chữ nhật

có cạnh là

và

do đó diện tích

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có

Từ đó

Câu 13 [1005559]: Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ).

Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh

mặt đỉnh là hình vuông có cạnh

Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh

Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).

Điền đáp án:

Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi

là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x.
Theo đề ta có,

là một parabol đi qua ba điểm

, trong đó

là vị trí toà nhà có cạnh cạnh

.
Ta có hệ:

Suy ra

Do đó, diện tích thiết diện là

.
Vậy thể tích của toà nhà là

.

Câu 14 [1001952]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Lớp vỏ của một lò phản ứng hạt nhân bằng kim loại và được tạo bởi hình phẳng (S) giới hạn bởi nhánh bên phải trục tung của các đường hybelbol

và hai đường thẳng

khi quay quanh trục Oy ( tham khảo hình vẽ)

Biết

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

;

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

(đơn vị trên các trục toạ độ đo bằng 1 mét). Thể tích khối kim loại cần sử dụng để làm vỏ lò phản ứng hạt nhân bằng __________ mét khối ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị ).

Đáp số:
+) Gọi phương trình

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

nên ta có hệ phương trình

.
Vậy phương trình

. Suy ra

+) Gọi phương trình

đi qua điểm

và có tiêu cự bằng

nên ta có hệ phương trình

Vậy phương trình

Suy ra

+) Thể tích của khối kim loại là:

Câu 15 [931517]: Một ly thuỷ tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay.

Hình dạng này được tạo bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là

, đường kính miệng ly là

(chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh). Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích

thể tích của ly khi nó chứa đầy nước. Sau đó, người ta đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu. Hỏi khi đổ thêm, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm bao nhiêu centimet so với lúc ban đầu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Điền đáp án: 2,07.