Câu 1 [151716]: Gọi 
là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên). Tính thể tích của 
là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ có bán kính bằng a (xem hình vẽ bên). Tính thể tích của A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 2 [151696]: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn 
, trục nhỏ 
. Biết cứ 
dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 
. Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể.
, trục nhỏ . Biết cứ dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá . Hỏi từ quả dưa hấu trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết rằng bề dày vỏ dưa không đáng kể. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 3 [1003185]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền 
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục 
. Biết rằng 
là hình chữ nhật với 
. Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
. Hai đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là 
và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh 
và 
(tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị 
).
(phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục . Biết rằng là hình chữ nhật với . Gọi lần lượt là trung điểm của . Hai đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ).
ĐÁP SỐ : 75,4
Chọn hệ trục
như hình vẽ (
là trung điểm của 
, tia 
là tia 
, tia 
vuông góc với 
và hướng lên trên)
Phương trình elip là:
. Do đó: 
.
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay elip quanh
là: 
Phương trình đường tròn là:
. Do đó: 
.
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay đường tròn quanh
là: 
.
Thể tích của vật trang trí là:
(
)
Chọn hệ trục
như hình vẽ ( là trung điểm của , tia là tia , tia vuông góc với và hướng lên trên)
Phương trình elip là:
. Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay elip quanh
là:
Phương trình đường tròn là:
. Do đó: .
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay đường tròn quanh
là: .
Thể tích của vật trang trí là:
()
Câu 4 [1001290]: Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng 
☐(phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục 
.
Miền
được giới hạn bởi đường tròn đường kính 
và cung tròn tâm 
. Biết 
và điểm 
trong hình vẽ thỏa mãn 
. Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu 
? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
☐(phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục .Miền
được giới hạn bởi đường tròn đường kính và cung tròn tâm . Biết và điểm trong hình vẽ thỏa mãn . Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Trả lời: 135
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có
, 
, 
.
Tam giác
vuông tại 
, 
là đường cao nên 
.
Tam giác
vuông tại 
nên 
.
Suy ra
Đường tròn đường kính
có phương trình 
.
Đường tròn tâm
bán kính 
có phương trình 
Thể tích cần tìm là:
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có
, , .
Tam giác
vuông tại , là đường cao nên .
Tam giác
vuông tại nên .
Suy ra
Đường tròn đường kính
có phương trình .
Đường tròn tâm
bán kính có phương trình
Thể tích cần tìm là:
.
Câu 5 [398646]: Trên một tuyến đường thẳng có một đoạn phải đi xuyên qua một quả núi nhỏ, do đó người ta đã tạo một hầm chui để thuận tiện cho các phương tiện giao thông di chuyển, vòm của hầm chui được đổ bê tông có dạng như hình vẽ dưới đây
với
Biết khi cắt vòm của hầm chui bằng mặt phẳng vuông góc với trục của tuyến đường ta luôn có thiết diện là một hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường. Tính thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông.
với
Biết khi cắt vòm của hầm chui bằng mặt phẳng vuông góc với trục của tuyến đường ta luôn có thiết diện là một hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường. Tính thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông. A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường.
Thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông là:
Gắn phần diện tích vào hệ trục tọa độ
, ta có đồ thị như hình vẽ.
Từ đồ thị, ta xác định được hai hàm số parabol:
Khi đó,
Vậy thể tích của vòm là:
Đáp án: B
Gọi
là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường. Thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông là:
Gắn phần diện tích vào hệ trục tọa độ
, ta có đồ thị như hình vẽ. Từ đồ thị, ta xác định được hai hàm số parabol:
Khi đó,
Vậy thể tích của vòm là:
Đáp án: B
Câu 6 [151705]: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao 
của mực cát bằng 
chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi 
phút. Khi chiều cao của cát còn 
thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi 
(xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu 
(Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình). Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi phút. Khi chiều cao của cát còn thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn chu vi (xem hình). Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Điền đáp án: 10.
Gọi
là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.
Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính
, suy ra diện tích đường tròn là 
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình parabol
Bán kính của đường tròn mặt cát bằng
, nên 
đi qua 3 điểm 
, 
và 
Suy ra phương trình của
:
Suy ra thể tích cát ban đầu là
(vì mặt cắt vuông góc với 
).
Mà thể tích khối cát là
Suy ra
Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là:
Gọi
là mặt phẳng song song với đáy của hình trụ và cắt đồng hồ cát.Khi đó mặt cắt là một đường tròn có bán kính
, suy ra diện tích đường tròn là .Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, gọi phương trình parabol
Bán kính của đường tròn mặt cát bằng
, nên đi qua 3 điểm , và Suy ra phương trình của
:Suy ra thể tích cát ban đầu là
(vì mặt cắt vuông góc với ).Mà thể tích khối cát là
Suy ra
Suy ra chiều cao của khối trụ bên ngoài là:
Câu 7 [151709]: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 
người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 
để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).
Kí hiệu
là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính 
người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây).Kí hiệu
là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 8 [151711]: Người ta dựng một cái lều vải 
có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ dưới. Đáy của 
là một hình lục giác đều cạnh 
Chiều cao 
(
vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của 
là các sợi 
nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với 
Giả sử giao tuyến (nếu có) của 
với mặt phẳng 
vuông góc với 
là một lục giác đều và khi 
đi qua trung điểm 
thì lục giác đều cạnh bằng 
Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều 
đó.
có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ dưới. Đáy của là một hình lục giác đều cạnh Chiều cao ( vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của là các sợi nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có) của với mặt phẳng vuông góc với là một lục giác đều và khi đi qua trung điểm thì lục giác đều cạnh bằng Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều đó. A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn trục toạ độ 
trùng với 
và 
trùng với 
Chú ý. Ở đây chọn trục
trùng với 
vì đề bài cho trục đối xứng của các đường parabol song song với 
Phương trình đường cong parabol
là 
đi qua các điểm 
.
Do đó
Khi cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục 
tại điểm có tung độ 
ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh 
xác định bởi 
.
Giải phương trình bậc hai ấn
, rút ra 
với 
nên nhận 
.
Do đó diện tích thiết diện vuông góc với trục
tại điểm có tung độ 
là
Và thể tích của
là 
.
Chọn đáp án D. Đáp án: D
trùng với và trùng với Chú ý. Ở đây chọn trục
trùng với vì đề bài cho trục đối xứng của các đường parabol song song với
Phương trình đường cong parabol
là đi qua các điểm .
Do đó
Khi cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có tung độ ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh xác định bởi .
Giải phương trình bậc hai ấn
, rút ra với nên nhận .
Do đó diện tích thiết diện vuông góc với trục
tại điểm có tung độ là
Và thể tích của
là .
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [151713]: Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lơn bằng 
độ dài trục bé bằng 
Tính thể tích 
của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
độ dài trục bé bằng Tính thể tích của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 10 [140098]: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính 
đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao 
Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần bằng
đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán kính của viên bi gần bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 11 [1023981]: Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân để như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm. Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể H, ở đó H nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính 5,7 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm (xem hình dưới).
Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
Gợi ý: Công thức tính thể tích hình chóp cụt 
với 
là chiều cao, 
lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Diện tích đáy nhỏ là:
Diện tích đáy lớn là: 
Thể tích hình chóp cụt là:
Dựa vào hệ trục tọa độ trong đề bài, ta có phương trình đường tròn tâm
bán kính 5,7 cm là:
Xét vật thể
được cắt bởi một mặt cắt là hình tròn tâm 
bán kính 3,5 cm 
nửa đường tròn 
Ta có thể tích phần lõm là:
Thể tích của khối chân đế là:
Điền đáp số: 95,9.
với là chiều cao, lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Diện tích đáy nhỏ là:
Diện tích đáy lớn là:
Thể tích hình chóp cụt là:
Dựa vào hệ trục tọa độ trong đề bài, ta có phương trình đường tròn tâm
bán kính 5,7 cm là:
Xét vật thể
được cắt bởi một mặt cắt là hình tròn tâm bán kính 3,5 cm nửa đường tròn
Ta có thể tích phần lõm là:
Thể tích của khối chân đế là:
Điền đáp số: 95,9.
Câu 12 [408422]: Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn 
quanh trục 
). Biết rằng 
. Thể tích 
của chiếc phao la bao nhiêu lít. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân
quanh trục ). Biết rằng . Thể tích của chiếc phao la bao nhiêu lít. Viết kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân 
Thể tích phao là 14,8 lít
Câu 13 [151717]: Cho 2 đường tròn 
và 
cắt nhau tại 2 điểm 
sao cho 
là 1 đường kính của đường tròn 
Gọi 
là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay 
quanh trục 
ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
và cắt nhau tại 2 điểm sao cho là 1 đường kính của đường tròn Gọi là hình thẳng được giới hạn bởi 2 đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ). Quay quanh trục ta được 1 khối tròn xoay. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 14 [151718]: Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ dưới, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính 
có diện tích là 
và 
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình 
(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng 
có diện tích là và Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Gợi ý: Thể tích khối tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi hàm số 
và hai đường thẳng 
quay xung quanh trục 
là: 
Chọn hệ trục tọa độ và các điểm như hình:
Nửa hình tròn đường kính
có diện tích là: 
Phương trình đường tròn tâm
bán kính 
là: 
Phương trình đường tròn tâm
bán kính 
là: 
Ta có
Phương trình đường thẳng 
có dạng 
Mà 
Ta có
Ta có
Ta có thể tích khi xoay hình
Ta có thể tích khi xoay hình
Thể tích khi xoay khối
là: 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
và hai đường thẳng quay xung quanh trục là: Chọn hệ trục tọa độ và các điểm như hình:
Nửa hình tròn đường kính
có diện tích là:
Phương trình đường tròn tâm
bán kính là:
Phương trình đường tròn tâm
bán kính là:
Ta có
Phương trình đường thẳng có dạng Mà
Ta có
Ta có
Ta có thể tích khi xoay hình
Ta có thể tích khi xoay hình
Thể tích khi xoay khối
là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 15 [151719]: Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1).
Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết
,
, 
, 
và giá mỗi lít rượu là 
đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng?
Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết
,, , và giá mỗi lít rượu là đồng. Hỏi số tiền ông An cần để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)?. Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng? A, 
đồng.
đồng.B, 
đồng.
đồng.C, 
đồng.
đồng.D, 
đồng.
đồng.
Đáp án: D