Quay lại
Đáp án
Câu 1 [899367]: Trong không gian đường thẳng đi qua điểm nào sau đây?
A,
B,
C,
D,
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là Chọn C. Đáp án: C
Câu 2 [899368]: Trong không gian cho ba điểm và Phương trình nào dưới đây là phương tình chính tắc của đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Tính đường thẳng
Đường thẳng qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là: Chọn B. Đáp án: B
Câu 3 [53290]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với ; ; . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
A,
B,
C,
D,
Đáp án D
Gọi là trung điểm của suy ra tọa độ điểm
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh có vectơ chỉ phương là Đáp án: D
Câu 4 [53256]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng và điểm Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
HD: Mặt phẳng vuông góc với mà mặt phẳng đi qua điểm nên mặt phẳng có phương trình là Chọn C. Đáp án: C
Câu 5 [55806]: Mặt phẳng song song với hai đường thẳng và vectơ pháp tuyến là
A,
B,
C,
D,
26.png Đáp án: C
Câu 6 [392150]: Trong không gian toạ độ cho điểm và đường thẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng, từ đó suy ra phương trình đường thẳng song song và mặt phẳng vuông góc với đường thẳng đã cho.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
b) Đúng.
c) Sai.
Gọi là đường thẳng đi qua và song song với .
một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
phương trình đường thẳng là .
d) Sai.
Gọi là mặt phẳng đi qua và vuông góc với .
mặt phẳng nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng làm vectơ pháp tuyến.
một vectơ pháp tuyến của là .
phương trình mặt phẳng là .
🔑 Điền đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai
Câu 7 [234254]: [Đề thi TH THPT 2022]:Trong không gian cho ba điểm và Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là
A,
B,
C,
D,
HD: Ta có: Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là Chọn D. Đáp án: D
Câu 8 [55790]: Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng đi qua góc tọa độ, vuông góc với trục và vuông góc với đường thẳng Phương trình của là
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: D
Câu 9 [55814]: Cho mặt phẳng và đường thẳng Phương trình đường thẳng qua song song với đồng thời vuông góc với là
A,
B,
C,
D,
Gọi là đường thẳng cần tìm.

Ta có
Suy ra phương trình đường thẳng có vectơ chỉ phương và đi qua điểm là
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [55800]: Trong không gian tọa độ cho đường thẳng và Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song
A,
B,
C,
D,
42.png Đáp án: D
Câu 11 [55785]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình mặt phẳng chứa trục và song song với đường thẳng
A,
B,
C,
D,
Từ giả thiết ta có:
Mặt phẳng đi qua và có vectơ pháp tuyến

Chọn đáp án C.
Đáp án: C
Câu 12 [1014729]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Cho hai đường thẳng và Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì giá trị bằng
HD: Đường thẳng có vtcp là đường thẳng có vtcp là
Do hai đường thẳng vuông góc nên
Câu 13 [55797]: Trong không gian tọa độ cho Viết phương trình trung trực của đoạn biết nằm trong mặt phẳng
A,
B,
C,
D,
18ltt.png Đáp án: B
Câu 14 [404893]: Trong không gian cho tam giác đều với và đường thẳng có phương trình Gọi là đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Sai. là 1VTCP của
b) Đúng. Xét là mặt phẳng đi qua và vuông góc nên qua và nhận làm 1VTPT.
c) Sai. là hình chiếu của lên thì hay tọa độ của thỏa mãn hệ phương trình:
.
Lại có .
d) Đúng. Điểm .
Đường thẳng đi qua và nhận làm VTCP .
Vì nên
Câu 15 [404892]: Trong không gian cho mặt phẳng vuông góc với và cắt trục trục và tia lần lượt tại Biết rằng thể tích khối tứ diện bằng 6. Độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 3.
Đường thẳng có 1 VTCP là .
Vì có 1 VTPT là , khi đó phương trình mặt phẳng có dạng: .
Ta có .
Vì là tứ diện vuông tại nên.
Vậy
Câu 16 [1005558]: Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại cùng một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Khi đó:

a) Đúng.
Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm có hoành độ là 8, tung độ là 3 và cao độ là 10.
b) Đúng.

Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là
c) Đúng.
Gọi là trung điểm
Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng ta được (đúng).
d) Sai.

Gọi là điểm đối xứng với qua mặt phẳng
Với mọi điểm ta có
Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai flycam là
Câu 17 [1014730]: Trong không gian với hệ trục tọa độ (Đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ dài 1 km, mặt đất là mặt phẳng ). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm với vận tốc không đổi (km/h) theo hướng về điểm . Khi tới , máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm với vận tốc giữ nguyên là (km/h). Máy bay di chuyển theo hướng mới trong phút (tức là mới tới điểm ) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi theo phương nằm ngang (tức là nếu là vectơ hình chiếu xuống mặt đất của đoạn đường từ điểm trở đi thì góc lượng giác ) và vận tốc giảm còn (km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong 30 phút.
a) Quãng đường
Thời gian người đó đi từ đến là:
Tổng thời gian bay thực tế của máy bay trong cả hành trình này là:
Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Ta có
Phương trình tọa độ của máy bay khi đi trên đoạn là: (với tính theo giờ từ lúc máy bay đi từ điểm
Tọa độ điểm hay
Vậy khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay đang ở độ cao 275 km.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Tổng quãng đường cả hành trình là:
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Vì từ điểm máy bay bay lệch đi theo phương nằm ngang và bay đến vị trí cuối cùng là nên cao độ của bằng với cao độ của và bằng 275.
Khi đó ta chỉ cần xác định hoành độ và tung độ của Để dễ hình dung, ta minh họa và áp dụng công thức lượng giác để tính toán như hình, với

Khi đó
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 18 [1023980]: Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ toạ độ có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có toạ độ là Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và Ở thời điểm ban đầu vật đi qua với tốc độ m/giây và hướng tới Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường m. Gọi là vectơ cùng hướng với vectơ Biết rằng và góc giữa vectơ lần lượt với các vectơ có số đo tương ứng bằng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức tích vô hướng của vectơ để xác định các hệ số phương trình đường thẳng trong không gian.
Vận dụng công thức quãng đường để giải các bài toán chuyển động.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có

Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có .
.
.
.
Phương trình đường thẳng đi qua có vectơ chỉ phương là .
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Quãng đường vật đi được sau giây là .
Sau 2 giây vật đi được 608 m nên .

Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Viết phương trình tham số của :
Quãng đường sau 5 giây là


Suy ra mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng
Câu 19 [879734]: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng và đường thẳng Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng
a) Viết phương trình mặt phẳng
b) Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng và
a) Ta có Phương trình mặt phẳng có và đi qua điểm là
Vậy phương trình mặt phẳng
b) Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Ta có Phương trình đường thẳng có và đi qua điểm là
Câu 20 [879737]: Trong không gian với hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), mặt phẳng là mặt đất, chiều dương của trục Oz hướng lên trời, một khinh khí cầu bắt đầu chuyến bay từ điểm nó bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi và sau một giờ đến điểm Tại thời điểm khinh khí cầu bắt đầu bay, một máy bay cỡ nhỏ ở điểm bắt đầu bay theo đường thẳng d có phương trình
trong đó được tính bằng giờ.
a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng và
d) Khi máy bay bay đến điểm thì máy bay và khinh khí cầu cách nhau bao nhiêu km?
a) Gợi ý: Với độ dài đoạn thẳng
Độ dài đoạn thẳng
b)
Phương trình đường thẳng có và đi qua điểm là

trong đó được tính bằng giờ.
c) Vì và
Tọa độ giao điểm
d)

Câu 21 [202973]: Một tháp phát sóng cao đặt ở góc của sân hình chữ nhật Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp và (từ và ) với vận tốc lần lượt là m/phút và m/phút (xem hình vẽ). Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Điền đáp án: 6,12
Ta đặt hệ trục tọa độ tại điểm




Trong 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây
Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây :
Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là

Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây :
Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là

Khoảng cách giữa hai chú kiến là
Câu 22 [878361]: Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ , bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi và máy bay thứ hai ở tọa độ , bay theo hướng với tốc độ không đổi . Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng ). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Phương pháp:
Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.
Cách giải:
Đặt là điểm di chuyển của máy bay thứ nhất
Gọi (giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toàn
Ta có khoảng cách so với điểm ban đầu là

Tương tự ta đặt điểm là điểm di chuyển của máy bay thứ hai
Khi đó
suy ra
Vì khoảng cách tối thiểu để hai máy bay an toàn là 9,3 nên
(giờ)
Vậy sau ít nhất 8,42 phút thì vi phạm khoảng cách an toàn.
Câu 23 [1004659]: Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định trong không gian ba chiều với hệ tọa độ (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng , cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng . Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng , C nằm trên mặt phẳng và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ phương , hãy tính giá trị .
Đáp số: -1,5
Ta có: mà là trung điểm BC, suy ra .
Lại có , thay vào phương trình mặt phẳng , được:
Vậy .
Câu 24 [1001312]: Một khối thép không rỉ có dạng một hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông. Độ dài cạnh của đáy lớn là 8 cm, độ dài cạnh đáy nhỏ là 4 cm và chiều cao của khối là 8 cm. Một tia laser được chiếu theo đường thẳng với và chiếu xuyên qua khối thép. Gốc tọa độ nằm tại tâm của đáy lớn, trung điểm của nằm trên và trung điểm nằm trên Chiều dài lỗ khoan là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 7,2.
Ta có , nên phương trình tham số
Ta có :


.
Phương trình mặt phẳng .
Tương tự, ta có phương trình : .
Đường thẳng cắt hai mặt bên tại và .
Độ dài đoạn .
Câu 25 [931527]: Trong không gian với hệ tọa độ, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ).
Mức độ: Vận dụng (8+).
Tóm tắt dữ kiện đề bài:
Dữ kiện quan trọng: Mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km.
Máy bay thứ nhất: Xuất phát từ
+) Theo hướng vectơ có độ lớn
+) Tốc độ không đổi là 750 km/h = 75 đơn vị/h.
Máy bay thứ hai: Xuất phát từ
+) Bay theo hướng vectơ có độ lớn
+) Tốc độ không đổi là 900 km/h = 90 đơn vị/h.
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ vận tốc của máy bay thứ nhất là
Suy ra sau (giờ) thì máy bay thứ nhất bay đến vị trí
Vectơ vận tốc của máy bay thứ hai là
Suy ra sau (giờ) thì máy bay thứ hai bay đến vị trí

Khi đó khoảng cách của hai máy bay sau (giờ) là
Để máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy thứ nhất thì khoảng cách hai máy bay phải nhỏ hơn hoặc bằng 50 km (tức 5 đơn vị)
(vì biểu thức dưới căn luôn dương nên ta không có điều kiện của

(bước này các em lưu kết quả vào biến để thực hiện phép tính sau không xảy ra sai số nha)
Vậy khoảng thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình radar của máy bay thứ nhất là
giờ phút.
Vậy khoảng thời gian máy bay hai hiện trên radar của máy bay thứ nhất là 4,91 phút.
Điền đáp án: 4,91.