Câu 1 [899367]: Trong không gian 
đường thẳng 
đi qua điểm nào sau đây?
đường thẳng đi qua điểm nào sau đây? A, 
B, 
C, 
D, 
Đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương là 
Chọn C. Đáp án: C
đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là Chọn C. Đáp án: C
Câu 2 [899368]: Trong không gian 
cho ba điểm 
và 
Phương trình nào dưới đây là phương tình chính tắc của đường thẳng đi qua 
và song song với đường thẳng 
cho ba điểm và Phương trình nào dưới đây là phương tình chính tắc của đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Tính 
đường thẳng 
Đường thẳng
qua 
và có vectơ chỉ phương 
có phương trình là: 
Chọn B.
Đáp án: B
đường thẳng Đường thẳng
qua và có vectơ chỉ phương có phương trình là: Chọn B.
Đáp án: B
Câu 3 [53290]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho tam giác 
với 
; 
; 
. Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh 
của tam giác 
nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương?
, cho tam giác với ; ; . Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh của tam giác nhận vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương? A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án D
Gọi
là trung điểm của 
suy ra tọa độ điểm 
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
có vectơ chỉ phương là 
Đáp án: D
Gọi
là trung điểm của suy ra tọa độ điểm Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
có vectơ chỉ phương là Đáp án: D
Câu 4 [53256]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho đường thẳng 
và điểm 
Mặt phẳng 
đi qua điểm 
và vuông góc với đường thẳng 
có phương trình là
cho đường thẳng và điểm Mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Mặt phẳng 
vuông góc với 
mà mặt phẳng 
đi qua điểm 
nên mặt phẳng 
có phương trình là 
Chọn C. Đáp án: C
vuông góc với mà mặt phẳng đi qua điểm nên mặt phẳng có phương trình là Chọn C. Đáp án: C
Câu 5 [55806]: Mặt phẳng song song với hai đường thẳng 
và 
vectơ pháp tuyến là
và vectơ pháp tuyến là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 6 [392150]: Trong không gian toạ độ 
cho điểm 
và đường thẳng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
cho điểm và đường thẳng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau A, a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
là 
là B, b) Đường thẳng 
đi qua điểm 
đi qua điểm C, c) Phương trình đường thẳng qua 
và song song với 
là 
và song song với là D, d) Phương trình mặt phẳng qua 
và vuông góc với 
là 
và vuông góc với là
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai 
Một vectơ pháp tuyến của 
là 
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
là 
là c) Gọi 
là đường thẳng qua 
và song song với 
là đường thẳng qua và song song với Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
là 
là Vậy phương trình đường thẳng 
d) Gọi 
là mặt phẳng qua 
và vuông góc với 
Suy ra mp
nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng 
làm vectơ pháp tuyến
là mặt phẳng qua và vuông góc với Suy ra mp
nhận vectơ chỉ phương của đường thẳng làm vectơ pháp tuyến Một vectơ pháp tuyến của là
Câu 7 [234254]: [Đề thi TH THPT 2022]:Trong không gian 
cho ba điểm 
và 
Đường thẳng đi qua 
và vuông góc với mặt phẳng 
có phương trình là
cho ba điểm và Đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Ta có: 
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là 
Chọn D. Đáp án: D
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là Chọn D. Đáp án: D
Câu 8 [55790]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho đường thẳng 
đi qua góc tọa độ, vuông góc với trục 
và vuông góc với đường thẳng 
Phương trình của 
là
cho đường thẳng đi qua góc tọa độ, vuông góc với trục và vuông góc với đường thẳng Phương trình của là A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 9 [55814]: Cho mặt phẳng 
và đường thẳng 
Phương trình đường thẳng qua 
song song với 
đồng thời vuông góc với 
là
và đường thẳng Phương trình đường thẳng qua song song với đồng thời vuông góc với là A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là đường thẳng cần tìm.
Ta có
Suy ra phương trình đường thẳng
có vectơ chỉ phương và đi qua điểm là
Chọn B. Đáp án: B
là đường thẳng cần tìm.
Ta có
Suy ra phương trình đường thẳng
có vectơ chỉ phương và đi qua điểm là
Chọn B. Đáp án: B
Câu 10 [55800]: Trong không gian tọa độ 
cho đường thẳng 
và 
Viết phương trình mặt phẳng 
chứa 
và song song 
cho đường thẳng và Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 11 [55785]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho đường thẳng 
có phương trình 
Viết phương trình mặt phẳng 
chứa trục 
và song song với đường thẳng 
cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình mặt phẳng chứa trục và song song với đường thẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Từ giả thiết ta có: 
Mặt phẳng
đi qua 
và có vectơ pháp tuyến 
Chọn đáp án C.
Đáp án: C
Mặt phẳng
đi qua và có vectơ pháp tuyến Chọn đáp án C.
Đáp án: C
Câu 12 [1014729]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Cho hai đường thẳng
và 
Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì giá trị 
bằng
Cho hai đường thẳng
và Để hai đường thẳng vuông góc với nhau thì giá trị bằng
HD: Đường thẳng 
có vtcp là 
đường thẳng 
có vtcp là 
Do hai đường thẳng vuông góc nên
có vtcp là đường thẳng có vtcp là Do hai đường thẳng vuông góc nên
Câu 13 [55797]: Trong không gian tọa độ 
cho 
Viết phương trình trung trực 
của đoạn 
biết 
nằm trong mặt phẳng 
cho Viết phương trình trung trực của đoạn biết nằm trong mặt phẳng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 14 [404893]: Trong không gian 
cho tam giác đều 
với 
và đường thẳng 
có phương trình 
Gọi 
là đường thẳng đi qua trọng tâm 
của tam giác 
và vuông góc với 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Một veto chỉ phương của đường thẳng
là 
b) Phương trình mặt phẳng qua trung trực của đoạn thẳng
là 
c) Điểm
d) Điểm
thuộc đường thẳng 
cho tam giác đều với và đường thẳng có phương trình Gọi là đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và vuông góc với Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:a) Một veto chỉ phương của đường thẳng
là b) Phương trình mặt phẳng qua trung trực của đoạn thẳng
là c) Điểm
d) Điểm
thuộc đường thẳng
a) Sai. 
là 1VTCP của 
b) Đúng. Xét
là mặt phẳng đi qua 
và vuông góc 
nên 
qua 
và nhận 
làm 1VTPT
.
c) Sai.
là hình chiếu của 
lên 
thì 
hay tọa độ của 
thỏa mãn hệ phương trình:
.
Lại có
.
d) Đúng. Điểm
.
Đường thẳng
đi qua 
và nhận 
làm VTCP 
.
Vì
nên 
là 1VTCP của b) Đúng. Xét
là mặt phẳng đi qua và vuông góc nên qua và nhận làm 1VTPT. c) Sai.
là hình chiếu của lên thì hay tọa độ của thỏa mãn hệ phương trình: . Lại có
. d) Đúng. Điểm
. Đường thẳng
đi qua và nhận làm VTCP . Vì
nên
Câu 15 [404892]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
vuông góc với 
và 
cắt trục 
trục 
và tia 
lần lượt tại 
Biết rằng thể tích khối tứ diện 
bằng 6. Độ dài đoạn thẳng 
bằng bao nhiêu?
Đáp số: ………………
cho mặt phẳng vuông góc với và cắt trục trục và tia lần lượt tại Biết rằng thể tích khối tứ diện bằng 6. Độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu?Đáp số: ………………
Đường thẳng 
có 1 VTCP là 
.
Vì
có 1 VTPT là 
, khi đó phương trình mặt phẳng 
có dạng: 
.
Ta có
.
Vì
là tứ diện vuông tại 
nên
.
Vậy
có 1 VTCP là . Vì
có 1 VTPT là , khi đó phương trình mặt phẳng có dạng: . Ta có
.Vì
là tứ diện vuông tại nên
. Vậy
Câu 16 [1005558]: Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại cùng một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm 
cách mặt đất 
cách điểm xuất phát 
về phía nam và 
về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm 
cách mặt đất 
cách điểm xuất phát 
về phía bắc và 
về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ 
với gốc 
đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng 
trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục 
hướng về phía nam, trục 
hướng về phía đông và trục 
hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Khi đó:
cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía nam và về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm cách mặt đất cách điểm xuất phát về phía bắc và về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ với gốc đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục hướng về phía nam, trục hướng về phía đông và trục hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Khi đó:
a) Đúng.
Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm
có hoành độ là 8, tung độ là 3 và cao độ là 10.
b) Đúng.
Đường thẳng
đi qua điểm 
và nhận 
làm vectơ chỉ phương có phương trình là 
c) Đúng.
Gọi
là trung điểm 
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận 
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 
Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng ta được 
(đúng).
d) Sai.
Gọi
là điểm đối xứng với 
qua mặt phẳng 
Với mọi điểm
ta có 
Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai flycam là
Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm
có hoành độ là 8, tung độ là 3 và cao độ là 10.
b) Đúng.
Đường thẳng
đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình là
c) Đúng.
Gọi
là trung điểm
Mặt phẳng đi qua điểm
và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
Thay tọa độ điểm
vào phương trình mặt phẳng ta được (đúng).
d) Sai.
Gọi
là điểm đối xứng với qua mặt phẳng
Với mọi điểm
ta có
Vậy tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai flycam là
Câu 17 [1014730]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
(Đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ dài 1 km, mặt đất là mặt phẳng 
). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm 
với vận tốc không đổi 
(km/h) theo hướng về điểm 
. Khi tới 
, máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm 
với vận tốc giữ nguyên là 
(km/h). Máy bay di chuyển theo hướng mới trong 
phút (tức là mới tới điểm 
) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi 
theo phương nằm ngang (tức là nếu 
là vectơ hình chiếu xuống mặt đất của đoạn đường từ điểm 
trở đi thì góc lượng giác 
) và vận tốc giảm còn 
(km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong 30 phút.
(Đơn vị đo trên mỗi trục tọa độ dài 1 km, mặt đất là mặt phẳng ). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm với vận tốc không đổi (km/h) theo hướng về điểm . Khi tới , máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm với vận tốc giữ nguyên là (km/h). Máy bay di chuyển theo hướng mới trong phút (tức là mới tới điểm ) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi theo phương nằm ngang (tức là nếu là vectơ hình chiếu xuống mặt đất của đoạn đường từ điểm trở đi thì góc lượng giác ) và vận tốc giảm còn (km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong 30 phút.
a) Quãng đường 
Thời gian người đó đi từ
đến 
là: 
Tổng thời gian bay thực tế của máy bay trong cả hành trình này là:
Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Ta có
Phương trình tọa độ của máy bay khi đi trên đoạn
là: 
(với 
tính theo giờ từ lúc máy bay đi từ điểm 
Tọa độ điểm
hay 
Vậy khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay đang ở độ cao 275 km.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Tổng quãng đường cả hành trình là:
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Gợi ý: Vì gió chỉ chuyển hướng bay (tọa độ
của vectơ vận tốc) của máy bay nhưng không thay đổi tọa độ 
của vectơ vận tốc.
Ta có
là hình chiếu của 
lên 
Mà
Dựa vào hình ảnh được đề cung cấp ta suy ra
Ta có:
(dựa vào hình vẽ của đề) 
Phương trình tọa độ của máy bay khi đi trên đoạn
là: 
Tọa độ điểm
hay 
Suy ra mệnh đề d) sai.
Thời gian người đó đi từ
đến là:
Tổng thời gian bay thực tế của máy bay trong cả hành trình này là:
Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Ta có
Phương trình tọa độ của máy bay khi đi trên đoạn
là: (với tính theo giờ từ lúc máy bay đi từ điểm
Tọa độ điểm
hay
Vậy khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay đang ở độ cao 275 km.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Tổng quãng đường cả hành trình là:
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Gợi ý: Vì gió chỉ chuyển hướng bay (tọa độ
của vectơ vận tốc) của máy bay nhưng không thay đổi tọa độ của vectơ vận tốc.
Ta có
là hình chiếu của lên
Mà
Dựa vào hình ảnh được đề cung cấp ta suy ra
Ta có:
(dựa vào hình vẽ của đề)
Phương trình tọa độ của máy bay khi đi trên đoạn
là:
Tọa độ điểm
hay
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 18 [1023980]: Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ toạ độ 
có 
lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục 
và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 
mét. Cho hai điểm 
và 
, trong đó điểm 
có toạ độ là 
Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian 
(giây) theo công thức 
(m/giây), trong đó 
là hằng số dương và 
Ở thời điểm ban đầu 
vật đi qua 
với tốc độ 
m/giây và hướng tới 
Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 
m. Gọi 
là vectơ cùng hướng với vectơ 
Biết rằng 
và góc giữa vectơ 
lần lượt với các vectơ 
có dố đo tương ứng bằng 
có lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng mét. Cho hai điểm và , trong đó điểm có toạ độ là Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian (giây) theo công thức (m/giây), trong đó là hằng số dương và Ở thời điểm ban đầu vật đi qua với tốc độ m/giây và hướng tới Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường m. Gọi là vectơ cùng hướng với vectơ Biết rằng và góc giữa vectơ lần lượt với các vectơ có dố đo tương ứng bằng
a) Ta có 
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có
Phương trình đường thẳng
có 
đi qua điểm 
là: 
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Gợi ý: Quãng đường vật đi được sau
giây kể từ thời điểm bắt đầu là: 
Vì sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được 608m, ta có:
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Viết lại phương trình đường thẳng
dưới dạng tham số 
Quãng đường vật đi được sau 5 giây là:
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có
Phương trình đường thẳng
có đi qua điểm là:
Suy ra mệnh đề b) sai.
c) Gợi ý: Quãng đường vật đi được sau
giây kể từ thời điểm bắt đầu là:
Vì sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được 608m, ta có:
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Viết lại phương trình đường thẳng
dưới dạng tham số
Quãng đường vật đi được sau 5 giây là:
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 19 [879734]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho mặt phẳng 
và đường thẳng 
Gọi 
là mặt phẳng chứa đường thẳng 
và vuông góc với mặt phẳng 
a) Viết phương trình mặt phẳng
b) Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
và 
cho mặt phẳng và đường thẳng Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng a) Viết phương trình mặt phẳng
b) Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
và
a) Ta có 
Phương trình mặt phẳng 
có 
và đi qua điểm 
là 
Vậy phương trình mặt phẳng
b) Gọi
là giao tuyến của hai mặt phẳng 
và 
Ta có
Phương trình đường thẳng 
có 
và đi qua điểm 
là 
Phương trình mặt phẳng có và đi qua điểm là
Vậy phương trình mặt phẳng
b) Gọi
là giao tuyến của hai mặt phẳng và
Ta có
Phương trình đường thẳng có và đi qua điểm là
Câu 20 [879737]: Trong không gian với hệ trục toạ độ 
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), mặt phẳng 
là mặt đất, chiều dương của trục Oz hướng lên trời, một khinh khí cầu bắt đầu chuyến bay từ điểm 
nó bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi và sau một giờ đến điểm 
Tại thời điểm khinh khí cầu bắt đầu bay, một máy bay cỡ nhỏ ở điểm 
bắt đầu bay theo đường thẳng d có phương trình 
trong đó 
được tính bằng giờ.
a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Tìm toạ độ giao điểm
của hai đường thẳng 
và 
d) Khi máy bay bay đến điểm
thì máy bay và khinh khí cầu cách nhau bao nhiêu km?
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), mặt phẳng là mặt đất, chiều dương của trục Oz hướng lên trời, một khinh khí cầu bắt đầu chuyến bay từ điểm nó bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi và sau một giờ đến điểm Tại thời điểm khinh khí cầu bắt đầu bay, một máy bay cỡ nhỏ ở điểm bắt đầu bay theo đường thẳng d có phương trình trong đó được tính bằng giờ.a) Tính độ dài đoạn thẳng
b) Viết phương trình đường thẳng
c) Tìm toạ độ giao điểm
của hai đường thẳng và d) Khi máy bay bay đến điểm
thì máy bay và khinh khí cầu cách nhau bao nhiêu km?
a) Gợi ý: Với 
độ dài đoạn thẳng 
Độ dài đoạn thẳng
b)
Phương trình đường thẳng
có 
và đi qua điểm 
là
trong đó 
được tính bằng giờ.
c) Vì
và 
Tọa độ giao điểm
d) Khi máy bay bay đến điểm
thì khinh khí cầu đang ở điểm 
sau 
giờ kể từ lúc xuất phát 
Khi đó kinh khí cầu và máy bay cách nhau: 
độ dài đoạn thẳng Độ dài đoạn thẳng
b)
Phương trình đường thẳng
có và đi qua điểm là trong đó được tính bằng giờ.c) Vì
và Tọa độ giao điểm
d) Khi máy bay bay đến điểm
thì khinh khí cầu đang ở điểm sau giờ kể từ lúc xuất phát Khi đó kinh khí cầu và máy bay cách nhau:
Câu 21 [202973]: Một tháp phát sóng cao 
đặt ở góc 
của sân hình chữ nhật 
Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp 
và 
(từ 
và 
) với vận tốc lần lượt là 
m/phút và 
m/phút (xem hình vẽ). Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
đặt ở góc của sân hình chữ nhật Để giữ cho tháp không bị đổ, người ta có cột rất nhiều dây cáp quanh tháp và cố định tại các vị trí trên mặt đất. Hai chú kiến vàng và kiến đen bắt đầu leo lên hai dây cáp và (từ và ) với vận tốc lần lượt là m/phút và m/phút (xem hình vẽ). Hỏi sau 10 phút thì hai chú kiến cách nhau bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 6,15 m.
* Đặt gốc toạ độ tại
trục 
chứa cạnh 
trục 
chứa cạnh 
và trục 
chứa cạnh 
- Toạ độ các điểm là:
* Tính chiều dài của dây cáp
và 
:
- Dây cáp
:
- Dây cáp
: 
* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây
* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp
và 
sau 10 phút:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây
: 
- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây
: 
- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:
* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:
Thay các giá trị vào:
Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng
(làm tròn đến hàng phần trăm).
* Đặt gốc toạ độ tại
trục chứa cạnh trục chứa cạnh và trục chứa cạnh
- Toạ độ các điểm là:
* Tính chiều dài của dây cáp
và :
- Dây cáp
:
- Dây cáp
:
* Tính quãng đường hai chú kiến leo lên sau 10 phút:
- Quãng đường chú kiến vàng leo lên dây
- Quãng đường chú kiến đen leo lên dây
* Xác định vị trí của hai chú kiến trên các dây cáp
và sau 10 phút:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến vàng trên dây
:
- Tọa độ của chú kiến vàng sau 10 phút là:
- Tỉ lệ vị trí của chú kiến đen trên dây
:
- Tọa độ của chú kiến đen sau 10 phút là:
* Tính khoảng cách giữa hai chú kiến Khoảng cách giữa hai chú kiến là:
Thay các giá trị vào:
Vậy sau 10 phút, khoảng cách giữa hai chú kiến là khoảng
(làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 22 [878361]: Trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị đo lấy theo kilômét, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay thứ nhất ở tọa độ 
, bay theo hướng vectơ 
với tốc độ không đổi 
và máy bay thứ hai ở tọa độ 
, bay theo hướng 
với tốc độ không đổi 
. Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng 
). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
, bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi và máy bay thứ hai ở tọa độ , bay theo hướng với tốc độ không đổi . Biết rằng khoảng cách an toàn tối thiểu giữa hai máy bay là 5 hải lý (khoảng ). Nếu hai máy bay tiếp tục duy trì hướng và tốc độ bay như trên thì sau ít nhất bao nhiêu phút (kể từ thời điểm theo dõi ban đầu), hai máy bay vi phạm khoảng cách an toàn (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Phương pháp:
Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.
Cách giải:
Đặt
là điểm di chuyển của máy bay thứ nhất
Gọi
(giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toàn
Ta có khoảng cách so với điểm ban đầu là
Tương tự ta đặt điểm
là điểm di chuyển của máy bay thứ hai
Khi đó
suy ra
Vì khoảng cách tối thiểu để hai máy bay an toàn là 9,3 nên
(phút)
Vậy sau ít nhất 8,43 giây thì vi phạm khoảng cách an toàn.
Tìm tọa độ hai máy bay sau t giờ sau đó lập phương trình khoảng cách tối thiểu.
Cách giải:
Đặt
là điểm di chuyển của máy bay thứ nhấtGọi
(giờ) là thời điểm mà hai máy bay bay sau t giờ vi phạm khoảng cách an toànTa có khoảng cách so với điểm ban đầu là
Tương tự ta đặt điểm
là điểm di chuyển của máy bay thứ haiKhi đó
suy ra
Vì khoảng cách tối thiểu để hai máy bay an toàn là 9,3 nên
(phút)Vậy sau ít nhất 8,43 giây thì vi phạm khoảng cách an toàn.
Câu 23 [1004659]: Trong một trung tâm nghiên cứu robot bay, người ta bố trí một thiết bị định vị tại điểm cố định 
trong không gian ba chiều với hệ tọa độ 
(các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng 
, cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng 
. Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng 
, C nằm trên mặt phẳng 
và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ phương 
, hãy tính giá trị 
.
trong không gian ba chiều với hệ tọa độ (các đơn vị tọa độ được tính bằng mét). Thiết bị này giao tiếp đồng thời với hai cảm biến: Cảm biến thứ nhất di chuyển dọc theo đường thẳng , cảm biến thứ hai được gắn trên mặt phẳng . Giữa hai cảm biến được kết nối bằng một đường truyền BC, trong đó B nằm trên đường thẳng , C nằm trên mặt phẳng và thiết bị định vị tại A là trung điểm của đoạn BC. Biết rằng đường thẳng BC có một véctơ chỉ phương , hãy tính giá trị .
Đáp số: -1,5
Ta có:
mà 
là trung điểm BC, suy ra 
.
Lại có
, thay vào phương trình mặt phẳng 
, được:
Vậy
.
Ta có:
mà là trung điểm BC, suy ra .
Lại có
, thay vào phương trình mặt phẳng , được:
Vậy
.
Câu 24 [1001312]: Một khối thép không rỉ có dạng một hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông. Độ dài cạnh của đáy lớn là 8 cm, độ dài cạnh đáy nhỏ là 4 cm và chiều cao của khối là 8 cm. Một tia laser được chiếu theo đường thẳng 
với 
và 
chiếu xuyên qua khối thép. Gốc tọa độ nằm tại tâm của đáy lớn, trung điểm của 
nằm trên 
và trung điểm 
nằm trên 
Chiều dài lỗ khoan là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục).
với và chiếu xuyên qua khối thép. Gốc tọa độ nằm tại tâm của đáy lớn, trung điểm của nằm trên và trung điểm nằm trên Chiều dài lỗ khoan là bao nhiêu centimét (làm tròn đến hàng phần chục).
Điền đáp án: 7,2.
Ta có
, nên phương trình tham số 
Ta có :
.
Phương trình mặt phẳng
.
Tương tự, ta có phương trình
: 
.
Đường thẳng
cắt hai mặt bên tại 
và 
.
Độ dài đoạn
.
Ta có
, nên phương trình tham số Ta có :
.Phương trình mặt phẳng
.Tương tự, ta có phương trình
: .Đường thẳng
cắt hai mặt bên tại và .Độ dài đoạn
.
Câu 25 [931527]: Trong không gian với hệ tọa độ
, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ 
và bay theo hướng vectơ 
với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ 
và bay theo hướng vectơ 
với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 10 km, trạm kiểm soát không lưu đang theo dõi hai máy bay. Máy bay thứ nhất ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 750 km/h. Máy bay thứ hai ban đầu ở tọa độ và bay theo hướng vectơ với tốc độ không đổi là 900 km/h. Trên máy bay thứ nhất có gắn radar tránh va chạm với bán kính hoạt động 50 km. Hỏi thời gian máy bay thứ hai xuất hiện trên màn hình của radar máy bay thứ nhất là bao nhiêu phút ( làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Trả lời: 4,66
Phương trình tham số của đường bay của máy bay thứ nhất là
.
Phương trình tham số của đường bay của máy bay thứ hai là
.
Gọi
là thời gian (theo phút) 2 máy bay cách nhau 50km. Khi đó máy bay thứ nhất đi được quãng đường là 
đơn vị , máy bay thứ hai đi được quãng đường là 
đơn vị ( đã quy đổi theo đơn vị của hệ trục tọa độ)
Máy bay thứ nhất đi từ điểm
đến điểm 
Ta có
nên hoành độ 
nên tung độ 
Máy bay thứ nhất đi từ điểm
đến điểm 
Tương tự như thế ta có
Máy bay thứ hai đi từ điểm
đến điểm 
Khoảng cách
là 
Vì 2 máy bay cách nhau 50 km ( hay 5 đơn vị) thì hiện lên radar nên ta có
Vậy khoảng thời gian máy bay hai hiện trên radar của máy bay thứ nhất là 4,66 phút
Phương trình tham số của đường bay của máy bay thứ nhất là
.
Phương trình tham số của đường bay của máy bay thứ hai là
.
Gọi
là thời gian (theo phút) 2 máy bay cách nhau 50km. Khi đó máy bay thứ nhất đi được quãng đường là đơn vị , máy bay thứ hai đi được quãng đường là đơn vị ( đã quy đổi theo đơn vị của hệ trục tọa độ)
Máy bay thứ nhất đi từ điểm
đến điểm
Ta có
nên hoành độ
nên tung độ
Máy bay thứ nhất đi từ điểm
đến điểm
Tương tự như thế ta có
Máy bay thứ hai đi từ điểm
đến điểm
Khoảng cách
là
Vì 2 máy bay cách nhau 50 km ( hay 5 đơn vị) thì hiện lên radar nên ta có
Vậy khoảng thời gian máy bay hai hiện trên radar của máy bay thứ nhất là 4,66 phút