Quay lại
Đáp án
Vấn đề 1: Tính khoảng cách trong không gian
Câu 1 [899531]: Trong không gian tọa độ cho các điểm Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là
hay
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng là . Chọn D. Đáp án: D
Câu 2 [899536]: Trong không gian cho hai mặt phẳng song song và lần lượt có phương trình và Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng
A,
B,
C,
D,
Xét 2 mặt phẳng và ta có: nên .
Do đó: với là điểm bất kì thuộc .
Chọn Chọn D. Đáp án: D
Vấn đề 2: Tính góc trong không gian
Câu 3 [899513]: Trong không gian tọa độ cho hai mặt phẳng và Góc giữa hai mặt phẳng và là
A,
B,
C,
D,
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Khi đó:

Chọn B. Đáp án: B
Câu 4 [871492]: Trong không gian cho 2 đường thẳng và Góc giữa và là
A,
B,
C,
D,
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là

Suy ra Chọn B. Đáp án: B
Vấn đề 3: Ứng dụng
Câu 5 [1014743]: Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng (Hình vẽ).

a) Viết phương trình đường thẳng
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường thẳng bay và mặt phẳng nằm ngang ) có nằm trong phạm vi cho phép từ đến hay không?
c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm Tìm tọa độ của điểm là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.
d) Tìm tọa độ của điểm trên đoạn thẳng là vị trí mà máy bay ở độ cao
e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e Cengage, 2014).

a) Đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ làm vectơ chỉ phương, có phương trình tham số là:
( là tham số).
b) Mặt phẳng nằm ngang có vectơ pháp tuyến là
Ta có
Suy ra
Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.
c) Ta có:
Xét
Khi đó là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng hay chính là mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng là:

Vì là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh nên là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Vì nên gọi tọa độ điểm
Lại có nên ta có:
Vậy
d) Vì nên gọi tọa độ điểm là
là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m, tức là khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng 120 m tức là bằng km.
Ta có
Khi đó,
Với ta có
Với ta có
e) Ta có: km.
Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.
Câu 6 [202971]: Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau người ta thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Gọi điểm cách nhau trên mặt nước là
Vị trí thả rọi xuống đáy bể lần lượt là sao cho

Chọn gốc toạ độ tại trung điểm
Khi đó,
Ta có:
Mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.
Ta có:
Mặt phẳng đáy bể là mp nên có vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng ngang (mặt nước) là mp có vectơ pháp tuyến là
Nên góc giữa hai mặt phẳng đáy bể và mặt phẳng ngang là:

Suy ra
Vậy đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc khoảng độ.
Cách khác:
Xét đều cạnh

Ta có:


Xét có đường cao từ đỉnh là


Ta có: