Câu 1 [899530]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
và điểm 
Khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
bằng
cho mặt phẳng và điểm Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️Lời giải chi tiết: Áp dụng công thức ta có
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️Lời giải chi tiết: Áp dụng công thức ta có
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: C Đáp án: C
Câu 2 [360649]: Khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
là
đến mặt phẳng là A, 
B, 
C, 
D, 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đã cho có dạng
với VTPT 
.
Giả sử điểm
có tọa độ 
.
Khoảng cách từ
đến mặt phẳng là:
.
.
.
🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
💡 Phương pháp: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng đã cho có dạng
với VTPT .Giả sử điểm
có tọa độ .Khoảng cách từ
đến mặt phẳng là:...🔑 Chọn đáp án: B. Đáp án: B
Câu 3 [1014737]: Trong không gian 
cho hai mặt phẳng 
và 
Khoảng cách từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng 
bằng [[20624087]]
Góc giữa hai mặt phẳng
và 
là [[20624085]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
cho hai mặt phẳng và Khoảng cách từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng bằng [[20624087]] Góc giữa hai mặt phẳng
và là [[20624085]] Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Các vtpt của hai mặt phẳng là: 
Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng 
:
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng 
và 
Ta có
Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng :
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng và
Ta có
Câu 4 [322584]: Trong không gian 
khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
và 
bằng
khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án B.
Ta có:
Đáp án: B
Ta có:
Đáp án: B
Câu 5 [408111]: Góc quan sát ngang của một camera là 130°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm 
và chiếu thẳng về phía mặt phẳng
. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
và chiếu thẳng về phía mặt phẳng. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn B.
Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (P) là
Khoảng cách từ điểm C tới mặt phẳng (P) là
Vùng quan sát là diện tích hình tròn tâm H bán kính HA và vùng quan sát có diện tích
.
Đáp án: B .
Câu 6 [57274]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho đường thẳng 
và mặt phẳng 
Góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
có số đo là
cho đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo là A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Gọi
là góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
Ta có 
và 
Khi đó
Đáp án: C
Gọi
là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Ta có và Khi đó
Đáp án: C
Câu 7 [1014738]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho bốn điểm 
và 
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
bằng [[20624102]]
Góc giữa hai cạnh
và 
có số đo là [[20624105]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
cho bốn điểm và Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng bằng [[20624102]] Góc giữa hai cạnh
và có số đo là [[20624105]] Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Phương trình đoạn chắn 
với 
là: 
Góc giữa hai đường thẳng
có vectơ chỉ phương 
là: 
Ta có phương trình đoạn chắn
với 
là: 
Ta có
Ta có
Lần lượt kéo thả các đáp án:
và 
với là: Góc giữa hai đường thẳng
có vectơ chỉ phương là: Ta có phương trình đoạn chắn
với là: Ta có
Ta có
Lần lượt kéo thả các đáp án:
và
Câu 8 [392349]: Trong không gian toạ độ 
, cho 2 điểm 
và 
Gọi 
là mặt phẳng qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
, cho 2 điểm và Gọi là mặt phẳng qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian.
Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho.
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dựa vào điều kiện vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để lập phương trình mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.
Độ dài đoạn thẳng
bằng 
mệnh đề a) đúng.
Phương trình đường thẳng
là 
.
Cộng
vào hai vế ta được 
mệnh đề b) đúng.
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
là 
mệnh đề c) sai.
Ta có
và 
.
Suy ra
.
Mặt phẳng
qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
có phương trình 
.
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
là 
mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
💡 Phương pháp:
Áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian.
Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đã cho.
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dựa vào điều kiện vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để lập phương trình mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
.Độ dài đoạn thẳng
bằng mệnh đề a) đúng.Phương trình đường thẳng
là .Cộng
vào hai vế ta được mệnh đề b) đúng.Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng là mệnh đề c) sai.Ta có
và .Suy ra
.Mặt phẳng
qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng có phương trình .Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng là mệnh đề d) đúng.🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
Câu 9 [405667]: Trong không gian tọa độ 
cho hai mặt phẳng 
và 
cho hai mặt phẳng và
a) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
b) Đúng.
Khoảng cách từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng 
là 
c) Đúng.
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và 
lần lượt là 
Khi đó:
d) Đúng.
Gọi đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng 
và 
Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và 
lần lượt là 
Suy ra
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là b) Đúng.
Khoảng cách từ gốc toạ độ
đến mặt phẳng là c) Đúng.
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và lần lượt là Khi đó:
d) Đúng.
Gọi đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng và Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
và lần lượt là Suy ra
Câu 10 [392345]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho hình chóp 
có đáy là hình chữ nhật và các điểm 
. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và các điểm . Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
a)
là hình bình hành 
b) Phương trình đường thẳng
là 
hay 
c) Phương trình mặt phẳng
là 
hay 
d) Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
là
a)
là hình bình hành
b) Phương trình đường thẳng
là hay c) Phương trình mặt phẳng
là hay d) Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng là
Câu 11 [392346]: Trong không gian toạ độ 
cho hai mặt phẳng 
và 
cho hai mặt phẳng và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và tính chất mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng song song.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Mặt phẳng
đi qua điểm 
nên khẳng định là đúng.
b) Đúng.
Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng 
là
.
c) Sai.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và 
là
.
Do đó khẳng định trong ý c) là sai.
d) Đúng.
Gọi
.
Lấy
và 
.
Khoảng cách từ
đến 
là
.
Khoảng cách từ
đến 
là
.
Do
cách đều hai mặt phẳng 
và 
nên
.
.
Suy ra
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng
💡 Phương pháp:
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và tính chất mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng song song.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Mặt phẳng
đi qua điểm nên khẳng định là đúng.b) Đúng.
Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng là.c) Sai.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng
và là.Do đó khẳng định trong ý c) là sai.
d) Đúng.
Gọi
.Lấy
và .Khoảng cách từ
đến là.Khoảng cách từ
đến là.Do
cách đều hai mặt phẳng và nên..Suy ra
.🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng
Câu 12 [202965]: Trong không gian với hệ toạ độ 
một cabin cáp treo xuất phát từ điểm 
và chuyển động đều theo cáp có vectơ chỉ phương là 
với tốc độ là 
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các mệnh đề sau đúng hay sai
một cabin cáp treo xuất phát từ điểm và chuyển động đều theo cáp có vectơ chỉ phương là với tốc độ là (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các mệnh đề sau đúng hay sai
a. Sai. 
Phương trình chính tắc của đường cáp là:
b. Sai.
Do tốc độ chuyển động của cabin là 
nên độ dài 
bằng 
(m).
nên độ dài bằng (m). Vì vậy 
Do hai vectơ 
và 
là cùng phương và cùng hướng nên 
với 
là số thực dương nào đó.
và là cùng phương và cùng hướng nên với là số thực dương nào đó. Suy ra 
Do đó 
Suy ra 
Vì thế, ta có: 
Suy ra Vì thế, ta có: Gọi toạ độ của điểm 
là 
là Do 
Nên 
Vậy điểm 
có toạ độ là 
có toạ độ là c. Đúng.
Do 
nên 
nên Do đó, ta có điểm 
Vậy 
d. Đúng.
Đường thẳng 
có vectơ chỉ phương 
và mặt phẳng 
có vectơ pháp tuyến 
có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Do đó, ta có:
Vậy 
Câu 13 [405676]: Trong không gian với hệ tọa độ
cho mặt phẳng 
và đường thẳng 
cho mặt phẳng và đường thẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Dựa vào công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như điều kiện hình học của mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho trước để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mệnh đề a) ta thấy mệnh đề đã cho là đúng.
Xét mệnh đề b).
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng 
là
.
Giá trị này khác kết luận đã cho nên mệnh đề b) sai.
Xét mệnh đề c).
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương 
, mặt phẳng 
có vectơ pháp tuyến 
.
Gọi
là góc giữa 
và 
, ta có
.
.
Do đó mệnh đề c) sai.
Xét mệnh đề d).
Vì mặt phẳng
chứa 
và vuông góc với 
nên 
nhận hai vectơ chỉ phương là 
và 
.
Suy ra một vectơ pháp tuyến của
là
.
Mặt phẳng
đi qua 
nên có phương trình
.
Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng 
là
.
Mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng
💡 Phương pháp:
Dựa vào công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như điều kiện hình học của mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng cho trước để xét tính đúng sai của từng mệnh đề.
✒️ Lời giải chi tiết:
Xét mệnh đề a) ta thấy mệnh đề đã cho là đúng.
Xét mệnh đề b).
Khoảng cách từ điểm
đến mặt phẳng là.Giá trị này khác kết luận đã cho nên mệnh đề b) sai.
Xét mệnh đề c).
Đường thẳng
có vectơ chỉ phương , mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .Gọi
là góc giữa và , ta có..Do đó mệnh đề c) sai.
Xét mệnh đề d).
Vì mặt phẳng
chứa và vuông góc với nên nhận hai vectơ chỉ phương là và .Suy ra một vectơ pháp tuyến của
là.Mặt phẳng
đi qua nên có phương trình.Khoảng cách từ gốc tọa độ
đến mặt phẳng là.Mệnh đề d) đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng
Câu 14 [163892]: Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm 
(gốc cây thông) và 
(nơi buộc dây neo) có toạ độ tương ứng là 
đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm 
và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
(gốc cây thông) và (nơi buộc dây neo) có toạ độ tương ứng là đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Các mệnh đề sau đúng hay sai.
a) Đúng.
Do điểm
nên 
b) Đúng.
Ta có:
nên 
Vì thế, vectơ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Mặt khác, do
nên ta có:
c) Sai.
suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo
và mặt phẳng sườn núi là khoảng 
d) Sai.
suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo
và mặt phẳng sườn núi là khoảng 
Do điểm
nên
b) Đúng.
Ta có:
nên
Vì thế, vectơ
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt khác, do
nên ta có:
c) Sai.
suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo
và mặt phẳng sườn núi là khoảng
d) Sai.
suy ra
Vậy góc tạo bởi dây neo
và mặt phẳng sườn núi là khoảng
Câu 15 [405663]: Cho hình chóp đều 
có đáy 
là hình vuông cạnh bằng 
Gọi 
là tâm của đáy và 
Điểm 
là trọng tâm tam giác 
Bằng cách gắn hệ trục toạ độ 
như hình vẽ. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
có đáy là hình vuông cạnh bằng Gọi là tâm của đáy và Điểm là trọng tâm tam giác Bằng cách gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng
a, Dựa vào hình vẽ dễ thấy 
; 
; 
; ; Vì 
là trọng tâm tam giác 
nên toạ độ điểm 
là 
Vậy 
là trọng tâm tam giác nên toạ độ điểm là Vậy b, Ta có: 
; 
.
; . Suy ra 
Phương trình đường thẳng 
có vecto chỉ phương 
và đi qua điểm 
là
có vecto chỉ phương và đi qua điểm là c, Ta có: 
; 
; Suy ra 
; 
; Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
có toạ độ là 
có toạ độ là Hay mặt phẳng 
có vectơ pháp tuyến là 
có vectơ pháp tuyến là Vậy mặt phẳng 
đi qua 
và có vecto pháp tuyến 
có phương trình là
đi qua và có vecto pháp tuyến có phương trình là d) Khoảng cách từ điểm 
đến mặt phẳng 
là 
đến mặt phẳng là
Câu 16 [163891]: Trong không gian với hệ trục toạ độ 
cho hình lăng trụ đứng 
với 
Các mệnh đề sau đúng hay sai
cho hình lăng trụ đứng với Các mệnh đề sau đúng hay sai
a) Sai.
Ta có:
Suy ra
tức là
b) Sai.
Ta có: mặt phẳng
có cặp vtcp là 
và 
Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
c) Đúng.
Vì
nên mặt phẳng 
có phương trình là
d) Đúng.
Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là 
Do
nên 
suy ra vectơ 
cùng phương với vectơ 
Vì thế vectơ
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Suy ra
của góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng: 
Ta có:
Suy ra
tức là
b) Sai.
Ta có: mặt phẳng
có cặp vtcp là và
Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
c) Đúng.
Vì
nên mặt phẳng có phương trình là
d) Đúng.
Mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là
Do
nên suy ra vectơ cùng phương với vectơ
Vì thế vectơ
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Suy ra
của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng:
Câu 17 [163883]: Trong không gian 
, cho mặt phẳng 
có phương trình 
Xét mặt phẳng 
với 
là tham số thực. Gọi 
là tập hợp tất cả giá trị của 
để 
tạo với 
góc 
Tổng các phần tử của 
bằng bao nhiêu?
, cho mặt phẳng có phương trình Xét mặt phẳng với là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả giá trị của để tạo với góc Tổng các phần tử của bằng bao nhiêu?
Mặt phẳng 
, 
có vectơ pháp tuyến lần lượt là 
, 
, có vectơ pháp tuyến lần lượt là , Vì 
tạo với 
góc 
nên
tạo với góc nên
Vậy nên tổng các phần tử của 
bằng 
bằng
Câu 18 [899529]: Cho đường thẳng 
và mặt phẳng 
Gọi 
là góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
Gọi 
là tập hợp các giá trị của 
sao cho 
Tổng các phần tử của tập hợp 
bằng bao nhiêu?
và mặt phẳng Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Gọi là tập hợp các giá trị của sao cho Tổng các phần tử của tập hợp bằng bao nhiêu?
Ta có 
Câu 19 [202966]: Trong không gian với hệ toạ độ 
cho hình chóp 
có các đỉnh lần lượt là 
với 
(Hình vẽ). Góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng 
bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
cho hình chóp có các đỉnh lần lượt là với (Hình vẽ). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).
Để đơn giản hoá bài toán ta chọn 
Khi đó 
Lại có: 
nên một VTPT của mặt 
là 
Suy ra 
Khi đó Lại có: nên một VTPT của mặt là Suy ra
Câu 20 [786827]: Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 
Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, với 
thuộc tia 
thuộc tia 
tia 
cùng hướng với vectơ 
gốc toạ độ 
trùng với trung điểm của 
và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 mét (xem hình vẽ) . Hỏi mái nhà tạo với mặt sàn một góc bao nhiêu độ (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ, với thuộc tia thuộc tia tia cùng hướng với vectơ gốc toạ độ trùng với trung điểm của và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 mét (xem hình vẽ) . Hỏi mái nhà tạo với mặt sàn một góc bao nhiêu độ (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của độ).
Điền đáp án: 14.
Ta có:
.
Suy ra
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
Suy ra phương trình mặt phẳng
là: 
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
Khi đó:
Vậy độ dốc của mái khoảng
Ta có:
.Suy ra
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là Suy ra phương trình mặt phẳng
là: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là Khi đó:
Vậy độ dốc của mái khoảng