Quay lại
Đáp án
Câu 1 [57293]: Trong không gian , khoảng cách từ điểm đến là
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: D
Câu 2 [1014739]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng và điểm
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng [[20624121]]
Cosin góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng [[20624120]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
Góc giữa hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Ta có khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Ta có
Lần lượt kéo thả các đáp án: 2 và
Câu 3 [57135]: Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng có phương trình là . Tính góc giữa và mặt phẳng
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án C.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Gọi là góc hợp bởi mặt phẳng và mặt phảng
Ta có
Vậy góc hợp bời mặt phẳng mặt phả̉ng là Đáp án: C
Câu 4 [57147]: Trong không gian với hệ trục tọa độ khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp: So sánh các tỉ số hệ số tương ứng để kết luận hai mặt phẳng song song, sau đó dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có .
Chọn .
Vì .
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
.
🔑 Điền đáp án: 2
Câu 5 [57131]: Trong không gian với hệ tọa độ số đo của góc tạo bởi hai mặt phẳng và là bao nhiêu độ
1.png
Câu 6 [57256]: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng và Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng và
A,
B,
C,
D,
HD: Gọi là góc giữa hai đường thẳng
Ta có và
Khi đó Chọn C. Đáp án: C
Câu 7 [1014740]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng
Khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng bằng [[20624130]]
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là [[20624131]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
Góc giữa đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là:
Ta có và
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng bằng:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
Lần lượt kéo thả các đáp án 1 và
Câu 8 [57279]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng bao nhiêu độ?
Screenshot_1.png
Câu 9 [398642]: Trong không gian , cho các điểm và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A, .
B, .
C, .
D, .
Ta có Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng là : Khoảng cách từ đến mặt phẳng là . Đáp án: C
Câu 10 [405671]: Trong không gian tọa độ cho hai mặt phẳng và
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
✒️Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
b) Sai.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
c) Đúng.
Các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Khi đó:
d) Đúng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và lần lượt là
Suy ra một vectơ chỉ phương của là
🔑 Đáp án: Sai - Sai - Đúng - Đúng.
Câu 11 [392347]: Trong không gian toạ độ cho ba điểm và Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng tích vô hướng để xét vuông góc.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.
Dùng trung điểm và vectơ pháp tuyến để lập phương trình mặt phẳng trung trực.
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng qua tích có hướng rồi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Ta có và .
.
hai vectơ không vuông góc nên nhận định a) là đúng.
b) Phương trình đường thẳng là .
.
Chia cả tử và mẫu cho ta được .
Cách viết ban đầu là không chính xác theo yêu cầu nên nhận định b) là sai.
c) Gọi là trung điểm của ta có .
Ta có .
Gọi là mặt phẳng trung trực của thì đi qua và nhận làm vectơ pháp tuyến.
phương trình là .
.
Khoảng cách từ đến là .
nhận định c) là đúng.
d) Ta có và .
.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Phương trình mặt phẳng là .
.
Khoảng cách từ đến là .
nhận định d) là đúng.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng.
Câu 12 [405668]: Trong không gian cho hai đường thẳng và Các mệnh đề sau đúng hay sai
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng từ phương trình hoặc dữ kiện đã cho.
Sử dụng tích vô hướng để tính góc giữa hai đường thẳng theo công thức .
Mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với đường thẳng khác có hai vectơ chỉ phương tương ứng.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng được xác định bằng tích có hướng của hai vectơ chỉ phương.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dùng công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
b) Sai.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
c) Sai.
Vectơ chỉ phương của là .
Vectơ chỉ phương của là .
.
.
Góc giữa hai đường thẳng và là .
d) Sai.
Mặt phẳng chứa và song song với nên có hai vectơ chỉ phương là và .
Suy ra một vectơ pháp tuyến của là .
Mặt phẳng đi qua có phương trình
.
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến là
.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai
Câu 13 [405662]: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh điểm là trung điểm của cạnh và Bằng cách gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a20.png
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
a, Dựa vào hình vẽ dễ thấy toạ độ điểm là
b, Ta có: ; ;
Suy ra toạ độ trọng tâm của tam giác là

Vậy
c, Ta có: ; ; ;
Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng có toạ độ là
Hay mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là
d, Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
Câu 14 [871489]: Cho hai đường thẳng và Tìm giá trị của sao cho góc giữa hai đường thẳng và bằng
Điền đáp án: -1.
Ta có:
Do
Câu 15 [405665]: Trong không gian toạ độ gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi điền đáp án, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
💡 Phương pháp:
Mặt phẳng chứa đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng nên vectơ pháp tuyến của là tích có hướng của vectơ chỉ phương của và vectơ pháp tuyến của .
Sau đó lập phương trình mặt phẳng và áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
✒️ Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Mặt phẳng chứa và vuông góc với nên có vectơ pháp tuyến
.
Chọn vectơ pháp tuyến rút gọn của là .
Mặt phẳng đi qua nên có phương trình
.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
.
🔑 Điền đáp án: 4
Câu 16 [1014744]: Một UAV đang bay trên vùng đồi núi. Mặt đất tại khu vực này được mô tả bởi mặt phẳng địa hình có phương trình: Một trạm thu tín hiệu đặt tại điểm nằm trên mặt phẳng đó và có ăng-ten định hướng theo vectơ Tại một thời điểm ( tính theo phút), một UAV đang ở vị trí có toạ độ
a) Tính khoảng cách từ UAV đến mặt đất
b) Tính góc giữa tia truyền tín hiệu và hướng quay của ăng-ten (vectơ ) theo
c) Tìm thời điểm góc giữa tia truyền tín hiệu và hướng quay của ăng-ten (vectơ ) là nhỏ nhất.
a) Gợi ý: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là
Khoảng cách từ UAV đến mặt đất là
b) Ta có
c) Gợi ý: Góc giữa và nhỏ nhất khi lớn nhất.
Ta có
Dấu "=" xảy ra khi
Vậy thời điểm góc giữa tia truyền tín hiệu và hướng quay của ăng-ten nhỏ nhất khi phút.
Câu 17 [202974]: Hình vẽ minh hoạ đường bay của một chiếc trực thăng cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là chân tháp điều khiển của sân bay; trục là hướng đông, trục là hướng bắc và trục là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm Vectơ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm phút sau khi cất cánh có toạ độ là: Các mệnh đề sau đúng hay sai
t15.png
a) Sai. Ta có: góc mà đường bay tạo với phương ngang chính là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tại thời điểm thì Trực thăng cất cánh từ điểm nên
Tại thời điểm trực thăng bay đến vị trí thuộc đường thẳng với
Đường thẳng có vecto chỉ phương và mặt phẳng có vecto pháp tuyến
Ta có:
Suy ra
b) Sai. Gọi là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng Khi đó
Vì là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng nên
Do đó đường thẳng có vectơ chỉ phương là
Phương trình tham số của đường thẳng là
c) Sai. Trực thăng bay vào mây ở độ cao tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây có cao độ khi đó suy ra
Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là
d) Đúng. Ta có: Khi đó,
Đường thẳng có vecto chỉ phương vuông góc với đường bay khi
Vậy thì vuông góc với đường bay
Khi đó, khoảng cách từ đỉnh núi đến máy bay trực thăng là
Câu 18 [202972]: Trong một bể hình lập phương cạnh có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành và khoảng cách từ các điểm đến đáy bể tương ứng là
t12.png
Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ? Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
t13.png
Khi đó,
Suy ra
Vì là hình bình hành nên


Do đó,
Đáy bể nằm trong mặt phẳng có phương trình là
Ta có:
Suy ra
Do đó
Suy ra
Câu 19 [161474]: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng , , tam giác vuông tại và (minh hoạ như hình bên).


Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng
Điền đáp án: 45.
Cách 1:

Gắn hệ trục toạ độ như hình vẽ, ta có .
Mặt phẳng vuông góc với AC ≡ Oy nên nhận là vectơ pháp tuyến.
Ta có

Mặt phẳng nhận vectơ là vectơ pháp tuyến.
Gọi là góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có .
Vậy góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng .

Câu 20 [1014745]: Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ. Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và vuông góc với mặt phẳng và Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp số: 2,12

Chọn làm gốc tọa độ, tia cùng hướng với tia cùng hướng với và tia cùng hướng với
Khi đó có và
Ta có
Do đó
Vậy mặt phẳng có một vector pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng là :
Hay
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là