Quay lại
Đáp án
Câu 1 [234253]: [Đề thi TH THPT 2022]: Trong không gian cho mặt cầu Đường kính của bằng
A,
B,
C,
D,
HD: Bán kính mặt cầu là nên đường kính là Chọn C. Đáp án: C
Câu 2 [57205]: Trong không gian mặt cầu có tọa độ tâm và bán kính lần lượt là
A,
B,
C,
D,
20.png Đáp án: B
Câu 3 [1015545]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có phương trình
Mặt cầu có tâm [[20632988]] và bán kính [[20632985]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Mặt cầu có tâm và bán kính
Ta có mặt cầu
Mặt cầu có tâm và bán kính
Lần lượt kéo thả các đáp án: và
Câu 4 [185149]: Trong không gian cho hai điểm và Phương trình mặt cầu đường kính là
A,
B,
C,
D,
Phương trình mặt cầu đường kính có tâm và bán kính là Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [1015546]: Trong không gian cho mặt cầu Khi đó
Tâm mặt cầu có toạ độ là [[20632993]]
Điểm [[20632995]] có toạ độ nằm phía bên ngoài mặt cầu
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Mặt cầu có tâm và bán kính
Mặt cầu có tâm và bán kính
Xét điểm ta có (nằm trên mặt cầu)
Xét điểm ta có (nằm trong mặt cầu)
Xét điểm ta có (nằm ngoài mặt cầu)
Lần lượt kéo thả các đáp án: và
Câu 6 [57192]: Trong không gian với hệ tọa độ phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?
A,
B,
C,
D,
8.png Đáp án: D
Câu 7 [202970]: Giả sử người ta biểu diễn mô phỏng của toà nhà Ericsson Globe trong hệ trục toạ độ bởi một mặt cầu có tâm người ta đo được như hình vẽ (đơn vị trục là mét). Phương trình mặt cầu này là

t11.png
A,
B,
C,
D,
Gọi là bán kính mặt cầu, ta có:
Suy ra
Ta có:
Phương trình mặt cầu này là Chọn A. Đáp án: A
Câu 8 [57169]: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có tâm biết thể tích khối cầu bằng Khi đó phương trình mặt cầu là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 9 [202977]: Trong không gian (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phú sáng là 4 km.
a) Đúng. Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là:
b) Sai. Ta có: nên người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
c) Sai. Ta có: nên người đi biển ở vị trí không thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
d) Đúng. Vì đường kính của mặt cầu trên bằng hay nên hai người đi biển ở vị trí có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá
Câu 10 [392168]: Trong không gian toạ độ cho hai điểm và Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
a) Bán kính mặt cầu là
Mặt cầu tâm và đi qua điểm có phương trình là:
b) Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là
Phương trình đường thẳng là

c) Tâm của mặt cầu là trung điểm
Nên ta có
Bán kính mặt cầu
Vậy phương trình mặt cầu đường kính là

d) Vì tâm của mặt cầu thuộc trục Nên gọi
Ta có:

Vậy mặt cầu có tâm thuộc và đi qua có bán kính bằng
Câu 11 [58468]: Trong không gian với hệ tọa độ cho Phương trình mặt cầu tâm tiếp xúc với trục là
A,
B,
C,
D,
Screenshot_1.png Đáp án: C
Câu 12 [80334]: Trong không gian tọa độ gọi là mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và đi qua hai điểm và Tính bán kính của mặt cầu
A,
B,
C,
D,
Đáp án: C
Câu 13 [408086]: Trong không gian với hệ tọa độ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình là phương trình của một mặt cầu?
Ta có: và
Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì



Kết hợp điều kiện có 34 giá trị nguyên của thoả mãn yêu cầu.
Câu 14 [399929]: Trong không gian , cho điểm Mặt cầu có tâm thuộc trục , đi qua đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng có bán kính là
A,
B,
C,
D,
Gọi tâm của mặt cầu là
Vì mặt cầu đi qua điểm nên
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên
Do đó,

Vậy bán kính của mặt cầu là Đáp án: B
Câu 15 [1004653]: Một tàu thăm dò tự hành (AUV) đang hoạt động dưới biển sâu. Hệ tọa độ được thiết lập với mặt nước biển yên tĩnh là mặt phẳng , trục hướng thẳng đứng xuống dưới (độ sâu ), đơn vị tính bằng hectomét (hm). AUV bắt đầu hành trình từ vị trí và dự định di chuyển theo đường thẳng đến vị trí cuối . Trong hành trình của mình AUV cần tránh một khu vực hình cầu , tâm tại điểm , bán kính hm (khu vực có thiết bị nhạy cảm).
a) Đúng
Ta có AUV di chuyển từ đến . Vector chỉ phương: Phương trình tham số đường thẳng AB: hay
b) Đúng
Mặt cầu tâm tại điểm , bán kính nên có phương trình .
c) Đúng.
Để xét tính đúng sai của mệnh đề c, ta xét xem khoảng cách ngắn nhất từ đến đoạn thẳng có lớn hơn bán kính hay không.
Gọi là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng
Vì với

Xét hàm số bậc hai trên đoạn
Ta có hệ số và có đỉnh tại nên hàm số nghịch biến trên trên đoạn .
Suy ra giá trị nhỏ nhất của đạt được khi
Vậy trên hành trình AUV luôn cách tâm một khoảng lớn hơn bán kính
d) Đúng.
Vì khoảng cách từ tất cả các điểm trên đoạn đến tâm đều lớn hơn bán kính , nên hành trình này hoàn toàn nằm ngoài mặt cầu . Do đó hành trình của AUV không đi qua khu vực có thiết bị nhạy cảm hình cầu (S).
Câu 16 [878557]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ , mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 350 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí , chuyển động theo đường thẳng đến vị trí .
Phương pháp:
Tọa độ hóa, biết phương trình đường thẳng, tính khoảng cách
Cách giải:
a) Sai: Ta có
Nên khi máy bay ở vị trí A thì nó chưa hiển thị trên màn hình ra đa.
b) Đúng: Ta có nên đường thẳng AD có một vectơ chỉ phương là

Vậy máy bay chuyển động trên đường thẳng có phương trình là
c) Sai: Gọi B, C là giao điểm của mặt cầu và đường thẳng AD.
Ta có là điểm đầu tiên hiến thị trên màn hình ra đa, là điểm cuối cùng hiển thị trên màn hình ra đa.
Thay vào phương trình của () ta được


Với thì ;
Với thì .
Ta thấy rằng nên vị trí đầu tiên hiển thị trên màn hình ra đa là .
d) Sai: Ta có .
Khoảng cách từ điểm đầu tiên hiển thị trên màn hình ra đa và điểm cuối hiển thị trên màn hình ra đa là

Lại có .
Do máy bay chuyển động đều nên tỉ lệ thời gian bằng tỉ lệ khoảng cách.
Gọi thời gian máy bay bay từ B đến C là (phút), ta có
, suy ra phút.
Câu 17 [1015551]: Trong không gian với hệ trục tọa độ đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 kilômét, một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí trên một ngôi làng ven biển và được thiết kế với bán kính phủ sóng là 6 km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định đúng các yếu tố hình học trong không gian như tâm, bán kính mặt cầu, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, phương trình đường thẳng theo vectơ chỉ phương.
Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian và so sánh với bán kính để kết luận đúng sai cho từng ý.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Mặt cầu tâm , bán kính có phương trình .
Phương trình mặt cầu viết đúng nên ý a) đúng.
b) Ta có .
Điểm nằm ngoài mặt cầu nên người đó không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Ý b) sai.
c) Gọi là mặt phẳng đi qua , , .
Ta có , .
Một vectơ pháp tuyến của là .
Phương trình mặt phẳng là .
Khoảng cách từ trạm thu phát sóng đến mặt phẳng là .
Khoảng cách nhỏ hơn bán kính nên ý c) đúng.
d) Từ vị trí , người chèo thuyền chuyển động với vectơ vận tốc .
Phương trình tham số của đường thẳng là .
Sau nửa giờ , người đó ở vị trí .
Ta có .
Người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng.
Do đó ý d) sai.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
Câu 18 [202967]: Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm (tiếp xúc) với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó (khi đó khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng) thì có một điểm M trên quả bóng với khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là và (Hình vẽ). Hãy giúp Nam xác định đường kính của quả bóng rổ đó. Biết rằng loại bóng rổ tiêu chuẩn này có đường kính nhỏ hơn Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục của
t10.png
Đặt toạ độ O tại vị trí giao nhau giữa hai bức tường và nền nhà.
Toạ độ tương ứng với điểm M là
Gọi là tâm của quả bóng.
Vì khoảng cách từ tâm quả bóng đến hai bức tường và nền nhà đều bằng bán kính của quả bóng nên ta có:
Suy ra I có toạ độ là
Do M nằm trên bề mặt quả bóng nên khoảng cách từ tâm I của quả bóng tới M chính là bán kính r, nên:

Từ phương trình trên ta thu được hai giá trị và .
Vì loại bóng rổ tiêu chuẩn này có đường kính nhỏ hơn nên ta loại giá trị và nhận giá trị làm bán kính của quả bóng.
Vậy đường kính của bóng rổ là cm.
Câu 19 [202969]: Giả sử Trái Đất có dạng hình cầu và bạn An đang đứng trên mặt đất. Có 3 vệ tinh báo về máy chủ tiếp nhận thông tin rằng vệ tinh thứ nhất đang cách An vệ tinh thứ hai đang cách An và vệ tinh thứ ba đang cách An Biết rằng trong hệ trục toạ độ cho trước với là tâm Trái Đất (1 đơn vị = ), tại thời điểm vệ tinh thông báo về máy chủ thì toạ độ của các vệ tinh lần lượt là và Giả sử bạn An đang đứng ở vị trí có toạ độ là Hãy tính
Gọi thì chính là giao điểm của bốn mặt cầu: Trái Đất và ba mặt cầu tâm lần lượt có bán kính lần lượt là khoảng cách từ các vệ tinh đến An.
Ta có hệ phương trình



Vậy toạ độ bạn An là
Câu 20 [1004750]: Một khinh khí cầu nghiên cứu khí tượng được phóng lên để thu thập dữ liệu trong tầng bình lưu. Khí cầu này có thiết bị định vị sử dụng tín hiệu từ các vệ tinh của công ty để xác định vị trí trong không gian. Tại thời điểm quan sát, khí cầu nhận được tín hiệu từ ba vệ tinh có toạ độ trong không gian (đơn vị )như sau: Vệ tinh tại vị trí , Vệ tinh tại vị trí , vệ tinh tại vị trí .

Từ thời gian truyền tín hiệu, hệ thống xác định rằng khoảng cách từ vị trí của khinh khí cầu đến các vệ tinh là: , , , đồng thời khí cầu có cao độ Tính khoảng cách từ khinh khí cầu đến góc toạ độ . (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của )
Đáp số:
Khí cầu có độ cao suy ra . Theo đề: (1)
(2)
(3)
Giải hệ phương trình (1), (2), (3).
Lấy ta được: (4)
Lấy ta được: (5)
Giải hệ (4), (5) ta được
khoảng cách từ khinh khí cầu đến góc toạ độ bằng