Quay lại
Đáp án
Câu 1 [42010]: Trong không gian cho mặt cầu có phương trình Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là
A, và .
B, và .
C, và .
D, và .
5.png Đáp án: A
Câu 2 [57242]: Trong không gian với hệ tọa độ mặt cầu có tâm và bán kính Phương trình mặt cầu là
A,
B,
C,
D,
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình mặt cầu).
Mức độ: Nhận biết.
Mặt cầu có tâm và bán kính có phương trình là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 3 [1015547]: Trong không gian mặt cầu
Mặt cầu có tâm [[20633028]] và bán kính [[20633030]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Gợi ý: Mặt cầu có tâm và bán kính
Ta có mặt cầu:
Mặt cầu có tâm và bán kính
Lần lượt kéo thả các đáp án: và
Câu 4 [1015549]: Điền số thích hợp vào chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt cầu có phương trình Diện tích mặt cầu là Khi đó, bằng ______.
Gợi ý: Công thức tính diện tích mặt cầu có bán kính
Ta có mặt cầu:
Mặt cầu có bán kính
Điền đáp án: 36.
Câu 5 [57180]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho Phương trình mặt cầu tâm đi qua trọng tâm của tam giác là
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: A
Câu 6 [57177]: Trong không gian với hệ tọa độ tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình là phương trình của mặt cầu.
A,
B,
C,
D,
1.png Đáp án: A
Câu 7 [57448]: Trong không gian với hệ tọa độ cho các điểm và đường thẳng Gọi là mặt cầu đi qua và có tâm thuộc đường thẳng Đường kính mặt cầu bằng
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Gọi tâm mặt cầu thuộc đường thẳng đã cho, sử dụng điều kiện hai điểm thuộc mặt cầu để thiết lập phương trình xác định tham số, từ đó tìm bán kính và đường kính.
✒️ Lời giải chi tiết:
Gọi là mặt cầu cần tìm, có tâm .
Mặt cầu đi qua hai điểm nên .
.
.
.
.
.
.
Bán kính mặt cầu là .
đường kính của mặt cầu là .
🔑 Chọn đáp án: D. Đáp án: D
Câu 8 [1015548]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho 2 điểm Mặt cầu có tâm đi qua 2 điểm biết tâm
Tung độ của điểm là [[20633041]]
Bán kính mặt cầu bằng [[20633042]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Phương trình tham số đường thẳng Mà
Ngoài ra,
Lần lượt kéo thả các đáp án: 2 và 5.
Câu 9 [866572]: Trong không gian với hệ trục tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là ), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (Hình bên) được đặt ở vị trí Trạm thu phát được thiết kế bán kính phủ sóng là
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Sử dụng phương trình mặt cầu và so sánh khoảng cách từ tâm mặt cầu đến các điểm đã cho với bán kính để kết luận vị trí điểm nằm trong, trên hay ngoài mặt cầu.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Mặt cầu có tâm và bán kính nên phương trình là .
b) Sai.
Ta có .
.
nên điểm nằm trong mặt cầu, người dùng sử dụng được dịch vụ.
c) Sai.
Ta có .
.
nên điểm nằm ngoài mặt cầu, không sử dụng được dịch vụ.
d) Sai.
Vì nên điểm nằm ngoài vùng phủ sóng.
Giả sử đường thẳng cắt mặt cầu tại thì là điểm cuối cùng trên đoạn còn sử dụng được dịch vụ.
nên là trung điểm của .
nên .
🔑 Điền đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai
Câu 10 [392165]: Trong không gian toạ độ cho đường thẳng và hai điểm Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng
a) Ta có:
Đường thẳng có vecto chỉ phương là
Phương trình đường thẳng là
b) Mặt phẳng song song với nên

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
Phương trình mặt phẳng đi qua và song song với là
c) Tâm của mặt cầu là trung điểm
Nên ta có
Bán kính mặt cầu
Vậy phương trình mặt cầu đường kính là
d, Vì tâm của mặt cầu thuộc đường thẳng d. Nên gọi
Ta có:


Vậy mặt cầu có tâm thuộc và đi qua có đường kính bằng
Câu 11 [1015552]: Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở môt địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng (như hình hình vẽ). Máy dò tín hiệu A có thể nhận được tín hiệu từ máy phát P trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính km. Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ của hệ trục tọa độ thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình: (trong đó là thời gian chuyển động).
a) Tại thời điểm tọa độ tín hiệu
Máy dò tín hiệu ở vị trí có tọa độ
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Tại thời điểm tọa độ tín hiệu
Máy dò tín hiệu ở vị trí có tọa độ
Lúc này, khoảng cách từ máy dò tín hiệu đến máy phát là
Không nhận được tín hiệu.
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Tọa độ của máy phát tín hiệu Khoảng cách từ máy dò tín hiệu đến máy phát tín hiệu là: Dấu bằng xảy ra khi
Vậy máy do tín hiệu gần máy phát tín hiệu nhất lúc 4 giờ.
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Ranh giới của phạm vi của máy phát tín hiệu P được mô tả bằng một phương trình mặt cầu tâm bán kính

Gọi là hai điểm giao giữa mặt cầu và đường thẳng di chuyển của máy dò, ta có: (biến đổi giống như câu c)
Vậy quãng đường mà máy dò di chuyển là 2km.
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 12 [1015550]: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho trước (mỗi đơn vị đo ứng với 100 kilomet thực tế), một radar được đặt ở vị trí gốc toạ độ. Biết rằng radar có phạm vi hoạt động là 100 km. Một máy bay chuyển động thẳng đều có vị trí được xác định theo thời gian (đơn vị giờ) cho bởi phương trình Quãng đường máy bay bay trong thời gian bị radar phát hiện là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Vị trí xuất phát của máy bay tương ứng với nên là điểm
Để máy bay bị phát hiện thì khoảng cách từ máy bay đến radar không vượt quá 1
Vậy, vị trí đầu tiên khi radar phát hiện ra máy bay là điểm ứng với nên vị trí đó là và vị trí cuối cùng khi radar phát hiện ra máy bay là điểm ứng với nên vị trí đó là
Khi đó, trong thời gian máy bay bị phát hiện thì máy bay bay được quãng đường
Vậy máy bay bay được hơn 133 km trong thời gian bị radar phát hiện.
Câu 13 [680751]: Các thiên thạch có đường kính lớn hơn và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7 500 000 km được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6 600 km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6 400 km. Chọn hệ trục tọa độ trong không gian có gốc tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1 000 km . Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm đến điểm
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Nội dung kiến thức: Toán lớp 12 (Phương trình đường thẳng; Phương trình mặt cầu).
Mức độ: a) Nhận biết; b) Thông hiểu; c) Thông hiểu; d) Vận dụng.
💡 Phương pháp:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng từ hai điểm đã cho.
Viết phương trình tham số của đường thẳng.
Xác định phương trình mặt cầu biểu diễn phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa.
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu bằng cách giải phương trình tham số.
So sánh các tham số để xác định thứ tự các điểm gặp.
Sử dụng công thức khoảng cách trong không gian và quy đổi đơn vị theo dữ kiện bài toán.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Đúng.
Ta có .
Chọn vectơ chỉ phương .
Phương trình đường thẳng là
.
b) Sai.
Phạm vi theo dõi của hệ thống ra đa là mặt cầu .
Tọa độ giao điểm của với là nghiệm của phương trình
.
.
hoặc .
Với được , với được .
Ta có .
nên điểm gặp đầu tiên là .
c) Đúng.
.
Đơn vị độ dài trên mỗi trục là km nên .
d) Đúng.
.
phút.
🔑 Điền đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng
Câu 14 [1015553]: Trong không gian với hệ trục tọa độ có hai trục đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng đặt tại điểm Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính mét. Gọi là đường thẳng đi qua điểm và song song với trục
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
💡 Phương pháp:
Xác định phương trình đường thẳng dựa vào điểm đi qua và vectơ chỉ phương.
Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
Xác định vị trí tương đối của điểm đối với mặt cầu bằng cách so sánh khoảng cách với bán kính.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng tích có hướng.
Giải phương trình mặt cầu để tìm giao điểm với trục tọa độ.
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Đường thẳng đi qua điểm và song song với trục nên có vectơ chỉ phương .
Phương trình tham số của là với .
b) Đúng.
Ta có .
Suy ra .
Do đó điểm nằm ngoài mặt cầu nên không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị .
c) Sai.
Đường thẳng đi qua và song song với trục có vectơ chỉ phương .
Ta có .
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là .
Suy ra .
Vì vậy thiết bị thu sóng di chuyển trên không thể vào vùng phủ sóng của .
d) Sai.
Mặt cầu mô tả ranh giới vùng phát sóng của thiết bị có tâm và bán kính có phương trình .
Gọi là giao điểm của trục với mặt cầu .
Ta có .
Suy ra hoặc .
Với thì .
Thiết bị thu sóng phải di chuyển đoạn ngắn nhất khoảng m để vào vùng phủ sóng của .
🔑 Điền đáp án: a) S, b) Đ, c) S, d) S
Câu 15 [696431]: Hải đăng là một ngọn tháp (nhà hoặc khung) được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính, hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Vào năm 293 trước Công nguyên, ngọn hải đăng đầu tiên đã được người Phoenicia xây dựng trên hòn đảo Pharos tại Alexandria. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng , trục hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao mét so với mực nước biển (hình vẽ bên dưới) biết đỉnh ở vị trí , biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm đúng sai, thí sinh chọn đúng hoặc sai trong mỗi ý a), b), c), d).
Các tính toán được thực hiện trong hệ trục tọa độ , đơn vị độ dài là mét, thời gian tính theo phút.
💡 Phương pháp:
Mô hình hóa vùng chiếu sáng của hải đăng bằng mặt cầu tâm bán kính .
Kiểm tra điểm có thuộc vùng chiếu sáng hay không bằng cách thay tọa độ vào phương trình mặt cầu.
Vùng sáng trên mặt đất là giao tuyến của mặt cầu với mặt phẳng .
Khoảng cách người quan sát cần di chuyển được tính bằng hiệu khoảng cách đến tâm chiếu sáng và bán kính vùng sáng trên mặt đất.
Thời gian được xác định theo công thức .
✒️ Lời giải chi tiết:
a) Sai.
Vì đỉnh hải đăng là và bán kính phủ sóng .
Phương trình mặt cầu tâm bán kính là .
Phương trình trong mệnh đề không đúng nên khẳng định a) sai.
b) Sai.
Thay tọa độ vào phương trình mặt cầu ta được .
nằm ngoài mặt cầu nên không thuộc vùng chiếu sáng.
Do đó mệnh đề b) sai.
c) Đúng.
Bán kính vùng sáng trên mặt đất là .
Kết quả này phù hợp nên mệnh đề c) đúng.
d) Sai.
Chân ngọn hải đăng là hình chiếu của lên mặt phẳng .
.
Ta có nên .
Khoảng cách từ đến điểm đầu tiên nhìn thấy ánh sáng là .
Vận tốc di chuyển là nên thời gian là phút.
Giá trị này khác mệnh đề đã cho nên khẳng định d) sai.
🔑 Điền đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai
Câu 16 [408087]: Trong không gian với hệ tọa độ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình là phương trình mặt cầu?
Ta có: và
Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì

Kết hợp điều kiện có 14 giá trị nguyên của thoả mãn yêu cầu.
Câu 17 [202975]: Trong không gian với hệ toạ độ đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ mỗi đơn vị trên trục ứng với Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí chuyển động theo đường thẳng có vectơ chỉ phương là và hướng về đài kiểm soát không lưu Toạ độ của vị trí mà máy bay bay ra khỏi màn hình ra đa là Tính
t16.png
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vecto chỉ phương
là
Dựa vào hình vẽ ta thấy B là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada và C là vị trí máy bay ra khỏi màn hình rada, gọi
Giải phương trình

Ứng với ta được điểm là vị trí sớm nhất máy bay xuất hiện trên màn hình rada.
Ứng với ta được điểm là vị trí t máy bay ra khỏi màn hình rada.
Vậy
Câu 18 [360644]: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình vẽ).

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:
Trong không gian với hệ toạ độ cho bốn vệ tinh Toạ độ của điểm trong không gian biết khoảng cách từ vệ tinh đến điểm lần lượt là Tính bằng bao nhiêu?
Theo bài ra ta có: và
Ta có:





Đáp án: 2.
Câu 19 [879747]: Trong không gian với hệ tọa độ (đơn vị trên mỗi trục là km ). Một trạm kiểm soát không lưu sân bay được đặt tại điểm Máy bay trong phạm vi cách trạm kiểm soát không lưu 300 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay dân dụng sau khi cất cánh và đạt được độ cao phù hợp thì tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động cho máy bay theo một đường thẳng ( là số giờ bay kể từ khi tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động).
a) Viết phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng mà máy bay hiển thị trên màn hình ra đa.
b) Thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa kể từ khi tổ bay bắt đầu thiết lập chế độ bay tự động là bao nhiêu phút?
a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng mà máy bay hiển thị trên màn hình ra đa có tâm và bán kính bằng 300 là:
b) Đường bay của máy bay cắt ranh giới tại các điểm có dạng
Thời gian máy bay hiển thị trên màn hình ra đa là: (phút).
Câu 20 [1015556]: Trong không gian toạ độ các khu vực được xác định như sau:
- Khu vực nằm trên mặt đất và cách trung tâm thành phố km.
- Khu vực nằm trên tòa nhà cao tầng và ở độ cao m.
- Khu vực nằm trên một đỉnh đồi ở độ cao m.
Gọi vị trí đặt trạm phát sóng là sao cho khoảng cách từ đến ba khu vực trên là bằng nhau và có khoảng cách đến chúng là nhỏ nhất. Tính
Đáp án: 120
Ta thấy: trong không gian tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng ). Dễ thấy khi di động trên trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì nhỏ nhất khi và chỉ khi trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ta có: suy ra ;

Vậy