Câu 1 [899185]: Trong không gian toạ độ 
cho mặt phẳng 
Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của 
cho mặt phẳng Vectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của A, 
B, 
C, 
D, 
Phương pháp: Nếu 
là một vectơ pháp tuyến của 
thì 
với 
cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Mặt phẳng 
nên 
có một vectơ pháp tuyến là 
Dễ nhận thấy vectơ 
nên nó không là vectơ pháp tuyến của 
Chọn C. Đáp án: C
là một vectơ pháp tuyến của thì với cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Mặt phẳng nên có một vectơ pháp tuyến là Dễ nhận thấy vectơ nên nó không là vectơ pháp tuyến của Chọn C. Đáp án: C
Câu 2 [51971]: Trong không gian 
, mặt phẳng 
đi qua điểm nào dưới đây?
, mặt phẳng đi qua điểm nào dưới đây? A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Ta có mặt phẳng 
đi qua điểm 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
đi qua điểm
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 3 [53386]: Trong không gian với hệ tọa độ 
cho ba điểm 
Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
?
cho ba điểm Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ? A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: A
Câu 4 [51958]: Trong không gian với hệ tọa độ 
, cho mặt phẳng 
. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của 
, cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt phẳng 
có một vtpt là 
cũng là một vtpt của 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
có một vtpt là cũng là một vtpt của Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 5 [392152]: Trong không gian 
cho điểm 
và 
Gọi 
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
cho điểm và Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai
a)
b) Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng 
là 
c) Trung điểm của đoạn thẳng
là 
d) Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
và đi qua điểm 
suy ra phương trình mặt phẳng
a)
b) Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng là c) Trung điểm của đoạn thẳng
là d) Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến và đi qua điểm suy ra phương trình mặt phẳng
Câu 6 [56303]: Trong không gian 
cho hai điểm 
Mặt phẳng 
đi qua 
và chứa trục 
có phương trình là
cho hai điểm Mặt phẳng đi qua và chứa trục có phương trình là A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt phẳng 
nhận 
là một vtpt.
Mà
Kết hợp
đi qua 
Chọn C. Đáp án: C
nhận là một vtpt.Mà
Kết hợp
đi qua Chọn C. Đáp án: C
Câu 7 [1014733]: Trong không gian 
cho mặt phẳng 
chứa trục 
và đi qua điểm 
Phương trình mặt phẳng
là [[20623930]]
Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng 
[[20623928]]
Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
cho mặt phẳng chứa trục và đi qua điểm Phương trình mặt phẳng
là [[20623930]] Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng [[20623928]] Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Ta có 
và 
Mà mặt phẳng
đi qua 
và Mà mặt phẳng
đi qua
Câu 8 [899205]: Phương trình mặt phẳng qua 
và vuông góc đồng thời với cả hai mặt phẳng 
và 
là
và vuông góc đồng thời với cả hai mặt phẳng và là A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là mặt phẳng cần tìm và vectơ pháp tuyến của 
là 
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và 
lần lượt là 
Do
Suy ra
qua 
và có 1 vectơ pháp tuyến là 
nên 
Chọn D. Đáp án: D
là mặt phẳng cần tìm và vectơ pháp tuyến của là Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng
và lần lượt là Do
Suy ra
qua và có 1 vectơ pháp tuyến là nên Chọn D. Đáp án: D
Câu 9 [899293]: Trong không gian với hệ trục tọa độ 
cho 
Viết phương trình mặt phẳng 
đi qua điểm 
và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt 
sao cho 
là trọng tâm tam giác 
.
cho Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cắt các trục tọa độ tại ba điểm phân biệt sao cho là trọng tâm tam giác . A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi tọa độ các điểm 
.
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
là: 
Do
là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: 
Do đó
Chọn A.
Đáp án: A
. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng
là: Do
là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: Do đó
Chọn A.
Đáp án: A
Câu 10 [399912]: Trong không gian 
, cho hai mặt phẳng 
và 
với 
là tham số thực. Hai mặt phẳng 
và 
vuông góc với nhau khi
, cho hai mặt phẳng và với là tham số thực. Hai mặt phẳng và vuông góc với nhau khi A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn A
Xét mặt phẳng
và 
lần lượt có 
và 
Để
Đáp án: A
Xét mặt phẳng
và lần lượt có và Để
Đáp án: A
Câu 11 [899206]: Phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left( { - 1; - 1;0} \right),B\left( {0; - 2 - 1} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {3;4;1} \right)$ là
A, $3x - 4y + 7z - 1 = 0.$
B, $3x + 4y + z + 7 = 0.$
C, $x - y - z = 0.$
D, $3x - y - 7z = 0.$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng cần tìm và vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$ là $\overrightarrow n.$
Ta có : $\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1; - 1} \right),$ do $AB \subset \left( \alpha \right)$ nên $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {AB}.$
Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow u\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {3; - 4;7} \right).$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\left( {3; - 4;7} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$ nên $\left( \alpha \right):3x - 4y + 7z - 1 = 0.$
Chọn A. Đáp án: A
Ta có : $\overrightarrow {AB} \left( {1; - 1; - 1} \right),$ do $AB \subset \left( \alpha \right)$ nên $\overrightarrow n \bot \overrightarrow {AB}.$
Như vậy $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {AB} \\\overrightarrow n \bot \overrightarrow u\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {3; - 4;7} \right).$
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến $\left( {3; - 4;7} \right)$ và đi qua điểm $A\left( { - 1; - 1;0} \right)$ nên $\left( \alpha \right):3x - 4y + 7z - 1 = 0.$
Chọn A. Đáp án: A
Câu 12 [398925]: [Đề mẫu ĐGNL ĐHQG HN]: Trong không gian 
mặt phẳng 
đi qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
là
mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng là
Gọi 
là 1 VTPT của mặt phẳng 
.
Vì
.
Phương trình mặt phẳng
là:
.
là 1 VTPT của mặt phẳng . Vì
. Phương trình mặt phẳng
là: .
Câu 13 [1014820]: [MĐ2]: Trong không gian toạ độ 
cho 2 điểm 
và 
Gọi 
là mặt phẳng đi qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
Phương trình mặt phẳng
là [[20624757]]
Mặt phẳng
song song với mặt phẳng [[20624758]]
cho 2 điểm và Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng Phương trình mặt phẳng
là [[20624757]]Mặt phẳng
song song với mặt phẳng [[20624758]]
Ta có : 
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
Do
chứa 
nên 
mặt khác 
Suy ra
Mặt phẳng
qua điểm 
và có vectơ pháp tuyến là 
Do đó phương trình mặt phẳng
là: 
Mặt phẳng song song với mặt phẳng
có dạng là: 
Suy ra mặt phẳng song song với mặt phẳng
là 
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là Do
chứa nên mặt khác Suy ra
Mặt phẳng
qua điểm và có vectơ pháp tuyến là Do đó phương trình mặt phẳng
là: Mặt phẳng song song với mặt phẳng
có dạng là:
Suy ra mặt phẳng song song với mặt phẳng
là
Câu 14 [51186]: Cho bốn điểm 
Tìm 
để bốn điểm 
đồng phẳng.
Tìm để bốn điểm đồng phẳng. A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: C
Câu 15 [392155]: Trong không gian 
gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm 
và vuông góc với mặt phẳng 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: A, a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
là B, b) Trung điểm của đoạn thẳng 
là 
là C, c) Mặt phẳng qua 
và song song với 
có phương trình là 
và song song với có phương trình là D, d) Phương trình mặt phẳng 
là 
là
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
b) Trung điểm của đoạn thẳng
là 
c) Gọi
là mặt phẳng đi qua 
và song song với 
Suy ra
có dạng 
Thay toạ độ điểm
ta được 
Vậy phương trình mặt phẳng
d) Mặt phẳng
đi qua 
và vuông góc với mặt phẳng 
nên ta có hai vectơ chỉ phương của 
là 
và VTPT của 
là 
Suy ra VTPT của mp
là 
Mặt phẳng
đi qua điểm 
và có VTPT 
b) Trung điểm của đoạn thẳng
là c) Gọi
là mặt phẳng đi qua và song song với Suy ra
có dạng Thay toạ độ điểm
ta được Vậy phương trình mặt phẳng
d) Mặt phẳng
đi qua và vuông góc với mặt phẳng nên ta có hai vectơ chỉ phương của là và VTPT của là Suy ra VTPT của mp
là Mặt phẳng
đi qua điểm và có VTPT
Câu 16 [392156]: Trong không gian tọa độ 
cho điểm 
và hai mặt phẳng 
và 
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
cho điểm và hai mặt phẳng và Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
d) Gọi mp 
là mp đi qua 
và vuông góc với hai mặt phẳng 
và 
là mp đi qua và vuông góc với hai mặt phẳng và Mp 
có hai vectơ chỉ phương 
và 
VTPT mp 
là 
có hai vectơ chỉ phương và VTPT mp là Mp 
đi qua 
và có VTPT 
có phương trình là
đi qua và có VTPT có phương trình là
Câu 17 [163890]: Hình vẽ minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ 
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết 
với 
và mặt phẳng 
có phương trình là 
Các mệnh đề sau đúng hay sai
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết với và mặt phẳng có phương trình là Các mệnh đề sau đúng hay saiA, a) Toạ độ của điểm 
là 
là B, b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
là 
là C, c) Phương trình mặt phẳng 
là 
là D, d) Mặt phẳng 
có một vectơ pháp tuyến là 
có một vectơ pháp tuyến là
a) Đúng.
Ta có:
b) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là 
c) Đúng.
Lại có:
nên VTPT của 
là
d) Sai.
Ta có:
nên VTPT của 
là
Ta có:
b) Sai.
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
c) Đúng.
Lại có:
nên VTPT của là
d) Sai.
Ta có:
nên VTPT của là
Câu 18 [392158]: Trong không gian toạ độ 
cho mặt phẳng 
đi qua điểm 
song song với trục 
và vuông góc với mặt phẳng 
Biết phương trình mặt phẳng 
có dạng: 
Tính giá trị của 
v
cho mặt phẳng đi qua điểm song song với trục và vuông góc với mặt phẳng Biết phương trình mặt phẳng có dạng: Tính giá trị của v
Phương trình mặt phẳng 
song song với trục 
và vuông góc với mặt phẳng 
song song với trục và vuông góc với mặt phẳng Suy ra có hai vectơ chỉ phương là 
và 
VTPT của mặt phẳng 
là 
và VTPT của mặt phẳng là Ta có mặt phẳng 
đi qua điểm 
và có VTPT 
có phương trình là
đi qua điểm và có VTPT có phương trình là Vậy 
Điền đáp án: 
Điền đáp án:
Câu 19 [778774]: Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An 
và cách Nam 
Chọn hệ trục như hình vẽ, gốc toạ độ trùng với vị trí đứng của Nam. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng 
và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của 
bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
và cách Nam Chọn hệ trục như hình vẽ, gốc toạ độ trùng với vị trí đứng của Nam. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). 
Gọi
là điểm mà quả bóng chạm đất.Khi đó
, 
Vì
nên 
có véc tơ chỉ phương 
.Mà
có véc tơ chỉ phương 
Khi đó véc tơ pháp tuyến của
là 
.
.
Câu 20 [392159]: Trong không gian tọa độ 
cho mặt phẳng 
đi qua hai điểm 
và song song với trục 
Biết phương trình mặt phẳng 
có dạng: 
Tính giá trị của 
cho mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với trục Biết phương trình mặt phẳng có dạng: Tính giá trị của
Mặt phẳng 
có hai vectơ chỉ phương là 
và 
có hai vectơ chỉ phương là và Một VTPT của mặt phẳng 
là 
là Mặt phẳng 
đi qua điểm 
và có VTPT 
có phương trình là
đi qua điểm và có VTPT có phương trình là Suy ra 
Điền đáp án: 
Câu 21 [778782]: Hình ảnh bên minh hoạ một cánh cửa hình chữ nhật có chiều rộng 
và chiều cao 
khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc 
bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là 
Tính giá trị 
và chiều cao khi đang mở. Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, biết cánh cửa tạo với bức tường một góc bờ tường vuông góc với mặt sàn. Bỏ qua bề dày của cánh cửa thì phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa là Tính giá trị
Điền đáp án: 3.
Giả sử
Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn
nên để viết được phương trình mặt phẳng 
ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó.
Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau:
Với
là các điểm thuộc mặt phẳng 
Kẻ 
Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm 
Trong tam giác
vuông tại 
ta có
Suy ra
Vì
đều thuộc mặt phẳng 
nên ta có hệ phương trình 
Vậy 
Giả sử
Vì ta đã có dạng của phương trình mặt phẳng chứa cánh cửa (chứa 3 ẩn
nên để viết được phương trình mặt phẳng ta cần đi tìm được 3 điểm thuộc mặt phẳng đó.
Ta vẽ lại hình như và kí hiệu các điểm như hình sau:
Với
là các điểm thuộc mặt phẳng Kẻ Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng cần tìm đi qua các điểm
Trong tam giác
vuông tại ta có
Suy ra
Vì
đều thuộc mặt phẳng nên ta có hệ phương trình
Vậy
Câu 22 [782438]: Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt 
có hai đáy song song với nhau. Mặt sân 
là hình chữ nhật và được gắn hệ trục 
như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân 
có chiều dài 
m, chiều rộng 
m và tọa độ điểm 
Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng 
có dạng 
Tính giá trị biểu thức 
có hai đáy song song với nhau. Mặt sân là hình chữ nhật và được gắn hệ trục như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân có chiều dài m, chiều rộng m và tọa độ điểm Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Tính giá trị biểu thức
Điền đáp án: -5.
Từ giả thiết, ta có
Vì
(theo quy tắc hình bình hành)
Do
nên 
Suy ra mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là 
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
là 
Do đó
Vậy 
Từ giả thiết, ta có
Vì
(theo quy tắc hình bình hành)Do
nên Suy ra mặt phẳng
có một vectơ pháp tuyến là Phương trình tổng quát của mặt phẳng
là
Do đó
Vậy
Câu 23 [398968]: Trong không gian với hệ tọa độ 
mặt phẳng 
chắn các trục 
lần lượt tại 
sao cho 
là trực tâm của tam giác 
Phương trình mặt phẳng
có dạng 
Tính 
mặt phẳng chắn các trục lần lượt tại sao cho là trực tâm của tam giác Phương trình mặt phẳng
có dạng Tính
Điền đáp án: 
Gọi
là hai đường cao của tam giác 
Suy ra
Ta có:
Mặt phẳng
đi qua điểm H và nhận 
làm một VTPT.
Nên mặt phẳng
có phương trình:
Gọi
là hai đường cao của tam giác Suy ra
Ta có:
Mặt phẳng
đi qua điểm H và nhận làm một VTPT.Nên mặt phẳng
có phương trình:
Câu 24 [163888]: Trong không gian với hệ trục toạ độ 
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí 
và sẽ hạ cánh ở vị trí 
trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng 
đi qua ba điểm 
Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?
(đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?
Giả sử điểm 
là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra 
. 
Suy ra 
là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng 
có phương trình là:
có phương trình là: . Suy ra 
Mặt khác, vì 
là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực 
sao cho 
là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực sao cho Do 
nên
nên
Vì 
nên 
nên Suy ra Vậy tại vị trí 
độ cao máy bay là 
độ cao máy bay là