Đáp án Đề thi online: Bài tập tự luyện số 4

Câu 1 [143817]: Cho hai biến cố ngẫu nhiên

và

có

Khi đó,

bằng

A,

B,

C,

D,

Áp dụng công thức Bayes ta có:

Chọn D. Đáp án: D

Câu 2 [143809]: Một cậu bé có một hộp bi gồm 6 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Một hôm cậu thấy mất 1 viên bi mà không biết viên bi đó màu gì. Tính xác suất để khi lấy ngẫu nhiên ra một viên bi từ hộp thì ta được bi đỏ.

A,

B,

C,

D,

Chọn đáp án D.
Vì ta chưa biết viên bi bị mất là màu nào. Nên ta gọi

là biến cố “Viên bi bị mất màu đỏ”,

là biến cố “Viên bị mất màu trắng”.
Xét trường hợp biến cố viên bi đỏ bị mất thì trong hộp còn lại tổng cộng 9 viên bi, trong đó có 5 viên bi đỏ. Và với trường hợp biến cố

xảy ra thì trong hộp còn lại tổng cộng 9 viên bi, trong đó có 6 viên bi đỏ.
Ta có sơ đồ cây như sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất lấy được một viên bi đỏ từ hộp bằng

Đáp án: D

Câu 3 [143820]: Tỷ lệ người nghiện thuốc là ở một vùng là 30%. Biết rằng tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người nghiện thuốc là 60%, còn tỷ lệ người bị viêm họng trong số những người không nghiện là 40%. Lấy ngẫu nhiên một người thấy người ấy không bị viêm họng. Tính xác suất người đó nghiện thuốc lá

A,

B,

C,

D,

Gọi

là biến cố “Người ấy không bị viêm họng”

lần lượt là biến cố : “Người ấy nghiện thuốc lá” và “ Người ấy không nghiện thuốc lá”

Ta có:

Do đó

Chọn B.

Đáp án: B

Câu 4 [145269]: [Trích SGK Chân Trời Sáng Tạo]: Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.

A,

B,

C,

D,

Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn là học sinh nữ" và B là biến cố "Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật".
Ta có

.
Suy ra

.

Cần tính

.
Chọn D. Đáp án: D

Câu 5 [143822]: Túi I chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen, túi II khác chứa 4 quả bóng trắng và 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ một trong các túi và thấy nó có màu đen. Xác suất để nó được rút ra từ Túi I bằng

A,

B,

C,

D,

Gọi

là biến cố chọn được túi I,

là biến cố chọn được túi II và

là biến cố lấy được bi đen.

Sau đó,

Ngoài ra,

P(rút một quả bóng đen từ Túi I)

P(rút một quả bóng đen từ Túi II)

Bằng cách sử dụng định lý Bayes, xác suất lấy được một quả bóng đen từ túi I ra khỏi hai túi là:

Chọn A.

Đáp án: A

Câu 6 [144409]: Một người đàn ông được biết là cứ mỗi ba lần thì người đó sẽ nói sự thật 2 lần. Anh ta tung một con súc sắc và báo cáo rằng con số thu được là bốn. Xác suất để số thu được thực sự là số bốn bằng

A,

B,

C,

D,

Gọi

là biến cố người đàn ông báo cáo rằng đã đạt được số bốn.

Gọi

là biến cố thu được bốn và

là biến cố bù của nó.

Khi đó,

Xác suất xảy ra bốn

Xác suất bốn không xảy ra

Ngoài ra,

Xác suất người đàn ông báo cáo là bốn và thực tế là bốn

Xác suất người đàn ông báo cáo là bốn và nó không phải là bốn

Bằng cách sử dụng định lý Bayes, xác suất mà số thu được thực tế là số 4 bằng

Chọn D.

Đáp án: D

Câu 7 [1018606]: Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 3 viên bi xanh và 9 viên bi đỏ, hộp thứ hai chứa 6 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lấy ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Gọi

là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu xanh”,

là biến cố “Hai viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là màu xanh”

a) Hộp thứ nhất có 12 viên bi trong đó có 3 bi xanh và 9 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai.

là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất là màu xanh” ta có

Vậy chọn: Đúng
b) Ta có

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là màu xanh thì khi đó

Giả sử viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là màu đỏ thì khi đó

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có

Vậy chọn: Sai
c) Giả sử 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai là màu xanh thì xác suất lấy được viên bi xanh ở hộp thứ nhất là

Theo công thức Bayes ta có

d) Giả sử 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai là màu xanh thì xác suất lấy được viên bi đỏ ở hộp thứ nhất là

Ta có

Vậy chọn: Sai

Câu 8 [1005556]: Một công ty tổ chức chương trình bốc thăm trúng thưởng nhân dịp nghỉ lễ 30/4 và 1/5 cho 100 nhân viên. Trong hộp có 100 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Thái Lan, 10 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Đà Nẵng và 20 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí tại Cửa Lò (Nghệ An), các vé còn lại trúng thưởng năm triệu đồng. Lần lượt từng nhân viên lên bốc ngẫu nhiên một vé (không hoàn lại).

Xét các biến cố:

Người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng

;

Người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng

.
a) Đúng.
Ta có số vé trúng thưởng năm triệu đồng là:

Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là:

b) Sai.
Nếu người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng thì số vé trúng thưởng năm triệu đồng còn lại trong hộp là 65 vé.
Suy ra, xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng biết rằng người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là

.
c) Đúng.
Xác suất để người thứ nhất không bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là:

.
Nếu người bốc thăm thứ nhất không bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng thì số vé trúng thưởng năm triệu đồng còn lại trong hộp là 66 nên

.
Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là:

.
d) Đúng.
Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng biết rằng người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là

.
Theo công thức Bayes, ta có:

.

Câu 9 [146776]: Một người có 5 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung trong một cái lồng.Một người đến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên 1 con. Người mua chấp nhận mua con gà đó. Xét tính đúng sai của mệnh đề sau:

a) Đúng. Xác suất để người đó mua được con gà mái là

b) Sai. Xác suất để người đó mua được con gà trống là

c) Đúng. Một người thứ hai lại đến mua gà, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con, xác suất để người thứ hai mua được con gà trống là

d) Sai. Gọi A là biến cố: “ người thứ hai mua được gà trống”
B là biến cố: Người thứ nhất mua được gà mái”
Ta có:

Câu 10 [931513]: Một nhà mạng viễn thông đang triển khai hệ thống phát hiện và chặn các số điện thoại thực hiện cuộc gọi lừa đảo. Tuy nhiên, do hệ thống chưa hoàn hảo, nó có thể chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ hoặc bỏ sót một số điện thoại lừa đảo. Hệ thống hoạt động với các thông số sau:
+ Tỷ lệ số điện thoại lừa đảo trong hệ thống:

(tức là

tổng số thuê bao là số lừa đảo)
+ Xác suất hệ thống phát hiện đúng và chặn một số điện thoại lừa đảo:

.
+ Xác suất hệ thống chặn nhầm một số điện thoại hợp lệ (tức là số điện thoại không lừa đảo):

Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại đã được thử nghiệm hệ thống.

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
Gọi

là biến cố “số điện thoại lừa đảo”,

là biến cố “chặn một số điện thoại bất kỳ”.
Theo đề bài, ta có:

(a) Đúng:

.
(b) Đúng:

.
(c) Sai: Công thức Bayes:

.
(d) Sai:

.

Câu 11 [145232]: Ô cửa bí mật (Let's Make a Deal) là một trò chơi trên truyền hình nổi tiếng ở Mỹ. Nội dung trò chơi như sau:
• Người chơi được mời lên sân khấu và đứng trước ba cánh cửa đóng kín. Sau một cánh cửa có chiếc ô tô, sau mỗi cánh cửa còn lại là một con lừa. Người chơi được yêu cầu chọn ngẫu nhiên một cánh cửa, nhưng không được mở ra.
• Tiếp đó người quản trò tuyên bố sẽ mở ngẫu nhiên một trong hai cánh cửa người chơi không chọn mà sau cửa đó là con lừa. Người quản trò hỏi người chơi muốn giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu của mình hay muốn chuyển sang cửa chưa mở còn lại.
Giả sử người chơi chọn cửa số 1. Kí hiệu

tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô"; "Sau ô cửa số 2 có ô tô"; "Sau ô cửa số 3 có ô tô" và

là biến cố: "Người quản trò mở một ô cửa có chứa con lừa”. Các mệnh đề sau đúng hay sai.

A, a)

B, b)

C, c)

D, d) Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 và thấy con lừa, lúc này người chơi nên chuyển sang ô cửa số 2 để xác suất chiến thắng sẽ cao hơn.

a) Đúng.
b) Sai.

xảy ra và người chơi đã chọn cổng 1

Cổng 2 và 3 đều là lừa.
Vậy

c) Đúng.

xảy ra, người chơi đã chọn cổng 1

Sẽ có một cổng ra xe (cổng 2) và một cổng ra lừa (cổng 3).

d) Sai.

và

Khi đó

nên nếu người chơi chuyển sang ô cửa số 2 thì xác suất chiến thắng sẽ giảm gấp đôi.

Câu 12 [145272]: [Trích SGK Chân Trời Sáng Tạo]: Hộp thứ nhất có 1 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ hai. Biết rằng 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai đều là bi đỏ. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng đều là bi đỏ. Viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Gọi A là biến cố: 2 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ
B là biến cố: “2 viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”
Ta có:

Xác suất cần tìm là:

Câu 13 [373332]: Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 2% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Trong các vụ tai nạn ởđịa phương đó, người ta nhận thấy có 10% là do tài xế có sử dụng điện thoại khi lái xe gây ra. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần? Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.

Gọi A là biến cố:Người đó sử dụng điện thoại khi lái xe

B là biến cố: Người đó gây tai nạn

Ta có:

ta cần tính

Lại có:

Câu 14 [680757]: Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Điền đáp án: 0,08.
Gọi

là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng đỏ được chuyển từ hộp I”.

là biến cố “Quả bóng lấy ra từ hộp II có màu đỏ.”
Theo công thức Bayes:

Với

: Xác suất vừa chuyển bóng đỏ từ hộp I và lấy đúng quả bóng đỏ đó từ hộp II.

: Xác suất lấy được một quả bóng đỏ từ hộp II (bất kể là bóng nào).
Gọi

là biến cố “Chuyển một quả bóng đỏ từ hộp I sang hộp II.”

là biến cố “Chuyển một quả bóng vàng từ hộp I sang hộp II.”
Ta có hệ biến cố đầy đủ

, với các xác suất:

Trường hợp 1 (chuyển bóng đỏ từ hộp I):
- Khi chuyển một quả bóng đỏ từ hộp I sang, hộp II có 8 quả bóng đỏ và 3 quả bóng vàng.
- Xác suất lấy bóng đỏ trong trường hợp này là:

Trường hợp 2 (chuyển bóng vàng từ hộp I):
- Khi chuyển một quả bóng vàng từ hộp I sang, hộp II có 7 quả bóng đỏ và 4 quả bóng vàng.
- Xác suất lấy bóng đỏ trong trường hợp này là:

Ta có sơ đồ cây:

Vậy xác suất lấy được một quả bóng đỏ từ hộp II là:

Xác suất vừa chuyển một quả bóng đỏ từ hộp I và lấy đúng quả đó từ hộp II là:

Áp dụng công thức Bayes:

Xác suất để quả bóng lấy ra từ hộp II là quả bóng đỏ đã được chuyển từ hộp I là 0.08.

Câu 15 [879787]: Một công ty sản xuất xe đạp điện, thống kê tất cả các phản ánh của khách hàng sử dụng sản phẩm của họ, công ty thấy có 5% số xe đạp điện bị lỗi động cơ điện; công ty đã dùng thiết bị kiểm tra để kiểm tra động cơ điện trước khi lắp ráp, thiết bị này khi kiểm tra các động cơ bị lỗi thì phát hiện đúng 98% động cơ bị lỗi, khi kiểm tra các động cơ không bị lỗi thì xác định sai 3% động cơ với kết quả báo bị lỗi nhưng hoạt động bình thường. Chọn ngẫu nhiên một chiếc xe đạp điện để kiểm tra.
Gọi các biến cố

: “xe đạp điện được chọn bị lỗi động cơ điện”;
và biến cố

: “động cơ điện của xe đạp điện được chọn qua kiểm tra thiết bị xác định bị lỗi”.
a) Tính

b) Tính xác suất để chiếc xe đạp điện được kiểm tra báo lỗi.
c) Biết động cơ chiếc xe được chọn đã được kiểm tra và báo bị lỗi, khi đó tính xác suất để chiếc xe này bị lỗi động cơ điện.

Dựa trên dữ kiện đề bài, ta có:

Ta có sơ đồ:

a)

b) Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

c) Áp dụng công thức Bayes:

Câu 16 [696347]: Có

thóc giống ST24 bị trộn lẫn với

thóc giống ST25 và được gieo trên một thửa ruộng, xác suất hạt nảy mầm của thóc giống ST24 gấp 1,125 lần xác suất hạt nảy mầm của thóc giống ST25. Biết rằng, xác suất nảy mầm của các hạt thóc trên thửa ruộng này là

và số hạt thóc trên

của các giống là bằng nhau. Chọn ngẫu nhiên một hạt nảy mầm, tính xác suất hạt này thuộc giống ST24. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Điền đáp án: 0,27.
Gọi

là biến cố “Lấy được một hạt thóc thuộc giống ST24”. Suy ra

Gọi

là biến cố “Lấy được một hạt thóc thuộc giống ST25”. Suy ra

.
Gọi

là biến cố “Lấy được một hạt nảy mầm”.
YCBT

Tính

Giả sử

Ta có sơ đồ cây sau:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất nảy mầm của các hạt thóc trên thửa ruộng là

Lại có

suy ra

Khi đó

Câu 17 [779005]: Ở vùng A, tỷ lệ người có thu nhập tốt là 60%, tỷ lệ người gửi tiết kiệm là 30%. Biết rằng số người vừa có thu nhập tốt vừa gửi tiết kiệm bằng một nửa số người không có thu nhập tốt và cũng không gửi tiết kiệm. Gặp một người ở vùng A, biết người này không gửi tiết kiệm, tính xác suất có thu nhập tốt (viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Điền đáp án: 0,7.
Gọi

là biến cố “Người đó có thu nhập tốt”;

là biến cố “Người đó không có thu nhập tốt”
Gọi

là biến cố “Người đó gửi tiết kiệm”;

là biến cố “Người đó không gửi tiết kiệm”.
Yêu cầu bài toán: Tính

Từ giả thiết, ta có

Giả sử

Từ các dữ kiện trên, ta có sơ đồ cây như sau:

Từ giả thiết:
“Tỷ lệ người gửi tiết kiệm là 30%”, ta có

“Số người vừa có thu nhập tốt vừa gửi tiết kiệm bằng 1 nửa số người không có thu nhập tốt và không gửi tiết kiệm” nên ta có

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Suy ra

Vậy xác suất cần tính bằng

Câu 18 [1018600]: Một nhà đầu tư đang xem xét đầu tư vào hai loại tài sản: Cổ phiếu và trái phiếu. Qua nghiên cứu thị trường có hai kịch bản sau có thể xảy ra:
Kịch bản Kinh tế tăng trưởng: Xác suất xảy ra kịch bản kinh tế tăng trưởng trong năm tới là

Trong kịch bản này, xác suất cổ phiếu mang lại lợi nhuận cao là

và xác suất trái phiếu mang lại lợi nhuận cao là

Kịch bản Kinh tế suy thoái: Xác suất xảy ra kịch bản kinh tế suy thoái trong năm tới là

Trong kịch bản này, xác suất cổ phiếu mang lại lợi nhuận cao là

và xác suất trái phiếu mang lại lợi nhuận cao là

Vào cuối năm, nhà đầu tư nhận thấy rằng trái phiếu đã mang lại lợi nhuận cao. Tính xác suất để kịch bản kinh tế trong năm đó là suy thoái (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Gọi :
Biến cố

: Kinh tế suy thoái.
Biến cố

: Trái phiếu có lợi nhuận cao.
Biến cố

: Kinh tế tăng trưởng.
Ta có

(Kinh tế suy thoái)

(Trong khi kinh tế suy thoái, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao)

( Kinh tế tăng trưởng)

( Trong khi kinh tế tăng trưởng, xác suất trái phiếu lợi nhuận cao)
Khi đó

Áp dụng định lý Bayes:

Câu 19 [145241]: Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là 83%. Theo thống kê biết rằng nếu chẩn đoán có bệnh thì đúng tới 90%, còn nếu chẩn đoán không bệnh thì chỉ đúng 80%. Xác suất chẩn đoán đúng là bao nhiêu?

Gọi A là biến cố: “Người đến khám có bệnh” và B là biến cố: “Phòng khám chẩn đoán có bệnh”
Ta có:

. Xác suất chuẩn đoán đúng khi có bệnh là

Xác suất chuẩn đoán đúng khi không có bệnh là:

Suy ra:

Xác suất không có bệnh là:

Áp dụng công thức có điều kiện ta tính xác suất chuẩn đoán có bệnh:

Xác suất chuẩn đoán đúng bao gồm cả trường hợp chuẩn đoán đúng có bệnh và chuẩn đoán đúng không bệnh là

Đáp án: 0,883.

Câu 20 [1005564]: Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là

Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi:
Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là

Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là

Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là

Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là

Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi.
Tính xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số có dạng