Câu 1 [792246]: Một bình đựng 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được 3 viên bi có đủ ba màu.
A, 
B, 
C, 
D, 
Xác suất để lấy được 3 viên bi có đủ ba màu là: 
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [805823]: (THPTHÀHUYTẬP-LẦN2-2018) Xét một phép thử có không gian mẫu 
và 
là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?
và là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai? A, 
khi và chỉ khi 
là chắc chắn.
khi và chỉ khi là chắc chắn.B, 
.
.C, Xác suất của biến cố 
là 
.
là .D, 
.
.
Khẳng định A sai vì 
là biến cố chắc chắn thì 
. Đáp án: A
là biến cố chắc chắn thì . Đáp án: A
Câu 3 [868531]: Cho hai biến cố 
độc lập với nhau. Biết 
và 
Hãy tính xác suất của biến cố 
độc lập với nhau. Biết và Hãy tính xác suất của biến cố A, 
B, 
C, 
D, 
HD: Do 
và 
là hai biến cố độc lập nên 
Ta có:
Đáp án: D
và là hai biến cố độc lập nên Ta có:
Đáp án: D
Câu 4 [792230]: [ Đề thi Đại Học A_2014] Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên ra 4 thẻ. Tính xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
A, 
B, 
C, 
D, 
Xác suất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn là: 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 5 [805835]: (HỌCKỲIĐANPHƯỢNGHÀNỘI2017-2018) Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có 1 bóng hỏng.
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn C
Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
Ta có
Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.
Tính được
Vậy
Đáp án: C
Trong 3 bóng có 1 bóng hỏng
Ta có
Gọi biến cố A : “Trong 3 bóng lấy ra có 1 bóng hỏng”.
Tính được
Vậy
Đáp án: C
Câu 6 [1018111]: Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nữ là [[20647354]]
Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là [[20647353]]
Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nữ là [[20647354]]
Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là [[20647353]]
Số cách chọn 3 học sinh từ 11 học sinh là: 
Số cách chọn 3 bạn học sinh nữ từ 6 bạn nữ là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nữ là:
Số cách chọn 3 bạn học sinh nam từ 5 bạn nam là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nam là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Lần lượt kéo thả các đáp án:
và 
Số cách chọn 3 bạn học sinh nữ từ 6 bạn nữ là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nữ là:
Số cách chọn 3 bạn học sinh nam từ 5 bạn nam là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn đều là nam là:
Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là:
Lần lượt kéo thả các đáp án:
và
Câu 7 [805848]: (CHUYÊNĐHSPHN-2018) Một người làm vườn có 
cây giống gồm 
cây xoài, 
cây mít và 
cây ổi. Người đó muốn chọn ra 
cây giống để trồng. Tính xác suất để 
cây được chọn, mỗi loại có đúng 
cây.
cây giống gồm cây xoài, cây mít và cây ổi. Người đó muốn chọn ra cây giống để trồng. Tính xác suất để cây được chọn, mỗi loại có đúng cây. A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Số phần tử của không gian mẫu là: 
.
Gọi
là biến cố: “
cây được chọn, mỗi loại có đúng 
cây”.
Ta có:
.
Vậy:
. Đáp án: C
.Gọi
là biến cố: “ cây được chọn, mỗi loại có đúng cây”. Ta có:
.Vậy:
. Đáp án: C
Câu 8 [792280]: Một chiếc hộp chứa 9 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ và 2 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu đỏ bằng
A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn C
Ta có:
Gọi biến cố
: “3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”.
Suy biến cố đối là
: “3 quả cầu không có quả màu đỏ”.
Vậy
Đáp án: C
Ta có:
Gọi biến cố
: “3 quả cầu có ít nhất 1 quả màu đỏ”. Suy biến cố đối là
: “3 quả cầu không có quả màu đỏ”. Vậy
Đáp án: C
Câu 9 [1018112]: Kéo các ô sau thả vào vị trí thích hợp để được khẳng định đúng:
Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là 0,8 và 0,6.
Xác suất để cả hai bạn đều giành giải thưởng là [[20647361]]
Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là [[20647364]]
Hai bạn An và Bình tham gia một trò chơi độc lập với nhau. Xác suất để An và Bình giành giải thưởng tương ứng là 0,8 và 0,6.
Xác suất để cả hai bạn đều giành giải thưởng là [[20647361]]
Xác suất để có ít nhất một bạn giành giải thưởng là [[20647364]]
Vì hai bạn tham gia một trò chơi độc lập với nhau, xác suất để An và Bình đều giành giải thưởng là 
Xác suất để cả hai bạn không ai thắng là:
Xác suất để có ít nhất một bạn thắng là:
Lần lượt kéo thả các đáp án 0,48 và 0,92.
Xác suất để cả hai bạn không ai thắng là:
Xác suất để có ít nhất một bạn thắng là:
Lần lượt kéo thả các đáp án 0,48 và 0,92.
Câu 10 [806130]: Một chiếc ôtô với hai động cơ độc lập đang gặp trục trặc kĩ thuật. Xác suất để động cơ 1 gặp trục trặc là 0,5. Xác suất để động cơ 2 gặp trục trặc là 0,4. Biết rằng xe chỉ không thể chạy được khi cả hai động cơ bị hỏng. Tính xác suất để xe đi được.
A, 
B, 
C, 
D, 
Gọi 
là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi 
là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”.
Suy ra
là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” 
“ xe không chạy được nữa”.
Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên
và 
là hai biến cố độc lập.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là 
Vậy xác suất để xe đi được là
Đáp án: B
là biến cố “động cơ 1 bị hỏng”, gọi là biến cố “động cơ 2 bị hỏng”. Suy ra
là biến cố “cả hai động cơ bị hỏng” “ xe không chạy được nữa”. Lại thấy hai động cơ hoạt động độc lập nên
và là hai biến cố độc lập. Áp dụng quy tắc nhân xác suất ta được xác suất để xe phải dừng lại giữa đường là Vậy xác suất để xe đi được là
Đáp án: B
Câu 11 [868533]: Một lớp 40 học sinh, trong đó có 22 em học khá môn Toán, 25 em học khá môn Ngữ văn và 3 em không học khá cả hai môn này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.
Gọi biến cố A: “Học sinh đó học khá môn Toán”.
Gọi biến cố B: “Học sinh đó học khá môn Ngữ Văn”.
Gọi biến cố A: “Học sinh đó học khá môn Toán”.
Gọi biến cố B: “Học sinh đó học khá môn Ngữ Văn”.
a) Xác suất 
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Xác suất em được chọn không học khá cả hai môn Toán và Ngữ văn:
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Số học sinh học khá cả hai môn:
Xác suất để học sinh đó học khá ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Ngữ văn là:
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Xác suất học sinh được chọn học khá cả môn Toán và môn Ngữ văn là
Suy ra mệnh đề d) sai.
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Xác suất em được chọn không học khá cả hai môn Toán và Ngữ văn:
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Số học sinh học khá cả hai môn:
Xác suất để học sinh đó học khá ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Ngữ văn là:
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Xác suất học sinh được chọn học khá cả môn Toán và môn Ngữ văn là
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 12 [868536]: Gieo hai đồng xu 
và 
một cách độc lập. Đồng xu 
được chế tạo cân đối. Đồng xu 
được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa.
Gọi
là biến cố: "Đồng xu 
xuất hiện mặt ngửa".
Gọi
là biến cố: "Đồng xu 
xuất hiện mặt ngửa".
và một cách độc lập. Đồng xu được chế tạo cân đối. Đồng xu được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Gọi
là biến cố: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa".Gọi
là biến cố: "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa".
Vì đồng xu 
chế tạo cân đối nên 
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa của nó nên
Xác suất khi gieo hai đồng xu một lần thì chúng đều ngửa:
Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là
Suy ra xác suất khi gieo hai lần thì cả hai lần đó hai đồng xu đều ngửa là:
chế tạo cân đối nên
Vì xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu gấp 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa của nó nên
Xác suất khi gieo hai đồng xu một lần thì chúng đều ngửa:
Xác suất để trong một lần gieo cả hai đồng xu đều ngửa là
Suy ra xác suất khi gieo hai lần thì cả hai lần đó hai đồng xu đều ngửa là:
Câu 13 [868538]: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ I chạy tốt và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,9 và 0,8. Tính xác suất để có ít nhất 1 động cơ chạy tốt.
Gọi 
là động cơ thứ 
chạy tốt.
Gọi
là biến cố “ có ít nhất một động cơ chạy tốt”
là biến cố “ không động cơ nào chạy tốt”
Ta có:
Vậy
là động cơ thứ chạy tốt.Gọi
là biến cố “ có ít nhất một động cơ chạy tốt” là biến cố “ không động cơ nào chạy tốt”Ta có:
Vậy
Câu 14 [868539]: Cho 
là hai biến cố độc lập và 
Tìm 
là hai biến cố độc lập và Tìm
Ta có 
Điền đáp án: 0,9.
Điền đáp án: 0,9.
Câu 15 [1004746]: Một nghiên cứu tại một trường đại học cho biết tỉ lệ sinh viên dùng cà phê để duy trì tỉnh táo khi học vào ban đêm là 70%. Giả sử chọn ngẫu nhiên 3 sinh viên từ nhóm khảo sát trên phỏng vấn
Gọi 
: “Sinh viên thứ 
dùng cà phê” 
, 
a) Đúng.
.Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là
b) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là :
c) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là:
d) Sai.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê là:
: “Sinh viên thứ dùng cà phê” ,
a) Đúng.
.Xác suất để cả 3 sinh viên đều dùng cà phê để duy trì tỉnh táo là
b) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có ít nhất 1 sinh viên không dùng cà phê là :
c) Đúng.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên dùng cà phê là:
d) Sai.
Xác suất trong 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên dùng cà phê và 1 sinh viên không dùng cà phê là:
Câu 16 [868540]: Một hộp chứa 
viên bi đỏ, 
viên bi xanh và 
viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau). Lấy ngẫu nhiên 
viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong 
viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
viên bi đỏ, viên bi xanh và viên bi vàng (các viên bi kích thước như nhau). Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp. Tính xác suất để trong viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Lấy ngẫu nhiên 
viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: 
Gọi
là biến cố: “
viên bi lấy được trong hộp có nhiều nhất 2 viên bi đỏ”.
TH1: Không lấy được viên bi đỏ nào trong
bi có 
cách
TH2: Lấy được
bi đỏ trong 
bi có 
cách
TH3: Lấy được
bi đỏ trong 
bi có 
cách
Số kết quả thuận lợi cho
là:
Khi đó, xác suất để trong
viên bi lấy được trong hộp có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là: Gọi
là biến cố: “ viên bi lấy được trong hộp có nhiều nhất 2 viên bi đỏ”. TH1: Không lấy được viên bi đỏ nào trong
bi có cáchTH2: Lấy được
bi đỏ trong bi có cáchTH3: Lấy được
bi đỏ trong bi có cáchSố kết quả thuận lợi cho
là:Khi đó, xác suất để trong
viên bi lấy được trong hộp có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
Câu 17 [879760]: Đội tuyển cầu lông của Trường X có 2 vận động viên, mỗi vận động viên thi đấu một trận. Xác suất thắng trận của các vận viên A, B lần lượt là: 0,9; 0,7. Tính xác suất
a) Đội tuyển thắng cả 2 trận.
b) Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận.
a) Đội tuyển thắng cả 2 trận.
b) Đội tuyển thắng ít nhất 1 trận.
Gọi 
là biến cố “Vận động viên A thắng trận”, 
là biến cố “Vận động viên B thắng trận” 
a) Vì hai vận động viên A và B là độc lập với nhau nên xác suất đội tuyển thắng cả hai trận:
b) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận:
là biến cố “Vận động viên A thắng trận”, là biến cố “Vận động viên B thắng trận”
a) Vì hai vận động viên A và B là độc lập với nhau nên xác suất đội tuyển thắng cả hai trận:
b) Xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận:
Câu 18 [879761]: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm.
a) Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.
b) Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt.
a) Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.
b) Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt.
a) Xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt là: 
b) Xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt là:
b) Xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt là:
Câu 19 [879762]: Có ba người cùng đi câu cá. Xác suất câu được cá của người thứ nhất là 0,5. Xác suất câu được cá của người thứ hai là 0,4. Xác suất câu được cá của người thứ ba là 0,3.
a) Tính xác suất của biến cố “Cả ba người đều câu được cá”
b) Tính xác suất của biến cố “ít nhất 1 người câu được cá”
c) Tính xác suất của biến cố “Có đúng 2 người câu được cá”
a) Tính xác suất của biến cố “Cả ba người đều câu được cá”
b) Tính xác suất của biến cố “ít nhất 1 người câu được cá”
c) Tính xác suất của biến cố “Có đúng 2 người câu được cá”
a) Xác suất “Cả ba người đều câu được cá” là: 
b) Xác suất “ít nhất 1 người câu được cá” là:
c) Xác suất “Có đúng 2 người câu được cá” là:
b) Xác suất “ít nhất 1 người câu được cá” là:
c) Xác suất “Có đúng 2 người câu được cá” là:
Câu 20 [1001287]: Một xạ thủ bắn bia, trên bia có các vòng tròn tính điểm (từ 5 đến 10) như hình vẽ.
Mỗi lần bắn, xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 8 là
; trúng vòng dưới 8 (kẻ cả bắn trượt) là 
. Gọi 
lần lượt là xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 10 và vòng 9 trong mỗi lần bắn. Biết rằng nếu xạ thủ đó bắn ba phát vào bia thì xác suất cả ba lần bắn trúng vòng 10 là 
.
Mỗi lần bắn, xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 8 là
; trúng vòng dưới 8 (kẻ cả bắn trượt) là . Gọi lần lượt là xác suất xạ thủ đó bắn trúng vòng 10 và vòng 9 trong mỗi lần bắn. Biết rằng nếu xạ thủ đó bắn ba phát vào bia thì xác suất cả ba lần bắn trúng vòng 10 là .
a). Đúng
Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là
b). SAI
.
c). SAI
Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9.
Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là
.
d). ĐÚNG
Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135.
Tính xác suất đạt 28 điểm:
TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là
.
TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là
.
Suy ra xác suất đạt 28 điểm là:
.
Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là
.
Xác suất 3 lần bắn trúng vòng 10 là
b). SAI
.
c). SAI
Để đạt 29 điểm thì cần 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 9.
Có 3 cách chọn lần bắn trúng vòng 9 nên xác suất là
.
d). ĐÚNG
Xác suất đạt 30 điểm là 0,003375; xác suất đạt 29 điểm là 0,0135.
Tính xác suất đạt 28 điểm:
TH1: Có 2 lần bắn trúng vòng 10 và 1 lần bắn trúng vòng 8: Xác suất là
.
TH2: Có 1 lần bắn trúng vòng 10 và 2 lần bắn trúng vòng 9: Xác suất là
.
Suy ra xác suất đạt 28 điểm là:
.
Vậy xác suất đạt ít nhất 28 điểm là
.
Câu 21 [1002581]: Trong một giờ ôn tập môn Toán. Thầy giáo có chuẩn bị các phiếu bài tập gồm hai chủ đề là Thống kê và Xác suất để giao cho 40 bạn học sinh của lớp 12T. Sau khi hết giờ học, thầy giáo thu phiếu và nhận thấy rằng: Có 35 học sinh làm tốt chủ đề Thống kê, có 30 học sinh làm tốt chủ đề Xác suất, có 4 học sinh làm hai chủ đề đều không tốt. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong lớp. Gọi các biến cố:
: “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Thống kê”.
“Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất”.
: “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Thống kê”. “Học sinh được chọn làm tốt chủ đề Xác suất”.
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng
a) Đúng.
.
b) Đúng.
c) Sai.
.
d) Đúng.
Gọi số học sinh chỉ làm tốt môn thống kê là
, số học sinh chỉ làm tốt môn xác suất là 
, số học sinh làm tốt cả 
môn thống kê và xác suất là 
.
Ta có
.
a) Đúng.
.
b) Đúng.
c) Sai.
.
d) Đúng.
Gọi số học sinh chỉ làm tốt môn thống kê là
, số học sinh chỉ làm tốt môn xác suất là , số học sinh làm tốt cả môn thống kê và xác suất là .
Ta có
.
Câu 22 [1005390]: Có hai người gọi điện thoại đến hai số điện thoại khác nhau nhưng đều quên mất chữ số cuối. Họ đều thử ngẫu nhiên các chữ số từ 
đến 
và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
đến và không lặp lại các số đã thử. Tính xác suất để ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần.
Trả lời: 32
Gọi A: “Ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần”
“Cả hai người gọi thử cả 2 lần đều không đúng”
Xác xuất gọi sai cả hai lần của mỗi người là
.
Hai người gọi điện là độc lập nên
.
Vậy
Gọi A: “Ít nhất một trong hai người đó gọi đúng số điện thoại đã quên mà không phải thử quá hai lần”
“Cả hai người gọi thử cả 2 lần đều không đúng”Xác xuất gọi sai cả hai lần của mỗi người là
.Hai người gọi điện là độc lập nên
.Vậy
Câu 23 [1002905]: Bạn Bảo có 
viên bi được đánh số từ 
đến 
, bạn Bình có 
viên bi được đánh số từ 
đến 
. Hai bạn cùng chơi một trò chơi bằng cách mỗi bạn bốc ra 
viên bi và ghép lại theo thứ tự giảm dần để được số tự nhiên có 
chữ số. Người thắng cuộc là người có số lớn hơn. Hỏi xác suất để bạn Bảo thắng bạn Bình là bao nhiêu ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
viên bi được đánh số từ đến , bạn Bình có viên bi được đánh số từ đến . Hai bạn cùng chơi một trò chơi bằng cách mỗi bạn bốc ra viên bi và ghép lại theo thứ tự giảm dần để được số tự nhiên có chữ số. Người thắng cuộc là người có số lớn hơn. Hỏi xác suất để bạn Bảo thắng bạn Bình là bao nhiêu ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Đáp số: 
.
Để Bảo thắng Bình có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bảo chọn được viên bi số
Khi đó Bảo luôn thắng Bình nên xác suất để Bảo thắng Bình bằng xác suất để Bảo chọn được bi số
là: 
Trường hợp 2: Bảo không chọn được viên bi số
Xác suất để Bảo không chọn được bi số
là: 
Khi đó ta tính xác suất sao cho hai bạn chọn cùng bộ số.
Số cách để Bảo chọn
viên bi bất kì là 
ứng với mỗi cách Bảo chọn thì Bình chỉ có duy nhất một cách chọn giống Bảo. Nên xác suất để hai bạn chọn cùng số là: 
nên xác suất để Bảo chọn được số lớn hơn là: 
Trường hợp này, xác suất để Bảo thắng Bình là :
Vậy xác suất cần tìm là:
.Để Bảo thắng Bình có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bảo chọn được viên bi số
Khi đó Bảo luôn thắng Bình nên xác suất để Bảo thắng Bình bằng xác suất để Bảo chọn được bi số
là: Trường hợp 2: Bảo không chọn được viên bi số
Xác suất để Bảo không chọn được bi số
là: Khi đó ta tính xác suất sao cho hai bạn chọn cùng bộ số.
Số cách để Bảo chọn
viên bi bất kì là ứng với mỗi cách Bảo chọn thì Bình chỉ có duy nhất một cách chọn giống Bảo. Nên xác suất để hai bạn chọn cùng số là: nên xác suất để Bảo chọn được số lớn hơn là: Trường hợp này, xác suất để Bảo thắng Bình là :
Vậy xác suất cần tìm là:
Câu 24 [1018068]: Có hai hộp chứa các tấm thẻ. Hộp I chứa 8 tấm thẻ màu vàng được đánh số từ 1 đến 8, hộp II chứa 9 tấm thẻ màu đỏ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.
a) Tính xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau.
b) Tính xác suất để tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn.
c) Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Tính xác suất để thu được số chia hết cho 3.
a) Tính xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau.
b) Tính xác suất để tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn.
c) Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Tính xác suất để thu được số chia hết cho 3.
Lấy một tấm thẻ từ hộp I có 8 cách.
Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là
cách.
a)
: “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”
Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là
Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng
b)
: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”
: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”
Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ
c)
“Ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ) ”
Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có
cách.
+ Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có
cách.
+ Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có
cách.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là
cách.
Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng
Lấy một tấm thẻ từ hộp II có 9 cách.
Theo quy tắc nhân, số cách lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ là
cách.
a)
: “Chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau”
Số cách chọn được hai tấm thẻ giống nhau là
Xác suất chọn được hai tấm thẻ có số giống nhau bằng
b)
: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số chẵn”
: “Tích các số trên hai tấm thẻ lấy được là một số lẻ”
Để tích các số trên hai tấm thẻ là số lẻ thì cả hai số đều là số lẻ
c)
“Ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số chia hết cho 3 có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ) ”
Sau khi 2 tấm thẻ được lấy ra ta ghép hai chữ số trên hai tấm thẻ với nhau để được một số có hai chữ số (chữ số hàng chục là số trên tấm thẻ màu vàng và chữ số hàng đơn vị là số trên tấm thẻ màu đỏ). Để thu được số chia hết cho 3 có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Chọn được cả hai số hàng chục và hàng đơn vị đều chia hết cho 3 có
cách.
+ Trường hợp 2: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 1, số hàng đơn vị chia 3 dư 2 có
cách.
+ Trường hợp 3: Chọn được hai số mà số hàng chục chia 3 dư 2, số hàng đơn vị chia 3 dư 1 có
cách.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn 2 thẻ để ghép được số chia hết cho 3 là
cách.
Xác suất để thu được số chia hết cho 3 bằng
Câu 25 [931479]: An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất An thắng mỗi séc là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất An thắng chung cuộc. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án: 0,32
Biết số trận thắng trước là 3 sẽ giành chiến thắng chung cuộc nên An phải chơi tối đa 5 trận.
Gọi H là biến cố: "An thắng chung cuộc",
A là biến cố: "An thắng trận sau 3 séc",
B là biến cố: "An thắng trận sau 4 séc",
C là biến cố: "An thắng trận sau 5 séc".
Khi đó,
và 
đôi một xung khắc.
Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
.
Xác suất An thắng trận sau 3 séc là
.
Để An thắng trận sau 4 séc thì An phải thua 1 trong 3 séc đầu và séc cuối thắng.
Suy ra xác suất An thắng trận sau 4 séc là
.
Để An thắng trận sau 5 séc thì An phải thua 2 trong 4 séc đầu và séc cuối thắng.
Suy ra xác suất An thắng trận sau 5 séc là
.
Vậy xác suất An thắng chung cuộc là
.
Biết số trận thắng trước là 3 sẽ giành chiến thắng chung cuộc nên An phải chơi tối đa 5 trận.
Gọi H là biến cố: "An thắng chung cuộc",
A là biến cố: "An thắng trận sau 3 séc",
B là biến cố: "An thắng trận sau 4 séc",
C là biến cố: "An thắng trận sau 5 séc".
Khi đó,
và đôi một xung khắc.
Áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có
.
Xác suất An thắng trận sau 3 séc là
.
Để An thắng trận sau 4 séc thì An phải thua 1 trong 3 séc đầu và séc cuối thắng.
Suy ra xác suất An thắng trận sau 4 séc là
.
Để An thắng trận sau 5 séc thì An phải thua 2 trong 4 séc đầu và séc cuối thắng.
Suy ra xác suất An thắng trận sau 5 séc là
.
Vậy xác suất An thắng chung cuộc là
.