Quay lại
Đáp án
Câu 1 [522571]: Trong không gian , cho mặt cầu và điểm . Bốn điểm thay đổi trên mặt cầu sao cho tứ giác là hình vuông. Khi khối chóp có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa bốn điểm có phương trình là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn B
5.5hinh3.png

Nhận thấy điểm nên đây chính là bài toán tìm thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu . Gọi là tâm của hình vuông .

tâm mặt cầu , bán kính

Đặt , với .

;



Thể tích khối chóp bằng

Đặt , với



Xét hàm số , với

5.6hinhf2.png
Từ bảng biến thiên suy ra khi



Vì mặt phẳng nên mặt phẳng nhận véc tơ làm véctơ pháp tuyến nên phương trình có dạng:



hoặc .

Vì
Đáp án: B
Câu 2 [59092]: Trong không gian cho mặt cầu Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm và cắt theo giao tuyến là đường tròn sao cho khối nón có đỉnh là tâm của đáy là có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng có phương trình dạng tính
Điền đáp án: -4.
Mặt cầu có tâm và bán kính
Điểm
Điểm
Mặt phẳng có dạng
Gọi là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng và là bán kính của đường tròn
Khi đó khối nón có đỉnh và đáy là đường tròn có thể tích là:

Đặt ,().
và
(vì ).
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi
Mà nên

Vậy
Câu 3 [43310]: Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng các điểm ( và nằm trên mặt phẳng ) và mặt cầu là một đường kính thay đổi của sao cho và bốn điểm tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.

+) Sử dụng kết quả: Tứ diện biết và . Thể tích tứ diện là
+) Mặt cầu ( ) có tâm và bán kính .
Ta có:
và .
Áp dụng công thức (*)


Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện bằng , khi . Đáp án: A
Câu 4 [903990]: Trong không gian cho đường thẳng và mặt cầu Hai điểm thay đổi trên sao cho tiếp diện của tại và vuông góc với nhau. Đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại đường thẳng qua song song với cắt mặt phẳng tại Tìm giá trị lớn nhất của tổng
A,
B,
C,
D,

Theo giả thiết, ta có: là hai điểm thay đổi trên
Gọi lần lượt là tiếp diện của mặt cầu tại hai điểm
lần lượt là vecto pháp tuyến của
Hai thiết diện vuông góc với nhau
Theo giả thiết, lại có: và
là hình thang. Gọi lần lượt là trung điểm của
Áp dụng tính chất đường trung bình của hình thang, ta có:


Xét

là trung điểm
luôn nằm trên mặt cầu
Có: là đường trung bình của hình thang


Gọi là hình chiếu của trên


Có:

nằm trên đỉnh mặt cầu


Đáp án: A. Đáp án: A
Câu 5 [902892]: Trong không gian tọa độ cho mặt cầu Biết rẳng từ một điểm thuộc mặt phẳng ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau đến mặt cầu (trong đó là các tiếp điểm). Tính giá trị lớn nhất của
A,
B,
C,
D,



Từ ta luôn kẻ được ba tiếp tuyến đôi một vuông góc với nhau.
Có







+ Hình chiếu lên :


Đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [906260]: Trong không gian tọa độ cho ba điểm và mặt phẳng Điểm nằm trên mặt phẳng sao cho và đều tạo với mặt phẳng các góc bằng nhau. Tính khoảng cách lớn nhất của đoạn
A,
B,
C,
D,




Ta có:



Theo giả thiết, ta có: sao cho tạo với mặt phẳng góc bẳng nhau.
Gọi hình chiếu của trên mặt phẳng lần lượt là






luôn nằm trên mặt cầu có tâm và bán kính
Lại có:


Khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất khi và khi hình chiếu của trên mặt phẳng là xa nhất, hay
Có:




Đáp án: 7,099019.

Đáp án: D
Câu 7 [59189]: Trong không gian , cho hai điểm . Gọi là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến cảu hai mặt cầu và . Xét hai điểm bất kì thuộc sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

có tâm
có tâm
Ta có tâm đường tròn thiết diện chính là
Phương trình qua và nhận làm VTPT là:
khác phía so với
Xét tiết diện thả̉ng chứa và hai hình chiếu của lên
Ta có
Ta tìm nhỏ nhất
Gọi là ảnh cùa qua phép tịnh tiến theo (cùng hướng với và có độ dài bằng 1 )
Ta có nhȯ nhất khi , khi đó .

Câu 8 [804009]: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm và mặt cầu tâm , bán kính . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn . Gọi là khối nón có đỉnh và nhận làm đường tròn đáy. Tính bán kính của khi thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn A

 Ta có:
Suy ra điểm nằm bên trong mặt cầu
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng và là bán kính đường tròn giao tuyến
và cũng chính là đường cao của khối nón . Mà với nên
Ta đặt
Suy ra
Xét hàm có

Bảng biến thiên hàm như sau:

Dựa vào BBT ta kết luận được
khi Đáp án: A
Câu 9 [903623]: Trong không gian , cho hình nón có đỉnh và đường tròn đáy có tâm , bán kính không đổi. Hình trụ có một đường tròn đáy tâm , đường tròn đáy còn lại có tâm và đường tròn này nằm trên mặt xung quanh của hình nón . Khi có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn tâm có phương trình . Tính
Điền đáp án: 30.

Xét mặt phẳng qua trục của hình nón, cắt hình nón và hình trụ theo tam giác và hình chữ nhật (như hình). Đặt () .
Khi đó hình trụ có chiều cao , bán kính .
Trong mp : và đồng dạng nên .
Thể tích khối trụ là:


Dấu bằng xảy ra khi .
Khi có thể tích lớn nhất thì
Khi đó mặt phẳng chứa đường tròn đáy tâm và nhận haylàm VTPT nên có phương trình .
Mà theo giả thiết mp đó có phương trình , do đó .
Vậy .
Câu 10 [971972]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D
25.png
Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là .
Đáp án: D
Câu 11 [971973]: Trong không gian tọa độ cho hai điểm và Xét hai điểm và thay đổi thuộc mặt phẳng sao cho Giá trị lớn nhất của bằng
A,
B,
C,
D,
Chọn D
25.png
Dễ thấy , nằm hai phía của mặt phẳng .
Gọi đối xứng với qua mặt phẳng suy ra , .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của và lên mặt phẳng , ta có , . Do đó .
Dựng suy ra . Vậy .
Ta đi tìm giá trị lớn nhất của .
Do nằm trên mặt phẳng , nên .
Suy ra nằm trên mặt phẳng chứa , song song với .
Mà nên quỹ tích là đường tròn .
Kẻ .
Có .
Dấu "=" xảy ra khi nằm giữa .
Vậy GTLN của là . Đáp án: D
Câu 12 [808979]: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng . Gọi là điểm di động thuộc mặt phẳng sao cho và là điểm di động thuộc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
A,
B,
C,
D,
Chọn đáp án A.
Ta có: là điểm di động thuộc mặt phẳng nên suy ra
Mà nên suy ra
Ta lại có:


Suy ra tập hợp các điểm thuộc mặt phẳng là một đường tròn có tâm và bán kính với đường tròn là giao tuyến giữa mặt cầu đường kính và mặt phẳng
Gọi
Mà ta có là điểm di động thuộc nên với

Giá trị nhỏ nhất của bằng 2
Dấu bằng xảy ra khi Đáp án: A
Câu 13 [222336]: Trong không gian , cho mặt phẳng và mặt cầu . Một khối hộp chữ nhật có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu . Khi có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của nằm trên mặt cầu là . Giá trị bằng
Chọn B.
316.PNG
Ta có mặt cầu có tâm và bán kính và .
Do là hình hộp chữ nhật nên .
Khi đó
Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp bốn điểm của khối hộp nằm trên mặt cầu là
Gọi là hai cạnh của hình chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật là
Áp dụng bất đẳng thức :
Ta có thể tích của khối hộp là
Đẳng thức xảy ra khi .
Câu 14 [81696]: Trong không gian cho điểm và mặt cầu Gọi là giao tuyến của và mặt phẳng Lấy hai điểm M, N trên sao cho Khi tứ diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào dưới đây?
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A
Câu 15 [59171]: Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng . Gọi là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của , trên . Biết rằng khi thì trung điểm của luôn thuộc một đường thẳng cố định, phương trình của đường thẳng là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn đáp án A.
Gọi là trung điểm của đoạn và là mặt phảng trung trực của đoạn .
Ta có:.
.
Ta có: Trung điểm của đoạn là .
Phương trình của mặt phảng là .
Vectơ pháp tuyến của lần lượt là .
và vectơ chỉ phương của là .
Vậy phương trình của đường thảng là . Đáp án: A
Câu 16 [59218]: Trong không gian cho mặt cầu có tâm bán kính bằng 4 và mặt cầu có tâm bán kính bằng 2. là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu , . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến . Giá trị bằng bao nhiêu?
Điền đáp án: 9.
Do nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử cắt tại ta có
là trung điểm của
.
Khi đó
Mặt khác
Do đó chọn
Đặt


Mặt khác:
.
Câu 17 [907311]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi và lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến và từ đến . Tìm tọa độ điểm nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng và sao cho diện tích tam giác đạt giá trị nhỏ nhất.
A, .
B, .
C, . .
D, .


- lần lượt là hai mặt phẳng chứa tất cả các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ đến
-Giả sử điểm là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ
luôn nhìn dưới một góc vuông
luôn nằm trên mặt cầu có đường kính là : có tâm là




Hiệu 2 phương trình mặt cầu ta được phương trình mặt phẳng giao giữa hai mặt cầu:

Tương tự, ta tìm được phương trình mặt phẳng
Lại có: nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nên ta tìm được phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng là:

Gọi là hình chiếu của trên

Để đạt giá trị nhỏ nhất thì Suy ra, phải là đường vuông góc chung của và :


Có: là đường vuông góc chung của và


Đáp án: C. Đáp án: C
Câu 18 [81697]: Trong không gian toạ độ gọi là đường thẳng đi qua song song với mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa và lớn nhất. Đường thẳng đi qua điểm nào trong các điểm sau:
A,
B,
C,
D,
Đáp án: D
Câu 19 [81698]: Trong không gian toạ độ phương trình đường thẳng đi qua cắt đường thẳng , sao cho khoảng cách giữa và lớn nhất có một vectơ chỉ phương là
A,
B,
C,
D,
Đáp án: A