Câu 1 [1070640]: Xét một trường cấp ba có 1032 học sinh, có ít nhất bao nhiêu học sinh có cùng ngày sinh nhật?
A, 2.
B, 3.
C, 4.
D, 5.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet
Ta có số "lồng" là 366 (ngày trong năm) và số "thỏ" là 1032 (học sinh).
Theo nguyên lý, sẽ có ít nhất một lồng chứa
học sinh.
Vậy có ít nhất 3 học sinh có cùng ngày sinh nhật.
🔑 Chọn đáp án: 3. Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet
Ta có số "lồng" là 366 (ngày trong năm) và số "thỏ" là 1032 (học sinh).
Theo nguyên lý, sẽ có ít nhất một lồng chứa
học sinh.Vậy có ít nhất 3 học sinh có cùng ngày sinh nhật.
🔑 Chọn đáp án: 3. Đáp án: B
Câu 2 [1070641]: Những phát biểu nào dưới đây đúng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
• Với 33 người và 365 ngày sinh, ta có
, nên chưa chắc có 
người sinh cùng ngày.
• Khi chia
số nguyên cho 
, ta được 
số dư 0, 1, 2. Vì có 4 số nên theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số có cùng số dư.
• Với
số nguyên chia cho 
, chỉ có 
số dư có thể xảy ra (từ 
đến 
), nên chắc chắn có hai số có cùng số dư,
• Với 100 người và 12 tháng, ta có
, nên chỉ có ít nhất 
người sinh cùng tháng, không chắc 10 người.
🔑 Chọn phát biểu thứ hai và phát biểu thứ ba.
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
• Với 33 người và 365 ngày sinh, ta có
, nên chưa chắc có người sinh cùng ngày.• Khi chia
số nguyên cho , ta được số dư 0, 1, 2. Vì có 4 số nên theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số có cùng số dư.• Với
số nguyên chia cho , chỉ có số dư có thể xảy ra (từ đến ), nên chắc chắn có hai số có cùng số dư,• Với 100 người và 12 tháng, ta có
, nên chỉ có ít nhất người sinh cùng tháng, không chắc 10 người.🔑 Chọn phát biểu thứ hai và phát biểu thứ ba.
Câu 3 [1070642]: Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét các phát biểu:
• Với n là một số nguyên dương cho trước, xét
số nguyên tuỳ ý.
Khi chia các số này cho n, ta có thể nhận được n số dư
.
Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho
, nên hiệu của chúng chia hết cho n.
• Xét 2004 số:
Khi chia các số này cho 2003, có 2003 số dư khác nhau có thể xảy ra.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 2004 số trên sẽ có hai số có cùng số dư.
Lấy ví dụ với:
Giả sử:
Lấy hiệu hai số: 
Lại có
không chia hết cho 2003 nên 
.
🔑 Đáp án: Đúng – Đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét các phát biểu:
• Với n là một số nguyên dương cho trước, xét
số nguyên tuỳ ý.Khi chia các số này cho n, ta có thể nhận được n số dư
.Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho
, nên hiệu của chúng chia hết cho n.• Xét 2004 số:
Khi chia các số này cho 2003, có 2003 số dư khác nhau có thể xảy ra.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 2004 số trên sẽ có hai số có cùng số dư.
Lấy ví dụ với:
Giả sử:
Lấy hiệu hai số: Lại có
không chia hết cho 2003 nên .🔑 Đáp án: Đúng – Đúng.
Câu 4 [1070643]: Kéo và thả các thẻ thích hợp từ các thẻ đã cho để được lời giải đúng của bài toán sau.
Bài toán: Trong một hình vuông cạnh 1 m lấy ra 51 điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm nằm trong một hình tròn có bán kính bé hơn
Lời giải: Ta không thể chia hình vuông lớn thành 25 hình tròn được, vì vậy ta sẽ chia thành [[21449032]] hình vuông nhỏ. Sau đó ta cho từng hình vuông nội tiếp trong từng đường tròn, khi đó đường chéo của hình vuông chính là đường kính của hình tròn.
Mỗi hình vuông có cạnh là [[21449033]] m và có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng [[21449034]] m. Vì có tất cả 51 điểm trong 25 hình vuông nên theo nguyên lý Dirichlet ắt có 
điểm nằm trong cùng một hình vuông nhỏ.
Ba điểm đó nằm trong hình tròn có bán kính 
bé hơn 
Bài toán: Trong một hình vuông cạnh 1 m lấy ra 51 điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm nằm trong một hình tròn có bán kính bé hơn
Lời giải: Ta không thể chia hình vuông lớn thành 25 hình tròn được, vì vậy ta sẽ chia thành [[21449032]] hình vuông nhỏ. Sau đó ta cho từng hình vuông nội tiếp trong từng đường tròn, khi đó đường chéo của hình vuông chính là đường kính của hình tròn.
điểm nằm trong cùng một hình vuông nhỏ. Ba điểm đó nằm trong hình tròn có bán kính bé hơn
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Hoàn thành lời giải:
Ta không thể chia hình vuông lớn thành 25 hình tròn được, vì vậy ta sẽ chia thành 25 hình vuông nhỏ.
Sau đó ta cho từng hình vuông nội tiếp trong từng đường tròn, khi đó đường chéo của hình vuông chính là đường kính của hình tròn.
Mỗi hình vuông có cạnh là
m = 0,2 m và có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 
m.
Vì có tất cả 51 điểm trong 25 hình vuông nên theo nguyên lý Dirichlet ắt có
điểm nằm trong cùng một hình vuông nhỏ.
Ba điểm đó nằm trong hình tròn có bán kính 
m bé hơn 
m.
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 25; 0,2;
✍️ Hướng dẫn giải:
Hoàn thành lời giải:
Ta không thể chia hình vuông lớn thành 25 hình tròn được, vì vậy ta sẽ chia thành 25 hình vuông nhỏ.
Sau đó ta cho từng hình vuông nội tiếp trong từng đường tròn, khi đó đường chéo của hình vuông chính là đường kính của hình tròn.
Mỗi hình vuông có cạnh là
m = 0,2 m và có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng m. Vì có tất cả 51 điểm trong 25 hình vuông nên theo nguyên lý Dirichlet ắt có
điểm nằm trong cùng một hình vuông nhỏ. Ba điểm đó nằm trong hình tròn có bán kính m bé hơn m.🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 25; 0,2;
Câu 5 [1070644]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Ít nhất cũng tìm được __________ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).
Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Ít nhất cũng tìm được __________ học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh được điểm 10.
Các mức điểm có thể là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (tất cả 9 mức điểm).
Trong đó có 2 học sinh được điểm 10.
Khi đó còn lại
học sinh có điểm từ 2 đến 9, tức là được chia vào 8 mức điểm.
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet, sẽ có ít nhất một mức điểm có số học sinh là:
Ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.
🔑 Điền đáp án: 6.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 học sinh được điểm 10.
Các mức điểm có thể là 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (tất cả 9 mức điểm).
Trong đó có 2 học sinh được điểm 10.
Khi đó còn lại
học sinh có điểm từ 2 đến 9, tức là được chia vào 8 mức điểm.📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet, sẽ có ít nhất một mức điểm có số học sinh là:
Ít nhất có 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau.🔑 Điền đáp án: 6.