Câu 1 [1070645]: Trong bao nhiêu người bất kì thì có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh nhật?
A, 365.
B, 366.
C, 367.
D, 731.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Vì trong một năm có 366 ngày sinh nhật khác nhau (kể cả ngày 29 tháng 2),
nên nếu ta chọn 367 người bất kì
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Có ít nhất hai người có cùng ngày sinh nhật,
vì khi đó số người nhiều hơn số ngày sinh nhật.
Chỉ cần có 367 người thì chắc chắn có ít nhất hai người có cùng ngày sinh nhật.
🔑 Chọn đáp án: 367.
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Vì trong một năm có 366 ngày sinh nhật khác nhau (kể cả ngày 29 tháng 2),
nên nếu ta chọn 367 người bất kì
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Có ít nhất hai người có cùng ngày sinh nhật,
vì khi đó số người nhiều hơn số ngày sinh nhật.
Chỉ cần có 367 người thì chắc chắn có ít nhất hai người có cùng ngày sinh nhật.
🔑 Chọn đáp án: 367.
Câu 2 [1070646]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Một trường học có 598 học sinh và 19 lớp. Tồn tại ít nhất một lớp học có từ __________ học sinh trở lên.
Một trường học có 598 học sinh và 19 lớp. Tồn tại ít nhất một lớp học có từ __________ học sinh trở lên.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một trường học có 598 học sinh và 19 lớp.
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Tồn tại ít nhất một lớp có từ 32 học sinh trở lên.
🔑 Điền đáp án: 32.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một trường học có 598 học sinh và 19 lớp.
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Tồn tại ít nhất một lớp có từ 32 học sinh trở lên.🔑 Điền đáp án: 32.
Câu 3 [1070647]: Có 3 loại học bổng khác nhau, vì vậy để chắc chắn có 10 học sinh nhận học bổng cùng loại, thì số học sinh nhận được học bổng ít nhất phải là
A, 21.
B, 28.
C, 30.
D, 25.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” 
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Có 3 loại học bổng khác nhau.
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Để chắc chắn có 10 học sinh nhận học bổng cùng loại, thì số học sinh nhận được học bổng ít nhất phải là
🔑 Chọn đáp án: 28. Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Có 3 loại học bổng khác nhau.
📒 Áp dụng nguyên lý Dirichlet:
Để chắc chắn có 10 học sinh nhận học bổng cùng loại, thì số học sinh nhận được học bổng ít nhất phải là
🔑 Chọn đáp án: 28. Đáp án: B
Câu 4 [1070648]: Một đồi thông có 800 000 cây thông. Trên mỗi cây thông có không quá 
chiếc lá. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 cây thông có cùng số lá như nhau ở trên cây.
chiếc lá. Chứng minh rằng ít nhất cũng có 2 cây thông có cùng số lá như nhau ở trên cây.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Một đồi thông có 800 000 cây thông. Trên mỗi cây thông có không quá
chiếc lá.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet, nếu số cây nhiều hơn số lượng lá, thì sẽ có ít nhất hai cây thông có cùng số lá.
Vì
, nên ít nhất có 2 cây thông có cùng số lá.
Dựa vào dữ kiện: Một đồi thông có 800 000 cây thông. Trên mỗi cây thông có không quá
chiếc lá.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet, nếu số cây nhiều hơn số lượng lá, thì sẽ có ít nhất hai cây thông có cùng số lá.
Vì
, nên ít nhất có 2 cây thông có cùng số lá.
Câu 5 [1070649]: Chứng minh rằng trong 7 số nguyên dương bất kì ta luôn tìm được ba số sao cho tổng của ba số đó chia hết cho 3.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét số dư của 7 số nguyên dương khi chia cho 3.
Số dư có thể là 0, 1 hoặc 2(tức là 3 khả năng).
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Trong 7 số có ít nhất một số dư xuất hiện ít nhất
lần.
• Nếu có 3 số có cùng phần dư 0, 1 hoặc 2, thì tổng ba số đó chia hết cho 3.
• Nếu không, tức là không có phần dư nào xuất hiện 3 lần, thì phần dư phải phân bố là 3,2,2.
Khi đó, ta luôn có thể chọn một số từ mỗi loại phần dư để được tổng chia hết cho 3.
Trong 7 số nguyên dương bất kỳ luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.
Xét số dư của 7 số nguyên dương khi chia cho 3.
Số dư có thể là 0, 1 hoặc 2(tức là 3 khả năng).
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Trong 7 số có ít nhất một số dư xuất hiện ít nhất
lần. • Nếu có 3 số có cùng phần dư 0, 1 hoặc 2, thì tổng ba số đó chia hết cho 3.
• Nếu không, tức là không có phần dư nào xuất hiện 3 lần, thì phần dư phải phân bố là 3,2,2.
Khi đó, ta luôn có thể chọn một số từ mỗi loại phần dư để được tổng chia hết cho 3.
Trong 7 số nguyên dương bất kỳ luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.
Câu 6 [1070650]: Chứng minh rằng trong 52 số tự nhiên tùy ý, chí ít cũng có một cặp gồm hai số sao cho hoặc tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét phần dư của 52 số tự nhiên khi chia cho 100.
Phần dư có thể là các số từ 0 đến 99 (tức là 100 khả năng).
Chia các số thành 50 cặp
và một số riêng là 50.
Mỗi cặp gồm hai số sao cho tổng chia hết cho 100.
Có tất cả 51 nhóm: 50 nhóm là các cặp phần dư
và 1 nhóm là 0 hoặc 50.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Với 52 số, ít nhất có hai số thuộc cùng một nhóm.
• Nếu hai số trong cùng một cặp
, tổng của chúng chia hết cho 100.
• Nếu hai số là cả hai bằng 0 hoặc cả hai bằng 50, hiệu của chúng chia hết cho 100.
Chí ít cũng có một cặp gồm hai số sao cho tổng hoặc hiệu chia hết cho 100.
Xét phần dư của 52 số tự nhiên khi chia cho 100.
Phần dư có thể là các số từ 0 đến 99 (tức là 100 khả năng).
Chia các số thành 50 cặp
và một số riêng là 50.
Mỗi cặp gồm hai số sao cho tổng chia hết cho 100.
Có tất cả 51 nhóm: 50 nhóm là các cặp phần dư
và 1 nhóm là 0 hoặc 50.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Với 52 số, ít nhất có hai số thuộc cùng một nhóm.
• Nếu hai số trong cùng một cặp
, tổng của chúng chia hết cho 100.
• Nếu hai số là cả hai bằng 0 hoặc cả hai bằng 50, hiệu của chúng chia hết cho 100.
Chí ít cũng có một cặp gồm hai số sao cho tổng hoặc hiệu chia hết cho 100.
Câu 7 [1070651]: Cho 2001 số tuỳ ý. Chứng minh rằng có thể chọn được một hoặc một số số nào đó mà tổng chia hết cho 2001.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi 2001 số tùy ý là
.
Xét các tổng dãy đầu tiên:
Xét phần dư của
khi chia cho 2001, có 2001 số dư khác nhau: 
.
• Nếu một trong các
chia hết cho 2001, ta đã tìm được một tập hợp các số có tổng chia hết cho 2001.
• Nếu không, theo nguyên lý Dirichlet, trong 2001 số dư
có ít nhất hai số dư bằng nhau, giả sử 
với 
.
Khi đó:
chia hết cho 2001.
Luôn có thể chọn một hoặc một số số sao cho tổng chia hết cho 2001.
Gọi 2001 số tùy ý là
.
Xét các tổng dãy đầu tiên:
Xét phần dư của
khi chia cho 2001, có 2001 số dư khác nhau: .
• Nếu một trong các
chia hết cho 2001, ta đã tìm được một tập hợp các số có tổng chia hết cho 2001.
• Nếu không, theo nguyên lý Dirichlet, trong 2001 số dư
có ít nhất hai số dư bằng nhau, giả sử với .
Khi đó:
chia hết cho 2001.
Luôn có thể chọn một hoặc một số số sao cho tổng chia hết cho 2001.
Câu 8 [1070652]: Trong một tam giác đều cạnh bằng 1, ta đặt 17 điểm (kể cả trên các cạnh). Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 
✍️ Hướng dẫn giải:
Chia tam giác đều cạnh 1 thành 16 tam giác đều nhỏ bằng nhau (mỗi cạnh chia thành 4 đoạn bằng nhau)
Mỗi tam giác nhỏ có cạnh bằng 
.
Dựa vào dữ kiện: Trong một tam giác đều cạnh bằng 1, ta đặt 17 điểm (kể cả trên các cạnh).
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Nếu đặt 17 điểm vào 16 tam giác nhỏ, sẽ có ít nhất một tam giác nhỏ chứa ít nhất 2 điểm.
Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong một tam giác nhỏ bằng độ dài cạnh của nó là
.
Tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng 
.
Chia tam giác đều cạnh 1 thành 16 tam giác đều nhỏ bằng nhau (mỗi cạnh chia thành 4 đoạn bằng nhau)
Mỗi tam giác nhỏ có cạnh bằng .
Dựa vào dữ kiện: Trong một tam giác đều cạnh bằng 1, ta đặt 17 điểm (kể cả trên các cạnh).
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Nếu đặt 17 điểm vào 16 tam giác nhỏ, sẽ có ít nhất một tam giác nhỏ chứa ít nhất 2 điểm.
Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong một tam giác nhỏ bằng độ dài cạnh của nó là
.
Tồn tại hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng .
Câu 9 [1070653]: Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi số trận đã đấu của 5 đấu thủ là 0, 1, 2, 3 hoặc 4, vì mỗi đấu thủ thi đấu một trận với mỗi đấu thủ khác (tổng cộng 4 trận cho mỗi đấu thủ).
Xét 5 số nguyên đại diện cho số trận đã đấu của từng đấu thủ.
Nếu tất cả đều khác nhau, thì phải là 0, 1, 2, 3, 4.
Tuy nhiên, nếu có một đấu thủ đã đấu 0 trận, thì không ai có thể đấu 4 trận, vì đấu với tất cả các đấu thủ khác.
Vậy không thể có 5 số khác nhau.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.
Gọi số trận đã đấu của 5 đấu thủ là 0, 1, 2, 3 hoặc 4, vì mỗi đấu thủ thi đấu một trận với mỗi đấu thủ khác (tổng cộng 4 trận cho mỗi đấu thủ).
Xét 5 số nguyên đại diện cho số trận đã đấu của từng đấu thủ.
Nếu tất cả đều khác nhau, thì phải là 0, 1, 2, 3, 4.
Tuy nhiên, nếu có một đấu thủ đã đấu 0 trận, thì không ai có thể đấu 4 trận, vì đấu với tất cả các đấu thủ khác.
Vậy không thể có 5 số khác nhau.
📒 Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.
Câu 10 [1070654]: Người ta tung ngẫu nhiên một lượng nhiều hơn 50 viên sỏi vào một đám đất hình vuông có diện tích 
Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại 3 viên sỏi hoặc thẳng hàng hoặc lập thành 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không quá một nửa mét vuông.
Chứng minh rằng bao giờ cũng tồn tại 3 viên sỏi hoặc thẳng hàng hoặc lập thành 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không quá một nửa mét vuông.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chia hình vuông có diện tích
thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông nhỏ có diện tích 
.
Mỗi hình vuông nhỏ lại chia thành 2 tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Với hơn 50 viên sỏi, ít nhất một tam giác nhỏ chứa ít nhất 3 viên sỏi.
• Nếu 3 viên sỏi này nằm thẳng hàng, ta có trường hợp “thẳng hàng”.
• Nếu không thẳng hàng, thì 3 viên sỏi tạo thành 3 đỉnh của một tam giác nằm trong tam giác nhỏ có diện tích
, nên diện tích tam giác này không quá 
.
Bao giờ cũng tồn tại 3 viên sỏi hoặc thẳng hàng, hoặc lập thành tam giác có diện tích không quá 
.
Chia hình vuông có diện tích
thành 25 hình vuông nhỏ bằng nhau, mỗi hình vuông nhỏ có diện tích .
Mỗi hình vuông nhỏ lại chia thành 2 tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có diện tích
📒 Theo nguyên lý Dirichlet:
Với hơn 50 viên sỏi, ít nhất một tam giác nhỏ chứa ít nhất 3 viên sỏi.
• Nếu 3 viên sỏi này nằm thẳng hàng, ta có trường hợp “thẳng hàng”.
• Nếu không thẳng hàng, thì 3 viên sỏi tạo thành 3 đỉnh của một tam giác nằm trong tam giác nhỏ có diện tích
, nên diện tích tam giác này không quá .
Bao giờ cũng tồn tại 3 viên sỏi hoặc thẳng hàng, hoặc lập thành tam giác có diện tích không quá .