Đáp án Đề thi online: Bài tập tự luyện số 2

Dạng 1: Câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai”

Câu 1 [1077527]: Cho cấp số cộng

thoả mãn

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số cộng

thoả mãn

Gọi số hạng đầu của cấp số cộng là

và công sai d.
Ta có

•

🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Sai.

Câu 2 [1077528]: Cho dãy số

và

với

(a là tham số thực) và

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số

và

với

(a là tham số thực) và

Ta có

suy ra dãy số

là cấp số cộng với công sai

•

.

🔑 Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.

Câu 3 [1077529]: Cho các dãy số

với

và

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Các dãy số

với

và

•

🔑 Đáp án: Đúng– Sai – Đúng.

Câu 4 [1077530]: Một thợ thủ công muốn vẽ trang trí một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 cm. Người thợ thủ công quyết định vẽ các hình vuông lên tấm bìa bằng cách: Hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, sau đó tô thêm màu lên hai tam giác đối diện (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi

(đơn vị

là phần diện tích phần được tô thêm ở lần vẽ thứ n.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào các dữ kiện:
• Một tấm bìa hình vuông có độ dài cạnh bằng 4 cm.
• Hình vuông mới có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ban đầu, sau đó tô thêm màu lên hai tam giác đối diện .
•

(đơn vị

là phần diện tích phần được tô thêm ở lần vẽ thứ n.
Gọi

là phần diện tích được tô ở lần vẽ thứ

Ta có

………..
Dãy

là một cấp số nhân lùi vô hạn với

và

Khi đó:

🔑 Đáp án: Đúng – Đúng – Sai – Đúng.

Dạng 2: Câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”

Câu 5 [1077531]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.

[[21505833]].

[[21505831]].

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
•

•

🔑 Đáp án các ô lần lượt là:

Câu 6 [1077532]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian

năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi

(đơn vị kg) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.

là một cấp số nhân với công bội

[[21505847]].
Sau chu kì bán rã (tức 480 000 năm) khối lượng chất phóng xạ còn lại xấp xỉ [[21505848]]g.

[[21505849]].

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào các dữ kiện:
• 1 kg chất phóng xạ độc hại.
• Cứ sau một khoảng thời gian

năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu kì bán rã).
•

(đơn vị kg) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
Ban đầu, lượng chất phóng xạ là

Sau lần bán rã 1, khối lượng chất phóng xạ còn lại là

Sau lần bán rã 2, khối lượng chất phóng xạ còn lại là

…
Suy ra khối lượng chất phóng xạ lập thành một cấp số nhân với công bội

và số hạng tổng quát

của dãy số

là:

Sau 20 chu kì bán rã, khối lượng chất phóng xạ còn lại là

🔑 Đáp án các ô lần lượt là:

0.

Câu 7 [1077533]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Cho cấp số cộng

và gọi

là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết

và

Cấp số cộng có số hạng đầu

[[21505856]].

[[21505855]];

[[21505859]].

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Cấp số cộng

và gọi

là tổng n số hạng đầu tiên của nó. Biết

và

.

•

🔑 Đáp án các ô lần lượt là:

Dạng 3: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”

Câu 8 [1077534]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Ban đầu, một con lắc dao động theo một cung tròn dài 45 cm. Ở mỗi lần dao động tiếp theo, độ dài của cung tròn nó vạch lên bằng 0,98 độ dài của lần trước.

Khi dừng lại, con lắc sẽ dao động được tổng quãng đường bằng __________ cm.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Ban đầu, một con lắc dao động theo một cung tròn dài 45 cm.
• Ở mỗi lần dao động tiếp theo, độ dài của cung tròn nó vạch lên bằng 0,98 độ dài của lần trước.
Chiều dài con lắc sau các lần lắc lần lượt là:

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội

.

Tổng quãng đường con lắc đi được đến khi dừng là tổng vô hạn của cấp số nhân:

🔑 Điền đáp án: 2250.

Câu 9 [1077535]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Cho hình vuông

có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông

(Hình vẽ).

Từ hình vuông

lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông

Gọi

là diện tích của hình vuông

Đặt

Biết

giá trị của

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Từ hình vuông

lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông

Gọi

là diện tích của hình vuông

•

Biết

Cạnh của hình vuông

là:

Do đó diện tích

Cạnh của hình vuông

là:

Do đó diện tích

Tương tự ta có các

tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có

và công bội

Với

ta có

🔑 Điền đáp án: 2.

Câu 10 [1077536]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất thích hợp vào chỗ trống.
Cho tam giác

vuông cân tại

có cạnh huyền

Bên ngoài tam giác

vẽ tam giác

vuông cân tại

Tiếp theo, bên ngoài tam giác

vẽ tam giác

vuông cân tại

Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình vẽ).

Độ dài đường gấp khúc

bằng __________.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tam giác

vuông cân tại

có cạnh huyền

• Bên ngoài tam giác

vẽ tam giác

vuông cân tại

• Tiếp theo, bên ngoài tam giác

vẽ tam giác

vuông cân tại

Ta có các góc

đều bằng

Ta có:

Vậy độ dài các đoạn thẳng

tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng

và công bội bằng

Do đó, độ đài đường gấp khúc

là

.
🔑 Điền đáp án: 19,3.

Câu 11 [1077537]: Điền một số nguyên thích hợp vào chỗ trống.
Cho tam giác OMN vuông cân tại O,

Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông

sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác

vẽ hình vuông

sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh

Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (hình vẽ).

Biết tổng diện tích các hình vuông này bằng

(với

và phân số

tối giản). Tổng

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tam giác OMN vuông cân tại O,

• Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông

sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON.
• Trong tam giác

vẽ hình vuông

sao cho các đỉnh

lần lượt nằm trên các cạnh

• Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông.
Kết hợp với dữ kiện: Tổng diện tích các hình vuông này bằng

(với

và phân số

tối giản).
Kết hợp với hình vẽ:
Độ dài cạnh của các hình vuông lần lượt là

Diện tích của các hình vuông lần lượt là

Các diện tích

tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu là

và công bội bằng

Do đó, tổng diện tích các hình vuông là

🔑 Điền đáp án: 4.

Dạng 4: Câu hỏi “Tự luận”

Câu 12 [1077538]: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi

tam giác, mỗi tam giác có diện tích

Tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi bằng bao nhiêu?

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:
Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích

Kết hợp với hình vẽ:
Diện tích cùa tam giác bỏ đi ở bước 1 là:

Tổng diện tích của 3 tam giác bỏ đi ở bước 2 là:

Tổng diện tích của

tam giác bỏ đi ở bước 3 là:

… Tổng diện tích của

tam giác bỏ đi ở bước

là

Vậy tổng diện tích của các tam giác đã bỏ đi ở

bước là:

Tổng diện tích các tam giác bỏ đi là

Câu 13 [1077539]: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có

và góc B bằng

(hình vẽ). Từ A kẻ

sau đó kẻ

sau đó lại kẻ

Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn

Tính độ dài đường gấp khúc này nếu

và

(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của cm).

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tam giác vuông ABC vuông tại A, có

và góc B bằng

(hình vẽ).
• Từ A kẻ

sau đó kẻ

sau đó lại kẻ

Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn

•

và

.
Ta có

Suy ra độ dài đường gấp khúc

là

là tổng các số hạng của cấp số nhân có

và công bội

Ta có

Câu 14 [1077540]: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi

là lượng thuốc có trong cơ thể ngay sau khi bệnh nhân uống viên thuốc của ngày thứ

Ngay sau ngày đầu tiên, lượng thuốc trong cơ thể là

Đến trước khi uống viên thuốc của ngày thứ hai, lượng thuốc cũ còn lại là

Sau khi uống thêm liều mới, tổng lượng thuốc là:

Tiếp tục quá trình này, lượng thuốc sau khi uống ngày thứ

sẽ tạo thành tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu

và công bội

Công thức tổng quát cho ngày thứ

là:

Để tính lượng thuốc vào ngày thứ 5, ta thay

vào công thức:

Khi bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian rất dài (tức là

), lượng thuốc trong cơ thể sẽ tiến tới tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Câu 15 [1077541]: Cho dãy số

với

trong đó a là một hằng số. Để

thì giá trị của a là bao nhiêu?

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Dãy số

với

trong đó a là một hằng số.
Kết hợp với dữ kiện :

.

Dạng 5: Câu hỏi “Tổng hợp”

Câu 16 [1077542]: Cho tam giác đều

có độ dài cạnh bằng 4. Trung điểm của các cạnh tam giác

tạo thành tam giác

trung điểm của các cạnh tam giác

tạo thành tam giác

… Gọi

lần lượt là chu vi của tam giác

… Hãy ghép biểu thức trong cột 1 với giá trị phù hợp nhất trong cột 2. Có hai giá trị thừa mà bạn không cần sử dụng.

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Tam giác đều

có độ dài cạnh bằng 4.
• Trung điểm của các cạnh tam giác

tạo thành tam giác

trung điểm của các cạnh tam giác

tạo thành tam giác

…
Ta có:

;

…;

…

Vậy

Câu 17 [1077543]: Từ tờ giấy, cắt một hình lục giác đều có cạnh

có diện tích là

(Hình 1). Tiếp theo, cắt hai hình lục giác đều có cạnh

rồi chồng lên hình lục giác đều đầu tiên (Hình 2). Tổng diện tích hai hình lục giác đều này là

Tiếp theo, cắt bốn hình lục giác đều có cạnh

rồi chồng lên các hình lục giác đều trước đó (Hình 3). Tổng diện tích bốn hình lục giác đều này là

Cứ thế tiếp tục lặp lại như vậy thì ở lần thứ n các hình lục giác đều thu được có tổng diện tích là

Biết rằng

Tìm a (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Hình lục giác đều có cạnh

có diện tích là

• Cắt hai hình lục giác đều có cạnh

rồi chồng lên hình lục giác đều đầu tiên. Tổng diện tích hai hình lục giác đều này là

• Cắt bốn hình lục giác đều có cạnh

rồi chồng lên các hình lục giác đều trước đó. Tổng diện tích bốn hình lục giác đều này là

• Cứ thế tiếp tục lặp lại như vậy thì ở lần thứ n các hình lục giác đều thu được có tổng diện tích là

Kết hợp với dữ kiện:

Diện tích của một hình lục giác có cạnh a:

Diện tích các hình là một cấp số nhân có

và

Gọi tổng các hình là

ta có

Câu 18 [1077544]: Lục giác mà sáu đỉnh của nó là sáu trung điểm sáu cạnh của lục giác ABCDEF được gọi là lục giác trung bình của lục giác ABCDEF. Bạn An từ nhỏ đã rất thích hình học, nên khi được bố xây lại phòng, An đã xin bố tự thiết kế cửa sổ của mình như hình vẽ. Trong đó, An đã tạo ra dãy các lục giác đều

sao cho

là lục giác đều cạnh bằng

và với mỗi số nguyên dương

lục giác

là lục giác trung bình của lục giác

Ngoài ra, với mỗi lục giác An lại dựng thêm đường tròn ngoại tiếp lục giác đó. Cửa sổ bao gồm các cạnh của các lục giác và các đường tròn đều được làm bằng thép.

Tính độ dài đoạn thép Bạn An cần sử dụng để trang trí (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• An đã tạo ra dãy các lục giác đều

sao cho

là lục giác đều cạnh bằng

và với mỗi số nguyên dương

lục giác

là lục giác trung bình của lục giác

• Với mỗi lục giác An lại dựng thêm đường tròn ngoại tiếp lục giác đó.
• Cửa sổ bao gồm các cạnh của các lục giác và các đường tròn đều được làm bằng thép.
Gọi cạnh của hình lục giác

là

.
Xét tam giác

ta có

Độ dài cạnh lục giác đều tạo thành cấp số nhân có

và

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác tạo thành cấp số nhân có

và

Ta có tổng các cạnh của các lục giác đều là

Ta có tổng chu vi các đường tròn ngoại tiếp là

Tổng độ dài đoạn thép bạn An cần sử dụng là

Câu 19 [1077545]: Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Ta xây dựng dãy các tam giác