Quay lại
Đáp án
Dạng 1: Câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”
Câu 1 [1082989]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là [[21545160]].
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là [[21545159]].
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng là [[21545162]].
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Điểm và mặt phẳng
• Mặt phẳng có phương trình nên khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: 2.
• Mặt phẳng có phương trình nên khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: 1.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 2; 1; 4.
Câu 2 [1082990]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng song song và lần lượt có phương trình và Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng
Khi đó [[21545167]]và [[21545166]].
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng song song và lần lượt có phương trình và
với là điểm bất kì thuộc
Chọn
Kết hợp với dữ kiện: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng

🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 7; 6.
Câu 3 [1082991]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm Phương trình mặt phẳng có dạng cắt các trục tọa độ lần lượt tại 3 điểm sao cho là trực tâm tam giác
Khi đó [[21545176]]; [[21545178]]và [[21545179]].
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng có dạng cắt các trục tọa độ lần lượt tại 3 điểm sao cho là trực tâm tam giác

Do lần lượt thuộc các trục nên ta có:
Khi đó nên
Do là trực tâm tam giác
Từ và
Tương tự ta có:
Phương trình mặt phẳng qua và có vectơ pháp tuyến là là

🔑 Đáp án các ô lần lượt là:
Dạng 2: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”
Câu 4 [1082992]: Trong không gian Oxyz, cho các điểm và Khoảng cách từ D đến mặt phẳng bằng Giá trị của a bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Các điểm và

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
Chọn vectơ pháp tuyến cùng phương là
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

Xét điểm
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:


Kết hợp với dữ kiện: Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng

🔑 Điền đáp án: 11.
Câu 5 [1082993]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng Tổng bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng đi qua hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến
Vì
Suy ra
Mặt phẳng đi qua nên
Mặt phẳng đi qua nên
Giải hệ phương trình thu được , ,
Khi đó
🔑 Điền đáp án:
Câu 6 [1082994]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng đi qua ba điểm Biết phương trình mặt phẳng có dạng: trong đó là các số tự nhiên và Tổng bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng đi qua ba điểm
Ta có


Mặt phẳng đi qua có phương trình:


Kết hợp với dữ kiện: Phương trình mặt phẳng có dạng: trong đó là các số tự nhiên và


🔑 Điền đáp án: 14.
Câu 7 [1082995]: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng đi qua điểm song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng Biết phương trình mặt phẳng có dạng: Giá trị của bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số nguyên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng đi qua điểm song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là
Trục có vectơ chỉ phương là
Do nên
Do nên
Suy ra có thể chọn là tích có hướng
Ta có
Mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình

Phương trình mặt phẳng có dạng
Để hệ số tự do bằng ta nhân hai vế phương trình trên với

So sánh với ta có
Khi đó

🔑 Điền đáp án:
Câu 8 [1082996]: Trong không gian Oxyz, gọi là mặt phẳng đi qua điểm cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C. Biểu thức có giá trị nhỏ nhất bằng bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: là mặt phẳng đi qua điểm cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
Gọi các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ lần lượt là với
Phương trình mặt phẳng theo dạng đoạn chắn là
Do điểm nên ta có
Xét tổng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
📒 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz cho hai bộ số và
Ta có
Do nên suy ra
Dấu bằng xảy ra khi
Suy ra
🔑 Điền đáp án: 36.
Câu 9 [1082997]: Góc quan sát ngang của một camera là 130°. Trong không gian camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng

Vùng quan sát được trên mặt phẳng của camera là hình tròn có diện tích bằng bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả chính xác howjc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Camera được đặt tại điểm và chiếu thẳng về phía mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng là:

Kết hợp với dữ kiện: Góc quan sát ngang của một camera là
Vùng quan sát là diện tích hình tròn tâm bán kính và vùng quan sát có diện tích
🔑 Điền đáp án: 57,8.
Câu 10 [1082998]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé gái ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong 3 m về bên phải và rơi cách bé gái 5 m.

Biết mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng Khi đó bằng bao nhiêu?
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Trong quá trình biên soạn tài liệu, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài thành hỏi giá trị biểu thức thay vì như đề bài cũ. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
💡 Phương pháp: Chọn hệ tọa độ không gian phù hợp với hình vẽ, xác định tọa độ các điểm đặc biệt dựa vào dữ kiện hình học, lập phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo quả bóng, sau đó tính .
✒️ Lời giải chi tiết:
Trường hợp 1: Chọn hệ tọa độ với là vị trí bé gái ném bóng, trục nằm ngang hướng sang phải, trục nằm ngang vuông góc với , trục thẳng đứng hướng lên.
Khi đó mặt đất là mặt phẳng .
Giả sử điểm rơi của quả bóng là . Theo đề bài, quả bóng lệch sang phải m nên . Khoảng cách từ điểm rơi đến bé gái là m nên .

(lấy theo hình vẽ).
.
Mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất nên song song với trục , do đó có dạng
Vì mặt phẳng đi qua nên .
Mặt phẳng đi qua nên .
Chọn nghiệm nguyên thỏa mãn là
Suy ra phương trình mặt phẳng là


Trường hợp 2: Chọn hệ tọa độ với là vị trí bé gái ném bóng, trục nằm ngang hướng sang phải, trục nằm ngang vuông góc với , trục thẳng đứng hướng lên. Khi đó phương trình mặt phẳng là được
Vậy
🔑 Điền đáp án: 1.
Câu 11 [1082999]: Một phần sân trường được định vị bởi các điểm như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài

Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B; C; D xuống thấp hơn so với độ cao ở điểm A lần lượt là tương ứng. Giá trị của là bao nhiêu?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số thập phân”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: là hình thang vuông ở A và B với độ dài
Kết hợp với dữ kiện: Người ta lấy độ cao ở các điểm xuống thấp hơn so với độ cao ở điểm A lần lượt là tương ứng.
;
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm xuống thấp hơn so với độ cao ở là tương ứng ta có các điểm mới ;
Bốn điểm ; ; ; đồng phẳng nên


Phương trình mặt phẳng có và đi qua là
Do nên có:
Vậy
🔑 Điền đáp án: 17,2.
Câu 12 [1083000]: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilometer), một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm

Độ cao của máy bay khi xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số thập phân”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
• Một máy bay đang ở vị trí và sẽ hạ cánh ở vị trí trên đường băng.
• Một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm
Giả sử điểm là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra
📒 Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng có phương trình là:


Mặt khác, vì là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực sao cho
Do
nên
Vì nên


Vậy tại vị trí độ cao máy bay là
🔑 Điền đáp án: 0,45.
Dạng 3: Câu hỏi “Tự luận”
Câu 13 [1083001]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng cắt các trục lần lượt tại sao cho là trực tâm của tam giác Phương trình mặt phẳng có dạng Tính
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mặt phẳng cắt các trục lần lượt tại sao cho là trực tâm của tam giác

Gọi là hai đường cao của tam giác
Suy ra Ta có:
Mặt phẳng đi qua điểm H và nhận làm một VTPT.
Nên mặt phẳng có phương trình:
Kết hợp với dữ kiện: Phương trình mặt phẳng có dạng


Câu 14 [1083002]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua và cắt các tia lần lượt tại sao cho Phương trình mặt phẳng là Tính
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: Một mặt phẳngcó phương trình đi qua và cắt các tia lần lượt tại sao cho

Gọi và với

Phương trình mặt phẳng là:

Mà suy ra

Mà

Khi đó:


Vậy
Câu 15 [1083003]: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và Gọi là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để và vuông góc với nhau. Tổng các phần tử của tập hợp bằng bao nhiêu?
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng và

Các vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: và
Khi đó



Kết hợp với dữ kiện: là tập hợp các giá trị nguyên của tham số để và vuông góc với nhau.

Tổng các phần tử của tập là: