Đáp án Đề thi online: Bài tập tự luyện

Quay lại

Đáp án

1A 2A 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Dạng 1: Câu hỏi “Chọn một trong bốn đáp án”

Câu 1 [1081569]: Để trang trí cho một khu đất hình elip có độ dài trục lớn là 12 m, độ dài trục nhỏ là 8 m, người chủ khu đất vẽ một đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip (như hình vẽ). Trên hình tròn người chủ trồng hoa với kinh phí 100 nghìn đồng

phần còn lại của khu đất được trồng cỏ với kinh phí 60 nghìn đồng

Hỏi người chủ khu đất cần bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa và cỏ trên khu đất này (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

A, 6535 nghìn đồng.

B, 6931 nghìn đồng.

C, 6332 nghìn đồng.

D, 6737 nghìn đồng.

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ

với

là tâm của hình elip và hình tròn.
Hình elip có

.
Phương trình elip:

.
Do đối xứng, diện tích elip:

.
Đặt

.
Hình tròn có bán kính

.
Diện tích trồng hoa:

.
Diện tích trồng cỏ:

.
Chi phí trồng hoa:

(nghìn đồng).
Chi phí trồng cỏ:

(nghìn đồng).
Tổng chi phí:

.
Lấy

(nghìn đồng).
Làm tròn đến hàng đơn vị được

.
🔑 Chọn đáp án:

Đáp án: A

Câu 2 [1081570]: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh

bằng cách cắt đi bốn phần bằng nhau có hình dạng một nửa elip như hình vẽ. Biết một nửa trục lớn

trục bé

Diện tích bề mặt hoa văn đó bằng bao nhiêu

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi tự luận, thí sinh trình bày đầy đủ lời giải để được điểm tối đa.
✍️ Hướng dẫn giải:
Theo đề bài:

.
Phương trình elip:

.
Diện tích một phần cắt bỏ được tính bởi:

.
Đặt

.
Suy ra

.
Tổng diện tích 4 phần cắt bỏ:

.
Diện tích hình vuông ban đầu:

.
Diện tích hoa văn còn lại:

.
🔑 Chọn đáp án:

Đáp án: A

Dạng 2: Câu hỏi “Chọn nhiều đáp án đúng”

Câu 3 [1081571]: Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ). Trong đó ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4 cm, các đường cong AOD và BOC là một phần của các parabol đỉnh O. Với hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm A có tung độ bằng 1. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí 1 triệu đồng

phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng

các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

Những phát biểu nào dưới đây đúng?

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông”

câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục

với

là tâm hình vuông, cạnh hình vuông bằng

.
Do

và

nằm bên trái trục

nên

, suy ra

.
Xét phát biểu thứ nhất: Parabol

đi qua

và

nên có dạng

, suy ra

, phương trình đúng là

. Phát biểu cho

nên phát biểu thứ nhất sai.
Xét phát biểu thứ hai: Parabol

đi qua

và

nên có dạng

, suy ra

. Phát biểu nêu

là đúng.
Xét phát biểu thứ ba: Diện tích phần tô đậm là diện tích giữa hai parabol từ

đến

.
Vì

nên phát biểu thứ ba sai.
Xét phát biểu thứ tư: Diện tích phủ vàng là

, diện tích phủ bạc là

.
Tổng chi phí:

đồng

. Do đó phát biểu thứ tư đúng.

🔑 Chọn phát biểu thứ hai và phát biểu thứ tư.

Dạng 3: Câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai”

Câu 4 [1081572]: Khu vực trung tâm một quảng trường có dạng hình tròn đường kính AB bằng 10 m. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong một hình tròn, hai parabol đi qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng hoa với chi phí 200 nghìn đồng một mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 800 nghìn đồng một mét vuông. Để tính toán chi phí người ta gắn vườn hoa vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Thiết lập hệ trục tọa độ, tìm phương trình các parabol theo điều kiện hình học, sau đó sử dụng tích phân để tính diện tích và suy ra chi phí.
Lời giải chi tiết:
Đường tròn có đường kính

. Chọn hệ trục

với

là tâm đường tròn, suy ra

.
Mép trên của đường tròn là

nên đỉnh parabol trên là

. Mép dưới là

nên đỉnh parabol dưới là

.
Parabol phía trên có dạng

, đi qua

nên

. Suy ra phương trình

.
Parabol phía dưới có dạng

, đi qua

nên

. Suy ra phương trình

.
Xét mệnh đề a: Parabol có bề lõm hướng lên phải có

, do đó phương trình đúng là

. Mệnh đề đã cho không đúng

mệnh đề a sai.
Xét mệnh đề b: Diện tích hình tròn là

. Gọi

là diện tích phần giữa hai parabol thì phần còn lại là

mệnh đề b đúng.
Tính

.
Do hàm chẵn nên

.
Chi phí hoa là

(nghìn đồng). Chi phí gốm là

(nghìn đồng).
Tổng chi phí

(nghìn đồng)

khoảng

triệu đồng. Mệnh đề c đúng.
🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Đúng

Dạng 4: Câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”

Câu 5 [1081573]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh bằng 8 m. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông 2 m. Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và cạnh hình vuông (phần tô đậm), trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục Oxy sao cho

Diện tích đất trồng hoa là [[21537104]]

Diện tích đất trồng cỏ là [[21537105]]

📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Xác định phương trình parabol từ đỉnh và điểm đi qua, dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol, sau đó suy ra các diện tích còn lại.
Lời giải chi tiết:
Parabol phía trên có đỉnh

và đi qua điểm

nên có dạng

.
Thay

ta được

.
Suy ra phương trình parabol là

.
Diện tích một phần đất trồng hoa được tính bởi

.
Do hình vẽ đối xứng qua trục hoành nên diện tích đất trồng hoa là

.
Diện tích hình vuông cạnh

m là

.
Diện tích đất trồng cỏ là phần còn lại:

.
🔑 Đáp án các ô lần lượt là:

;

Dạng 5: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”

Câu 6 [1081574]: Trong đợt hội trại “Khi tôi 18” được tổ chức tại THPT X, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đoàn trường sẽ yêu cầu các lớp gửi dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần còn lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là 100 000 đồng cho một mét vuông bảng.

Chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Gọi là diện tích hình phằng giới hạn bởi Parabol có phương trình

và trục hoành.
Suy ra

Gọi điềm

suy ra

Gọi

là diện tích

suy ra

Gọi

là diện tích có hoa văn, suy ra

nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn nhất.
Xét hàm số

Ta có

Xét bảng biến thiên hàm số

với

Suy ra

Suy ra số tiền cần bằng 451 nghìn đồng.
🔑 Đáp án:

Câu 7 [1081575]: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh 10 cm bằng cách cắt bỏ đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng

đồng thời

Diện tích bề mặt hoa văn là bao nhiêu cm²? (viết kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một phân số tối giản”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:

và

suy ra đồ thị parabol đi qua các điểm

Gọi phương trình parabol có dạng

Khi đó ta có hệ phương trình:

Diện tích phần parabol cắt bỏ, tức diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị parabol

và đường thẳng

là

Kết hợp với dữ kiện: Miếng bìa là hình vuông có cạnh

nên diện tích bề mặt hoa văn là

🔑 Điền đáp án:

Câu 8 [1081576]: Ông An xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng ra làm hai phần (tô màu và không tô màu) như hình vẽ. Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB là một parabol có đỉnh I. Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo loại 1 với giá 130 nghìn đồng

và phần còn còn lại được trồng cỏ nhân tạo loại 2 với giá 90 nghìn đồng

Ông An phải trả bao nhiêu triệu đồng để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

và đường cong

có độ cao

ta đặt hệ trục toạ độ

cho phần tô màu như hình vẽ dưới đây:

Khi đó đường cong

là một parabol có dạng

có đỉnh

và cắt trục hoành tại hai điểm

suy ra:

Gọi

là diện tích 2 phần tô vàng, suy ra

do đó diện tích phần được trồng cỏ nhân tạo loại 1 bằng

Gọi

là diện tích phần không tô màu, suy ra

do đó diện tích phần được trồng cỏ nhân tạo loại 2 bằng

Kết hợp với dữ kiện: Giá của phần trồng cỏ nhân tạo loại 1 và loại 2 lần lượt là 130 nghìn đồng

và 90 nghìn đồng

suy ra số tiền ông An cần phải trả là

triệu đồng.
🔑 Điền đáp án:

Câu 9 [1081577]: Hình vẽ minh hoạ mặt cắt đứng của một con kênh đặt trong hệ trục toạ độ Oxy. Đáy của con kênh là một đường cong AOB cho bởi hàm số bậc ba có dạng

Biết đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét và đồ thị hàm số

nhận gốc toạ độ O và điểm B là các điểm cực trị.

Diện tích hình phẳng tô đậm trong hình vẽ là bao nhiêu m²? (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

mà

Mặt khác

Do đó

🔑 Điền đáp án:

Câu 10 [1081578]: Ông Tuấn làm một logo bằng tấm nhựa phẳng, có hình dạng là một hình có trục đối xứng. Biết đường viền AE, CF ở hai bên là hai nhánh của một parabol và phần lõm EIF phía dưới đáy cũng là một parabol, hai nhánh phía trên là hai đoạn thẳng như hình vẽ. Cho biết

và khoảng cách giữa AC và EF bằng 8 dm.

Diện tích của logo đó bằng bao nhiêu dm²? (viết kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “kết quả làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét hệ toạ độ

như hình vẽ.
02-dâpnsounftp2.png

Khi đó nửa bên phải trục tung là hình phẳng

giới hạn bởi các đường:

Ta có:

🔑 Điền đáp án:

Câu 11 [1081579]: Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m. Các nhà Toán học dùng hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi qua 2 mút của cạnh dài đối diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai parabol (phần gạch sọc như hình vẽ minh họa) được trồng hoa hồng.

Biết chi phí để trồng hoa hồng là 45 000 đồng

Các nhà Toán học phải chi bao nhiêu nghìn đồng để trồng hoa trên phần mảnh vườn đó?

Phương trình hoành độ giao điểm là

Suy ra diện tích trồng hoa bằng

Suy ra số tiền cần dùng bằng 2.715.000 đồng

nghìn đồng
🔑 Điền đáp án:

Câu 12 [1081580]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ Oxy, là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol

lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ O và điểm có tọa độ

cùng nhận trục Oy làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm

Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài 3 cm. Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là

và

để khoét làm mắt.

Diện tích giấy được bạn An sử dụng để làm chiếc mặt nạ này là bao nhiêu cm²?

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Diện tích giấy làm mặt nạ bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường Parabol trừ đi diện tích hai hình thoi bị khoét. Ta lần lượt xác định phương trình các Parabol, dùng tích phân để tính diện tích, rồi áp dụng công thức diện tích hình thoi.
Lời giải chi tiết:
Do Parabol đối xứng qua trục

nên có dạng

với

.
Xét Parabol

đi qua

và

, giả sử

.
Ta có

và

.
Suy ra

.
Xét Parabol

đi qua

và

, giả sử

.
Ta có

và

.
Suy ra

.
Diện tích phần giới hạn bởi hai Parabol là

.
Tính được

(nhân

vì mỗi đơn vị trên trục tọa độ dài

).
Diện tích hai hình thoi bị cắt là

.
Vậy diện tích giấy cần dùng là

.
🔑 Điền đáp án:

Câu 13 [1081581]: Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước

trong đó hai Parabol

đối xứng với

qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng 4 m. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là 180 nghìn đồng trên một mét vuông, phần trắng là 160 nghìn đồng trên một mét vuông.

Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu triệu đồng?

Đặt hình chữ nhật vào hệ tọa độ Oxy sao cho tâm hình chữ nhật trùng với góc tọa độ, chiều dài của hình chữ nhật vuông góc với trục Ox.
Theo đề bài ta có Parabol

đi qua các điểm

Từ đây ta có hệ phương trình

Suy ra

Gọi

lần lượt là diện tích phần hoa văn và diện tích phần trắng
Ta có:

Tổng chi phí trang trí là

74.4 (triệu đồng)
🔑 Điền đáp án:

Câu 14 [1081582]: Bạn An thực hiện thiết kế một logo hình con mắt cho một phòng khám nhãn khoa. Logo là một hình phẳng giới hạn bởi hai parabol

và

có các kích thước như hình vẽ. Phần hình tròn ở giữa logo có bán kính bằng 0,5 dm là phần con ngươi được tô màu xanh; phần còn lại được tô màu đen, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimet.

Biết rằng chi phí để sơn phần con ngươi hình tròn màu xanh là 25 000 đồng

và chi phí để sơn phần còn lại màu đen là 20 000 đồng

Chi phí để sơn logo trên là bao nhiêu nghìn đồng?

là

với

đi qua các điểm có tọa độ lần lượt là

.
Lập hệ phương trình ba ẩn, từ đó suy ra được

nên

Gọi phương trình parabol

là

với

đi qua các điểm có tọa độ lần lượt là

.
Lập hệ phương trình ba ẩn, từ đó suy ra được

nên

Phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích hình tròn được sơn màu xanh là:

(dm2)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng

và

là:

Diện tích phần sơn được tô màu đen là:

Chi phí để sơn logo là:

nghìn đồng.
🔑 Điền đáp án:

Câu 15 [1081583]: Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol

cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường

đó.

Diện tích hình trên (kể cả lục giác) là bao nhiêu dm²?

đi qua các điểm

với

là đỉnh của

và

là hai đầu mút thỏa mãn

là độ dài cạnh của hình lục giác đều.
Gọi phương trình parabol

là

, điểm

.
Diện tích hình cánh hoa được giới hạn bởi

, trục hoành và hai đường thẳng

là

Vậy diện tích cần tính là tổng diện tích của sáu cánh hoa ứng với sáu cạnh của lục giác cộng với diện tích của lục giác đều và bằng

🔑 Điền đáp án:

Dạng 6: Câu hỏi “Tự luận”

Câu 16 [1081584]: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh S như hình vẽ, biết

O là trung điểm AB, parabol được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc 120 nghìn đồng

phần giữa là hình quạt tâm O, bán kính 2 m được tô đậm 140 nghìn đồng

phần còn lại 160 nghìn đồng

Tổng chi phí để sơn cả ba phần là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?

✍️ Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Phương trình parabol

, phương trình nừa đường tròn

Phương trình hoành độ giao điểm:

Diện tích phần kè sọc trên

Ta có

.
Diện tích hình quạt

Diện tích phần còn lại:

Tổng chi phí

(đồng)

Triệu đồng.
🔑 Đáp án:

Câu 17 [1081585]: Khối nón

có chiều cao

bán kính đáy

được đặt trên mặt phẳng

như hình vẽ. Mặt phẳng

song song với

và

qua điểm O là tâm đáy của

Thiết diện tạo bởi

và

(phần tô đậm trong hình vẽ) có diện tích bằng bao nhiêu? Biết giao tuyến của

và

là một đường Parabol.

✍️ Hướng dẫn giải:

Xét

có:

là đường trung bình

Vì diện tích thiết diện cần tìm có hình parabol nên ta có diện tích đó là

🔑 Đáp án:

Câu 18 [1081586]: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là

như hình vẽ.

Diện tích S của mảnh đất Bernoulli là bao nhiêu

biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét (viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường Lemniscate. Nhận xét hình có tính đối xứng qua cả hai trục tọa độ nên chỉ cần tính diện tích một phần rồi nhân lên.
Lời giải chi tiết:
Đường Lemniscate có phương trình

.
Giao điểm của đồ thị với trục hoành thỏa

.
Do đồ thị đối xứng qua trục

và

nên diện tích mảnh đất Bernoulli gồm

phần bằng nhau.
Xét phần diện tích

nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Từ phương trình ta có

với

.
Diện tích toàn bộ mảnh đất là

.
Đặt

.
Suy ra

làm tròn được

.
🔑 Điền đáp án:

Câu 19 [1081587]: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh

người thợ làm chậu cảnh đã tạo mẫu và cắt đi phần hình phẳng không tô đậm trên hình, phần tô đậm được giữ lại làm khuôn quay thành các đôn để đặt các chậu hoa. Tính diện tích hình phẳng đã bị cắt bỏ biết đường cong trong hình là một parabol có đỉnh nằm trên đường chéo của hình vuông. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của

✍️ Hướng dẫn giải:
Phương pháp: Lập phương trình parabol dựa vào hình học của hình vuông, sau đó dùng tích phân để tính diện tích phần hình phẳng bị cắt bỏ.
Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó parabol có hai giao điểm với trục hoành tại

và

.
Suy ra phương trình parabol có dạng

.
Đỉnh parabol nằm trên đường chéo hình vuông và có tọa độ

, thay vào phương trình ta được

.
Vậy phương trình parabol là

.
Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là

.
Diện tích hình vuông ban đầu là

.
Diện tích các phần hình chữ nhật bị trừ là

.
Do đó diện tích phần hình phẳng bị cắt bỏ là

.
🔑 Điền đáp án:

Câu 20 [1081588]: Một cửa vòm có dạng hình parabol được lắp các tấm kính hình tròn đường kính 1 m và các tấm kính hình vuông có cạnh 1 m như hình vẽ. Phần còn lại của cửa được sơn màu trang trí với mức giá 1,2 triệu đồng/m². Chi phí sơn màu là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

✍️ Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Từ đường tròn đường kính

và hình vuông cạnh

suy ra

.
Suy ra các điểm đặc biệt:

.
Parabol đi qua

nên có dạng

. Do đối xứng qua trục

nên

.
Thay tọa độ các điểm vào, suy ra phương trình parabol là

.
Giao điểm của parabol với trục

thỏa mãn

.
Suy ra

và

.
Diện tích phần kính là

.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục

là

.
Chi phí sơn màu được tính theo công thức

.
Thay số và tính toán thu được chi phí là

triệu đồng.
🔑 Điền đáp án:

Câu 21 [1081589]: Kiến trúc sư thiết kế một con đường để chia khu đất hình chữ nhật ABCD với

thành hai phần (hai lề đường là các đường cong HEK và PQIR). Trong đó phần giới hạn bởi đường cong HEK và các đoạn AH, AB, BK là sân chơi, phần giới hạn bởi đường cong PQIR và các đoạn PD, DC, CR để trồng hoa (tham khảo hình vẽ). Nếu gắn một hệ trục toạ độ vuông góc có trục hoành, trục tung lần lượt cùng phương với các đường thẳng AB, AD thì đường cong PQIR là một phần của đồ thị hàm số bậc ba

Đường cong HEK nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong PQIR theo phương thẳng đứng lên phía trên 10 m. Biết

điểm Q cách các cạnh AB, AD lần lượt 25 m và 20 m; điểm I cách các cạnh AB, AD lần lượt 25 m và 35 m. Gọi

là diện tích phần sân chơi và

là diện tích phần trồng hoa. Tính

(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

✍️ Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ

sao cho

, tia

trùng với tia

, tia

trùng với tia

Đường cong

là một phần của đồ thị hàm số bậc ba

;
Đồ thị hàm số

đi qua điểm

ta có

Nên

Đường cong

nhận được bằng cách tịnh tiến đường cong

theo phương thẳng đứng lên phía trên

nên nó là phần đồ thị hàm số

Suy ra

.
🔑 Đáp án:

Câu 22 [1081590]: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8 cm. Vẽ nửa đường tròn đường kính AD và CD (như hình vẽ). Diện tích phần tô đậm là bao nhiêu

(viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

✍️ Hướng dẫn giải:

🔑 Đáp án:

Câu 23 [1081591]: Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2 m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho

như hình vẽ thì các đường cong OA có phương trình

và

Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm

diện tích mặt sàn.

✍️ Hướng dẫn giải:
Mặt sàn là hình vuông cạnh

nên diện tích toàn phần là

.
Diện tích trang trí màu sẫm chiếm

diện tích mặt sàn nên bằng

.
Xét một cánh trang trí trong góc phần tư thứ nhất, diện tích được giới hạn bởi hai đường

và

trên đoạn

.
Diện tích một cánh là

.
Tính tích phân:

.
Diện tích hình trang trí gồm

cánh nên

.
Theo giả thiết

nên

.
Mặt khác, đồ thị

đi qua điểm

nên

.
Giải hệ

và

.
Suy ra

.
🔑 Đáp án:

Câu 24 [1081592]: Một công ty đang thiết kế một bảng quảng cáo hình chữ nhật ABCD có kích thước

và

Phần trung tâm của bảng sẽ được in nội dung quảng cáo, được mô tả là phần tô đậm (xem hình minh họa). Hai đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số có dạng

đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số này đều cách điểm A một khoảng bằng 5 m. Đồ thị giao với cạnh AB tại điểm E thỏa mãn

Diện tích phần in nội dung quảng cáo là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

✍️ Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục tọa độ

trùng với hai tiệm cận như hình vẽ
Suy ra:

Tiệm cận đứng

Tiệm cận ngang

Ta có:

thay vào phương trình

.Khi đó:

.
Gọi

là giao điểm của đồ thị

với đường thẳng

Từ hình vẽ ta có

Diện tích phần in nội dung quảng cáo (phần tô đậm) là:

🔑 Đáp án:

Câu 25 [1081593]: Phần tô đậm trong hình vẽ bên cho biết một miền D nằm trong hình vuông có cạnh bằng 4. Miền D này gồm các điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông. Tính diện tích của miền D (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

✍️ Hướng dẫn giải:

Gọi hình vuông có cạnh bằng 4 là

và gắn hệ trục tọa độ

như hình vẽ.
Do vai trò của các đường cong như nhau, giả sử

là một điểm thuộc đường cong

của miền D như hình vẽ.
Ta có khoảng cách từ

tới

là

.
Khoảng cách từ

tới cạnh

của hình vuông là

Khoảng cách từ

tới

bằng khoảng cách từ

tới

nên

Hoành độ giao điểm của Parabol

và đường thẳng

(thuộc góc phần tư thứ nhất) là nghiệm của phương trình

Parabol

cắt đường thẳng

tại điểm

thuộc góc phần tư thứ nhất nên

.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol, trục

, trục

và đường thẳng

là:

.
Diện tích tam giác

là

.
Diện tích của

miền

là

.
Diện tích miền D là

.
🔑 Đáp án:

Dạng 7: Câu hỏi “Tổng hợp”

Câu 26 [1081594]: Sân trường có một bồn hoa hình tròn có tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường Parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ).

Hãy ghép biểu thức trong cột 1 với giá trị phù hợp nhất trong cột 2. Có hai giá trị thừa mà bạn không cần sử dụng. Các kết quả được làm tròn đến chữ số phần thập phân thứ hai.

✍️ Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục tọa độ

với

là tâm hình vuông cạnh

. Do tính đối xứng, các đỉnh có tọa độ

.
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có bán kính

nên có phương trình

.
Parabol thứ nhất đi qua

và

có dạng

nên

.
Parabol thứ hai đối xứng qua

nên có phương trình

.
Xét diện tích phần phía trên được giới hạn bởi cung tròn và parabol

.
Do hàm chẵn

.
Do đối xứng tâm

nên

.
Diện tích hình tròn là

.
🔑 Đáp án các ô lần lượt là:

Câu 27 [1081595]: Người nghệ sĩ vẽ một bông hoa không màu trên một miếng bìa hình vuông ABCD tâm O bằng một đường cong kính

rồi tô màu đen phần bên ngoài đường cong này của hình vuông (tham khảo hình vẽ). Nếu điểm M thuộc cạnh của hình vuông ABCD và tia OM cắt

tại điểm N thì

Biết rằng

Phần được nghệ sĩ tô màu đen có diện tích bằng bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích của cả hình vuông là

Gắn hệ trục tọa độ

như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét).

Khi đó ta suy ra toạ độ các đỉnh và tâm là

Và phương trình các cạnh là

Vì tính đối xứng của

ta chỉ cần xét phần của

nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ ba của hệ trục tọa độ (kết quả sẽ bằng bốn phần diện tích này).
Gọi

và

Gọi

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

lên trục tung.
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác

ta có:

(dấu +, - tương ứng với nửa trên trục hoành và nửa dưới trục hoành)
Xét một phần tư bông hoa giới hạn bởi

đoạn thẳng

và đoạn thẳng

Giả sử

Xét

Vậy diện tích cả công hoa là

Vậy diện tích phần tô màu đen là bên ngoài bông hoa bằng

🔑 Đáp án:

Câu 28 [1081596]: Trong hình vẽ dưới đây, đoạn AD được chia làm 3 bởi các điểm B và C sao cho

Ba nửa đường tròn có bán kính bằng 1 là

và

có đường kính tương ứng là AB, BC và CD. Các điểm E, F, G lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung EG với 3 nửa đường tròn. Một đường tròn tâm F, bán kính bằng 2.

Diện tích miền bên trong đường tròn tâm F và bên ngoài 3 nửa đường tròn (miền tô đậm) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích hình tròn tâm

là:

Diện tích một nửa hình tròn nhỏ là:

Phương trình đường tròn tâm

bán kính bằng 2:

Cung tròn

cắt đường thẳng

tại điểm:

Diện tích phần màu tím là:

Diện tích cần tìm là:

Điền đáp án: 9,6.

Câu 29 [1081597]: Một phần của bề mặt phía trên của các gợn sóng của nước biển có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba khi gắn hệ trục tọa độ Oxy. Biết rằng đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị lần lượt là

và

đơn vị trên hệ trục tọa độ là mét. Hai vị trí A và B có hoành độ lần lượt là –3 và 1 nằm trên đường cong của các gợn sóng đó. Độ dài đường cong AB bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Biết rằng độ dài đường cong có phương trình

từ điểm

✍️ Hướng dẫn giải:
Gợn sóng đó là đồ thị hàm số bậc ba có các điểm cực trị

và

Đạo hàm của hàm số nhận

và

là nghiệm.

Vì

Độ dài đường cong

với hai vị trí

và

có hoành độ lần lượt là

và

là:

🔑 Đáp án:

Câu 30 [1081598]: Người ta cần trồng một vườn hoa (phần tô đậm như hình vẽ). Biết đường viền ngoài và đường viền trong khu đất trồng hoa là hai đường elip. Đường elip ngoài có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là 10 m và 6 m. Đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng bằng

Kinh phí cho mỗi mét vuông trồng hoa là 100 nghìn đồng. Tổng số tiền dùng để trồng vườn hoa là bao nhiêu nghìn đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng)?

✍️ Hướng dẫn giải:
Do đường elip trong cách đều elip ngoài một khoảng

Độ dài trục lớn và trục bé của elip trong lần lượt là

Diện tích vườn hoa (phần tô đậm) = Diện tích elip ngoài – Diện tích elip trong:

Suy ra tổng số tiền dùng để trồng vường hoa là:

(nghìn đồng)
Trong đó, nửa độ dài trục lớn; nửa độ dài trục bé.)
🔑 Đáp án:

Câu 31 [1081599]: “Bài toán tính diện tích hình càng cua”. Từ bảng gỗ hình vuông ABCD độ dài cạnh 12 cm, người ta chia hình vuông này thành 9 hình vuông nhỏ bằng nhau rồi vẽ một hình càng cua được giới hạn bởi các cung phần tư của các đường tròn tâm A, E, F, G (xem hình vẽ). Tính diện tích hình càng cua theo đơn vị

(phần tô đậm trong hình vẽ) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

✍️ Hướng dẫn giải:
img src="https://asset.moon.vn/img/chat/large/2025/3/72bf5233-91e7-4ed5-b83e-3f02cd12c5f8.jpg" data-filename="" style="max-width: 600px; height: auto;">
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có tọa độ các điểm:

Phương trình đường tròn tâm

có bán kính

Phương trình đường tròn tâm

có bán kính

Phương trình đường tròn tâm

có bán kính

Phương trình đường tròn tâm

có bán kính

.
🔑 Đáp án:

Câu 32 [1081600]: Hình

được cho dưới đây là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường

và hai đoạn thẳng

với

Tính diện tích S của hình

Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

✍️ Hướng dẫn giải:
Hình

đối xứng qua trục

nên diện tích cần tìm bằng

lần tổng diện tích hai miền bên phải trục

.
Xét miền giới hạn bởi các đường

, gọi diện tích là

. Khi đó:

.
Xét miền giới hạn bởi các đường

, gọi diện tích là

. Khi đó:

.
Do tính đối xứng của hình

, diện tích cần tìm là:

.
🔑 Đáp án:

Câu 33 [1081601]: Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 8 dm, thầy Tuấn dùng các đồ thị của hàm số

và

để vẽ hoa tặng Crush, nhụy hoa được vẽ bằng đường tròn có tâm là tâm hình vuông và bán kính bằng 2 dm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy thì điểm

và đường cong EF là một phần của đồ thị hàm đa thức bậc ba

Biết rằng tỉ lệ phần tô đậm chiếm

diện tích hình vuông.

Tính abc.

✍️ Hướng dẫn giải:
Diện tích hình vuông là

.
Từ hình vẽ suy ra các điểm

.
Đồ thị

đi qua

nên:

(1)
Diện tích phần trắng là

.
Diện tích phần tô đậm là

.
Theo đề bài:

. (2)
Giải hệ (1) và (2) suy ra

.
🔑 Đáp án:

Câu 34 [1081602]: Để thể hiện tình cảm của mình với Crush, thầy Hưng đã dùng một tấm bìa và vẽ trái tim bé nhỏ của mình tặng cho Crush, biết rằng nếu đặt trái tim đó vào hệ trục tọa độ Oxy thì đường cong khép kín có phương trình là

(trong đó

tham khảo hình vẽ). Thầy Hưng đã dùng bút màu và tô màu đỏ cho trái tim của mình và diện tích thầy cần tô là 3,5 (đvdt).

Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi

ta có phương trình:

Ta gọi

Mà

Ta có phương trình:

Ta có diện tích hình trái tìm:

Đặt

(thực hiện vi phân), ta có bảng đổi cận:

(sử dụng máy tính Casio)

🔑 Đáp án:

Câu 35 [1081603]: Mặt sàn của một căn nhà được lát bằng những viên gạch màu trắng hình vuông và được trang trí bằng một hình 4 cánh giống nhau (như hình vẽ). Khi đặt trong hệ trục tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông thì các đường cong OA có phương trình dạng