Quay lại
Đáp án
Dạng 1: Câu hỏi “Chọn một trong bốn đáp án”
Câu 1 [1081609]: Cho hình phẳng giới hạn bởi cung tròn của đường tròn tâm O bán kính và dây cung BC vuông góc với OA tại H và (hình vẽ). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo được khi quay hình phẳng xung quanh OA.

A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đường tròn có tâm bán kính 5 nên có phương trình là
Kết hợp với dữ kiện: suy ra
Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tính là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: A
Câu 2 [1081610]: Gọi là phần giao nhau của hai khối một phần tư hình trụ có bán kính bằng a (xem hình vẽ).

Thể tích của là
A,
B,
C,
D,
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt hệ trục như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mặt phẳng nhận thấy thiết diện mặt cắt luôn là một hình vuông.

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Hình trụ có mặt đáy bán kính suy ra theo định lý Pythagore, cạnh của hình vuông có công thức tổng quát là
Suy ra diện tích thiết diện là
Vậy thể tích hình cần tính là
🔑 Chọn đáp án: Đáp án: B
Dạng 2: Câu hỏi “Chọn nhiều đáp án đúng”
Câu 3 [1081611]: Một bình nhiên liệu trên cánh máy bay phản lực được mô hình hóa bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox quanh trục hoành, trong đó x và y được đo bằng mét (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc máy bay đó có 4 bình chứa nhiên liệu như nhau và được đổ đầy trước khi bay. Giả sử tốc độ tiêu hao nhiên liệu trên máy bay được mô phỏng bằng hàm số lít/giờ (t tính theo giờ,

Những phát biểu nào dưới đây đúng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đồ thị hàm số đi qua điểm nên
Do đó
Thể tích của nhiên liệu trên mỗi bình nhiên liệu là thể tích khi quay đường cong giới hạn bởi 2 đường thẳng và quang trục hoành, và bằng

Kết hợp với dữ kiện: Chiếc máy bay đó có 4 bình chứa nhiên liệu như nhau nên thể tích nhiên liệu tối đa bình đó có thể chứa bằng

Dựa vào dữ kiện: Tốc độ tiêu hao nhiên liệu trên máy bay được mô phỏng bằng hàm số lít/giờ. Khi đó số nhiên liệu tiêu thụ là

Gọi là thời gian máy bay đó sẽ tiêu hao hết năng lượng, khi đó:




Vậy máy bay đó sẽ tiêu hao hết năng lượng sau giờ bay.
🔑 Chọn phát biểu thứ ba và phát biểu thứ tư.
Câu 4 [1081612]: Người ta muốn thiết kế một mẫu vật bằng cách mô phỏng bản vẽ dưới dạng hình vẽ sau. Trước tiên người ta dùng một hình vuông có cạnh bằng 40 cm, sau đó người thiết kế đã sử dụng các đường cong và để tạo hoa văn cho mẫu vật (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng dm). Gọi là phần màu vàng như hình vẽ.

Những phát biểu nào dưới đây đúng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông” câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Với ta có:
+)
+)
Dựa vào hình vẽ: Đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ nên và
Do đó diện tích một cách hoa văn cần tính là hiệu diện tích 2 hình phẳng và với:
+) giới hạn bởi hàm số trục hoành và hai đường thẳng có diện tích được xác định bởi công thức
+) giới hạn bởi hàm số trục hoành và hai đường thẳng có diện tích được xác định bởi công thức
Suy ra

Vậy diện tích hình cần tính là
Thể tích khối tròn xoay đó là

🔑 Chọn phát biểu thứ ba và phát biểu thứ tư.
Dạng 3: Câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai”
Câu 5 [1081613]: Một kỹ sư muốn thiết kế một mẫu vật bằng cách mô phỏng bản vẽ dưới dạng hình vẽ. Trước tiên vẽ một hình chữ nhật có kích thước sau đó sử dụng hệ trục Oxy vẽ đường cong nằm trong hình chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Gọi là phần hình phẳng được tô màu đậm và đường cong ở góc phần tư thứ nhất có phương trình

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: suy ra do đó tại góc phần tư thứ nhất
Sau khi cắt bỏ hình phẳng thì phần còn lại là hình phẳng được giới hạn bởi hàm số, trục hoành và 2 đường thẳng nên có diện tích là

Dựa vào dữ kiện: Phần đồng hồ cát thu được khi quay đường cong quanh trục hoành nên thể tích phần đồng hồ cát là

🔑 Đáp án: Sai – Sai.
Câu 6 [1081614]: Cho hai hình trụ có cùng bán kính bằng 3 được đặt lồng vào nhau sao cho trục của hai hình trụ vuông góc với nhau và cắt nhau tại O (hình 1). Gọi là phần giao nhau của hai hình trụ (hình 2). Chọn trục Ox vuông góc với hai trục của hình trụ như hình vẽ. Cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ ta được thiết diện có diện tích là

Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện: Thiết diện khi cắt khối bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một hình vuông có diện tích Công thức tính thể tích khối là
Dựa vào hình vẽ:


Khi đó:
Thể tích khối là (đvtt).
🔑 Đáp án: Sai – Sai – Đúng.
Dạng 4: Câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”
Câu 7 [1081615]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống, các tính toán làm tròn đến hàng đơn vị.
Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly là 6 cm, đường kính miệng ly là 9 cm, chiều cao 13,4 cm, ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính 2 cm để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ).

Chọn hệ trục Oxy (đơn vị trên trục là centimet) với trục Ox đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc toạ độ O trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ.
Thể tích bên trong của ly không bao gồm nắp là [[21537377]] ml.
Thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là [[21537375]] ml.
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Ly trà sữa có đường kính đáy ly là 6 cm, đường kính miệng ly là 9 cm và chiều cao 13,4 cm nên và
Phương trình đường thẳng có dạng đi qua 2 điểm nên

Dựa vào hình vẽ: Thể tích bên trong của ly không bao gồm nắp là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng trục hoành và hai đường thẳng quanh trục hoành.
Thể tích bên trong ly không bao gồm nắp là

Phương trình đường tròn tâm bán kính là do đó tại góc phần tư thứ nhất
Dựa vào hình vẽ: Đường tròn đi qua điểm nên
Vậy toạ độ điểm là
Thể tích nắp ly là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường tròn trục hoành và hai đường thẳng quanh trục hoành.
Thế tích nắp ly là
Vậy thể tích bên trong ly bao gồm cả thể tích nắp là
🔑 Đáp án các ô lần lượt là:
Dạng 5: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”
Câu 8 [1081616]: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số xung quanh trục Oy. Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 8 cm (như hình vẽ).

Thể tích nước có trong ly là bao nhiêu cm3 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Đặt hệ trục toạ độ như hình trên với là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung, còn là điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đồ thị hàm số
Dựa vào dữ kiện: Điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 8 cm nên
Mặt cắt của viên bi là hình tròn tâm bán kính nên:

Dựa vào hình vẽ: Phần hình tròn tiếp xúc với đồ thị hàm số có phương trình khi đó tại thì



Lại có đồ thị hàm số suy ra
Suy ra
Dựa vào dữ kiện: Khi thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly nên thể tích nước trong bi bằng thể tích của ly trừ đi thể tích của viên bi.
Kết hợp với dữ kiện: Ly được được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số xung quanh trục tung nên thể tích nước trong ly là:

🔑 Điền đáp án:
Câu 9 [1081617]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số hàng đơn vị thích hợp vào chỗ trống.
Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và được đặt vừa khít trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu, lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao h của mực cát bằng chiều cao của phần bên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi Khi chiều cao của cát còn 2 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi Biết rằng sau 30 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ.

Chiều cao của khối trụ bên ngoài là __________ cm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số hàng đơn vị”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Khi chiều cao của cát còn 2 cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi nên hay
Gọi đường cong parabol đi qua gốc toạ độ có dạng
Có nên
Do và nên
📒 Áp dụng công thức: Thể tích chảo parabol có bán kính đáy và chiều cao là
Kết hợp với dữ kiện: Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi và trong vòng 30 phút thì cát chảy hết nên thể tích phần cát là
Suy ra
Kết hợp với dữ kiện: Chiều cao của mực cát bằng chiều cao của phần trên đồng hồ cát nên chiều cao của khối trụ bên ngoài là
🔑 Điền đáp án:
Câu 10 [1081618]: Mô hình của quân tốt trong bàn cờ vua là một khối tròn xoay với mặt cắt qua trục như sau: đầu của quân cờ là một phần của hình cầu có bán kính bằng đường cong AB và EF là một phần của parabol đỉnh B và đỉnh E, DE và BC là một góc phần tư của đường tròn có bán kính 1 cm.

Thể tích của mô hình quân tốt là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ:
+) suy ra và
+) suy ra và
Kết hợp với dữ kiện: là một góc phần tư của đường tròn có tâm bán kính 1 cm nên
*Xác định phương trình đường tròn là mặt cắt của phần đầu quân cờ.
Kết hợp dữ kiện và hình vẽ: Đường tròn có tâm và bán kính nên có phương trình là
Lại có nên
Do đó phương trình đường tròn là
*Xác định phương trình parabol.
Dựa vào dữ kiện: Đường cong là một parabol đỉnh nên phương trình có dạng
Lại có nên
*Xác định phương trình đường cong
Kết hợp dữ kiện và hình vẽ: Đường cong là một góc phần tư của đường tròn có tâm bán kính 1 cm nên có phương trình là
Do đó thể tích của mô hình quân tốt bằng tổng thể tích các khối tròn xoay khi quay các đường cong và quanh trục tung.
Vậy thể tích của mô hình quân tốt là:

🔑 Điền đáp án:
Câu 11 [1081619]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai thích hợp vào chỗ trống.
Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2).

Bán kính của viên bi bằng __________ cm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi là bán kính viên bi hình cầu.
Điều kiện:
📒 Áp dụng công thức: Thể tích chỏm cầu có bán kính và chiều cao là
Dựa vào dữ kiện: Chậu nước hình bán cầu có và khối nước hình chỏm cầu có chiều cao thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào là

Kết hợp với dữ kiện: Khi bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi nên chiều cao của mực nước khi đó là
Thể tích khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi là

Kết hợp với hình vẽ:


🔑 Điền đáp án:
Dạng 6: Câu hỏi “Tự luận”
Câu 12 [1081620]: Một quả bóng bầu dục theo quy định được sử dụng trong giải bầu dục quốc gia có kích thước 28 cm từ đầu này đến đầu kia và đường kính 17 cm ở phần dày nhất (quy định có phép thay đổi một chút về các kích thước này) (Nguồn: NFL).
Hình dạng của một quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và các đường thẳng trong đó x tính bằng centimet Thể tích (đơn vị: kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên bằng bao nhiêu?
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đồ thị hàm số đi qua các điểm và nên

Thể tích của quả bóng bầu dục là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và các đường thẳng quanh trục hoành.
Vậy thể tích của quả bóng bầu dục trên là:

🔑 Đáp án:
Câu 13 [1081621]: Từ hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng người ta cắt bỏ miền được giới hạn bởi cạnh CD của hình chữ nhật và hai nửa đường thẳng parabol có chung đỉnh là trung điểm cạnh AB, chúng lần lượt đi qua hai đầu mút C, D của hình chữ nhật đó (phần tô đậm như hình vẽ).

Phần còn lại cho quay quanh trục AB để tạo nên một đồ vật làm trang trí, thể thế của vật trang trí đó bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Gọi phương trình Parabol có dạng
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng nên
Mặt khác nên
Thể tích vật trang trí gấp đôi thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành và hai dường thẳng quanh trục hoành.
Thể tích của vật trang trí là
🔑 Đáp án:
Câu 14 [1081622]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần tô đậm trong hình vẽ) quanh trục AC. Biết rằng B là trung điểm AC, miền được giới hạn bởi đoạn thẳng BC và các cung tròn bán kính 1 cm có tâm A và B.

Thể tích vật trang trí đó bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng phần chục.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Dựa vào dữ kiện: là trung điểm nên

Dựa vào hình vẽ:
+) Đường cong là đường tròn tâm có bán kính nên có phương trình là
+) Đường cong là đường tròn tâm có bán kính nên có phương trình là
+) là giao điểm của 2 đường cong và nên hoành độ của là nghiệm của phương trình


Khi đó hình phẳng gồm 2 phần:
Phần 1: Góc phần tư thứ nhất của đường tròn
Phần 2: Giới hạn bởi hai cung tròn và hai đường thẳng
Vậy
🔑 Đáp án:
Câu 15 [1081623]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền được giới hạn bởi đường gấp khúc DABFE và cung tròn ED (phần tô đậm trong hình vẽ) xung quanh trục AB. Biết ABCD là hình chữ nhật cạnh F là trung điểm của BC; điểm E cách AD một đoạn bằng 1 cm.

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị
✍️ Hướng dẫn giải:

Gắn hệ trục như hình vẽ.
Dựa vào dữ kiện: và là trung điểm của nên suy ra
Kết hợp với dữ kiện: Điểm cách một đoạn bằng 1 cm nên cung tròn là một phần của đường tròn tâm bán kính có phương trình
là thể tích khối trụ được sinh ra khi quay hình chữ nhật quanh trục tung, khi đó khối trụ có bán kính đáy và chiều cao nên có giá trị là

là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn trục tung và 2 đường thẳng quanh trục tung nên có giá trị là

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng
🔑 Đáp án:
Câu 16 [1081624]: Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ. Biết rằng đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A.

Thể tích của chiếc mũ bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gắn hệ trục như hình vẽ.

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Mũ được chia làm hai phần:
+) Phần khối trụ có bán kính đáy và chiều cao có thể tích là

+) Phần khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành và hai đường thẳng quang trục tung có thể tích là
Gọi đường cong parabol có đỉnh có dạng
Kết hợp với dữ kiện: suy ra
Lại có nên


Do đó
Vậy
🔑 Đáp án:
Câu 17 [1081625]: Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục AB. Miền được giới hạn bởi các cạnh AB, AD của hình vuông ABCD và các cung phần tư của các đường tròn bán kính bằng 1 cm với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD.

Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần mười của
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ và

Kết hợp với dữ kiện: Các cung tròn có bán kính bằng 1 nên và với lần lượt là trung điểm của
Khi đó đường tròn tâm bán kính 1 chứa cung tròn là

Và đường tròn tâm bán kính 1 chứa cung tròn là

Thể tích vật thể trang trí gồm 2 phần khối tròn xoay, phần thứ nhất thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành, 2 đường thẳng quanh trục hoành và phần thứ hai thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hoành, 2 đường thẳng quanh trục hoành.
Vậy
🔑 Đáp án:
Câu 18 [1081626]: Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch sọc trong hình vẽ) quanh trục AC. Biết rằng miền được giới hạn bởi đoạn thẳng AB, cung tròn BD có tâm C, đường tròn elip AD có trục AC và CD.

Thể tích của vật trang trí bằng bao nhiêu Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ với

Dựa vào dữ kiện: Cung tròn tâm bán kính nên có phương trình là
Kết hợp với dữ kiện: Đường cong elip có và nên có phương trình
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là


🔑 Đáp án:
Câu 19 [1081627]: Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ. Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5 cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có Mặt bên PQEF được mài nhẵn theo đường parabol có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF.

Thể tích của chi tiết máy bằng bao nhiêu
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt hệ trục sao cho trùng với , trùng với tia song song với

Gọi hình chiếu của trên và là và
Dựa vào hình vẽ: Vật thể được chia thành hình lập phương có cạnh nên có thể tích và phần còn lại có là hình khối có thiết diện thể tích
Dựa vào dữ kiện: Mặt bên được mài nhẵn theo đường parabol có đỉnh parabol nằm trên cạnh nên gọi phương trình đường cong parabol có đỉnh là
Kết hợp với dữ kiện: và các hình vuông cạnh nên
Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với và đi qua điểm ta được thiết diện là hình chữ nhật có cạnh là và do đó diện tích
Vậy thể tích vật thể là
🔑 Đáp án:
Câu 20 [1081628]: Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh mặt đỉnh là hình vuông có cạnh Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà.

Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.

Dựa vào dữ kiện: Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh mặt đỉnh là hình vuông có cạnh mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà là hình vuông có cạnh nên



Kết hợp với dữ kiện: Toà nha cao 30m nên
Do tại vị trí với parabol đạt giá trị nhỏ nhất nên phương trình parabol có dạng
Lại có nên


Suy ra
Do đó, diện tích thiết diện là

Vậy thể tích của toà nhà là

🔑 Đáp án:
Câu 21 [1081629]: Lớp vỏ của một lò phản ứng hạt nhân bằng kim loại và được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi nhánh bên phải trục tung của các đường hypebol và hai đường thẳng khi quay quanh trục Oy (tham khảo hình vẽ).

Biết đi qua điểm và có tiêu cự bằng đi qua điểm và có tiêu cự bằng (đơn vị trên mỗi trục toạ độ bằng 1 mét). Thể tích khối kim loại cần sử dụng để làm vỏ lò phản ứng hạt nhân bằng bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: đi qua điểm và có tiêu cự bằng nên

Vậy phương trình suy ra
Dựa vào dữ kiện: đi qua điểm và có tiêu cự bằng nên

Vậy phương trình suy ra
Vậy thể tích của khối kim loại là



🔑 Đáp án:
Dạng 7: Câu hỏi “Tổng hợp”
Câu 22 [1081630]: Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục Ox và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục Ox như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

Hãy ghép nội dung trong cột 1 với giá trị phù hợp nhất trong cột 2. Có hai giá trị thừa mà bạn không cần sử dụng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8 và trục nhỏ là 4 quanh trục nên đường cong mặt trên có phương trình là

Do đó thể tích phần trong của mảnh trên là

Dựa vào dữ kiện: Mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính 2 quanh trục nên đường cong mặt dưới có phương trình là

Do đó thể tích phần trong mảnh dưới là

Vậy thể tích phần trong của quả trứng đồ chơi này là
Diện tích thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng qua trục của quả trứng là
🔑 Đáp án:
Câu 23 [1081631]: Một ly thuỷ tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay. Hình dạng này được tạo bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là 10 cm, đường kính miệng ly là 8 cm (chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh). Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích thể tích của ly khi nó chứa đầy nước. Sau đó, người ta đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu.

Hỏi khi đổ thêm, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm bao nhiêu centimet so với lúc ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục như hình vẽ.

Gọi phương tình parabol là
Dựa vào dữ kiện: Phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là 10 cm và đường kính miệng ly là 8 cm nên và
Có nên
Suy ra phương trình parabol là
Do đó thể tích nước khi đổ đầy ly bằng thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường trục và hai đường thẳng và bằng

Dựa vào dữ kiện: Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích thể tích của ly khi nó chứa đầy nước nên thể tích nước đổ vào ban đầu là
Có chiều cao của mực nước trong ly là với suy="" ra:=""


Vậy chiều cao mực nước trong ly sau khi đổ lần đầu là

Dựa vào dữ kiện: Đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu nên thể tích của ly sau khi đổ thêm là
Có chiều cao của mực nước trong ly là với suy="" ra:=""


Vậy chiều cao mực nước trong ly sau khi đổ lần thứ hai là

So với lúc ban đầu, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm
🔑 Đáp án: >
Câu 24 [1081632]: Trên một tuyến đường thẳng có một đoạn phải đi xuyên qua một quả núi nhỏ, do đó người ta đã tạo một hầm chui để thuận tiện cho các phương tiện giao thông di chuyển, vòm của hầm chui được đổ bê tông có dạng như hình vẽ.

Với Biết khi cắt vòm của hầm chui bằng mặt phẳng vuông góc với trục của tuyến đường ta luôn có thiết diện là một hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol và giao tuyến của mặt cắt với mặt đường. Thể tích vòm của hầm chui được đổ bê tông bằng bao nhiêu mét khối? Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.
✍️ Hướng dẫn giải:

Gọi phương trình parabol nhận trục tung làm trục đối xứng có dạng
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đồ thị hàm số có đỉnh đi qua điểm nên

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đồ thị hàm số có đỉnh đi qua điểm nên

Do đó diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi hai parabol và trục hoành là


Kết hợp với dữ kiện: Độ dài của đoạn đường là 10 m nên thể tích của vòm là

🔑 Đáp án:
Câu 25 [1081633]: Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ theo một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 45° để lấy một hình nêm (xem hình minh họa). Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).

Tính V.
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với

Dựa vào dữ kiện: Khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm nên hình nêm có đáy là nửa hình tròn tâm bán kính có phương trình với
Một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ cắt hình nêm theo thiết diện là một tam giác vuông có diện tích
Khi đó
Kết hợp với dữ kiện: Mặt cắt nghiêng với đáy một góc 45° nên
Suy ra
Thế tích hình nêm là
🔑 Đáp án:
Câu 26 [1081634]: Người ta dựng một cái lều vải có dạng hình chóp lục giác đều như hình vẽ. Đáy của là một hình lục giác đều cạnh 3 m. Chiều cao (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của là các sợi nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của với mặt phẳng vuông góc với SO là một lục giác đều và khi đi qua trung điểm SO thì lục giác đều cạnh bằng 1 m.

Tính thể tích phần không gian bên trong cái lều đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của
✍️ Hướng dẫn giải:
Chọn trục toạ độ như hình vẽ.

Gọi phương trình đường cong có dạng
Dựa vào dữ kiện: Đáy của là một hình lục giác đều cạnh 3 m và chiều cao bằng 6 m nên và
Kết hợp với dữ kiện: Khi đi qua trung điểm thì lục giác đều cạnh bằng 1 m nên suy ra

Có

với
Khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có tung độ ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài
Suy ra
Và thể tích của là
🔑 Đáp án:
Câu 27 [1081635]: Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm.

Tính thể tích của trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt trục như hình vẽ.

Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đường sinh là nửa elip có tâm tại được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm nên có phương trình là




Do đó thể tích chiếc trống là thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường sinh, trục hoành và hai đường thẳng quanh trục hoành và bằng

🔑 Đáp án:
Câu 28 [1081636]: Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm. Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể H, ở đó H nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính 5,7 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimet khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức: Thể tích hình chóp cụt là với là chiều cao, lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Kết hợp với dữ kiện: Khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng 7,4 cm và 10,4 cm, bề dày của khối gỗ bằng 1,5 cm nên thể tích ban đầu khi chưa khoét của khối gỗ là
với và


📒 Áp dụng công thức: Thể tích chỏm cầu có bán kính và chiều cao là
Kết hợp với dữ kiện: Khối cầu bán kính 5,7 cm bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính 3,5 cm nên chiều cao của chỏm cầu là

Do đó thể tích của chỏm cầu là
Vậy thể tích của khối chân đế là
🔑 Đáp án:
Câu 29 [1081637]: Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn quanh trục d). Biết rằng

Thể tích V của chiếc phao là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Đường tròn có tâm bán kính nên có phương trình là
Khi đó được giới hạn bởi hai hình phẳng khi quay quanh trục
Vậy thể tích của chiếc phao là

🔑 Đáp án:
Câu 30 [1081638]: Ông An có một cái bình đựng rượu, thân bình có hai phần: phần phía dưới là hình nón cụt, phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 đầu chỏm (hình 1).

Thiết diện qua trục của bình như hình 2. Biết và giá mỗi lít rượu là 100 000 đồng. Hỏi số tiền ông An cần chi để đổ đầy bình rượu là bao nhiêu nghìn đồng (giả sử độ dày của vỏ bình rượu không đáng kể)? Viết kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Áp dụng công thức: Thể tích hình chóp cụt là với là chiều cao, lần lượt là diện tích hai mặt đáy của hình.
Kết hợp với dữ kiện: Phần chóp cụt có chiều cao và đường kính hai đáy lần lượt là
Suy ra


Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Phần trên là hình cầu bị cắt bỏ 2 chỏm nên là đường kính của đường tròn. Mặt khác tam giác nội tiếp đườg tròn nên tam giác vuông tại suy ra
Kết hợp với dữ kiện: và nên
Do đó khối cầu ban đầu có bán kính là và chiều cao của chỏm cầu là
📒 Áp dụng công thức: Thể tích khối chỏm cầu có bán kính và chiều cao là

Vậy thể tích của hai khối chỏm cầu bị cắt bỏ là

Do đó thể tích phần trên của bình đựng rượu là

Vậy bình đựng rượu có dung tích

Kết hợp với dữ kiện: Giá mỗi lít rượu là 100 000 đồng nên số tiền ông An cần chi để đổ đầy bình rượu là nghìn đồng.
🔑 Đáp án: