Dạng 1: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”
Câu 1 [1081856]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Có __________ tam giác có độ dài hai cạnh là 7 cm và 2 cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm).
Có __________ tam giác có độ dài hai cạnh là 7 cm và 2 cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm).
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là
Dựa vào dữ kiện: Tam giác có độ dài hai cạnh là 7 cm và 2 cm nên theo bất đẳng thức tam giác ta có
="" Kết hợp với dữ kiện: 
là một số nguyên nên 
Do đó có
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
🔑 Điền đáp án: 3.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại của tam giác là
Dựa vào dữ kiện: Tam giác có độ dài hai cạnh là 7 cm và 2 cm nên theo bất đẳng thức tam giác ta có
="" là một số nguyên nên
Do đó có
tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
🔑 Điền đáp án: 3.
Câu 2 [1081857]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng
16, x (đơn vị cm). Biết rằng x là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể. Khi đó 
Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng
16, x (đơn vị cm). Biết rằng x là số tự nhiên và có giá trị nhỏ nhất có thể. Khi đó
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng
16, 
nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có 
Kết hợp với dữ kiện:
là một số nguyên nên 
🔑 Điền đáp án: 14.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Ba cạnh của một tam giác có độ dài bằng
16, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có
Kết hợp với dữ kiện:
là một số nguyên nên
🔑 Điền đáp án: 14.
Câu 3 [1081858]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Người ta dùng máy ảnh để chụp một người có chiều cao
(hình vẽ). Sau khi rửa phim thấy ảnh CD cao 4 cm. Biết khoảng cách từ phim đến vật kính của máy ảnh lúc chụp là 
Người đó đứng cách vật kính máy ảnh một đoạn BE bằng __________ cm.
Người ta dùng máy ảnh để chụp một người có chiều cao
(hình vẽ). Sau khi rửa phim thấy ảnh CD cao 4 cm. Biết khoảng cách từ phim đến vật kính của máy ảnh lúc chụp là Người đó đứng cách vật kính máy ảnh một đoạn BE bằng __________ cm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và 
nên 
theo định lí Thalès ta có 
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và 
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
.
🔑 Điền đáp án: 225.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và nên theo định lí Thalès ta có
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
.
🔑 Điền đáp án: 225.
Câu 4 [1081859]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Bóng (AK) của một cột điện (MK) trên mặt đất dài 6 m. Cùng lúc đó một cột đèn giao thông (DE) cao 3 m có bóng (AE) dài 2 m. Chiều cao của cột điện (MK) bằng __________ m.
Bóng (AK) của một cột điện (MK) trên mặt đất dài 6 m. Cùng lúc đó một cột đèn giao thông (DE) cao 3 m có bóng (AE) dài 2 m. Chiều cao của cột điện (MK) bằng __________ m.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và 
nên 
theo định lí Thalès (hệ quả) ta có 
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và 
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
🔑 Điền đáp án: 9.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và nên theo định lí Thalès (hệ quả) ta có
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
🔑 Điền đáp án: 9.
Câu 5 [1081860]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài
Cùng thời điểm đó, một cây cột DE cao 2 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 m. Chiều cao của tháp bằng __________m.
Bóng của một tháp trên mặt đất có độ dài
Cùng thời điểm đó, một cây cột DE cao 2 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 3 m. Chiều cao của tháp bằng __________m.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và 
nên 
theo định lí Thalès (hệ quả) ta có 
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và 
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
🔑 Điền đáp án: 42.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
và nên theo định lí Thalès (hệ quả) ta có
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
và
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
🔑 Điền đáp án: 42.
Dạng 2: Câu hỏi “Tự luận”
Câu 6 [1081861]: Cho 
cân tại 
Gọi 
là một điểm nằm trên cạnh 
sao cho 
Lấy điểm 
trên đoạn thẳng 
Chứng minh rằng 
cân tại Gọi là một điểm nằm trên cạnh sao cho Lấy điểm trên đoạn thẳng Chứng minh rằng
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
cân tại 
(
), điểm 
sao cho 
và 
.
Xét
và 
có 
, 
chung và 
suy ra 
.
Kẻ tia
sao cho 
(với 
và 
).
Xét
và 
có 
, 
, 
suy ra 
(c.g.c).
Suy ra
và 
.
So sánh
và 
:
+) Có
chung, 
và 
suy ra 
.
+) Trong
, vì 
nên 
(1).
+) Vì
cân tại 
nên 
(2).
+) Ta có
và 
(3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra
. Mà 
, vậy 
.
Dựa vào dữ kiện:
cân tại (), điểm sao cho và .Xét
và có , chung và suy ra .Kẻ tia
sao cho (với và ).Xét
và có , , suy ra (c.g.c).Suy ra
và .
So sánh
và :+) Có
chung, và suy ra .+) Trong
, vì nên (1).+) Vì
cân tại nên (2).+) Ta có
và (3).Từ (1), (2) và (3) suy ra
. Mà , vậy .
Câu 7 [1081862]: Cho 
đều. Trên cạnh 
lấy điểm 
sao cho 
Chứng minh rằng 
đều. Trên cạnh lấy điểm sao cho Chứng minh rằng
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
đều nên 
và 
Trên cạnh 
lấy các điểm 
sao cho 
Xét
và 
có:
+)
+)
+)
Suy ra
(c.g.c), dẫn đến 
(hai góc tương ứng) và 
(hai cạnh tương ứng).
Trên tia đối của tia
lấy điểm 
sao cho 
Xét
và 
có 
(đối đỉnh), 
suy ra 
(c.g.c).
Suy ra
(hai cạnh tương ứng).
Trong
, vì 
nên 
nằm giữa 
và chân đường cao hạ từ 
dẫn đến 
và 
Vì
nên 
(quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).
Từ
và 
suy ra 
Mà 
nên 
Trong
, do 
nên 
Mà 
(do 
), suy ra 
Ta có
Thay
ta được: 
Vì
nên 
Suy ra
hay 
(đpcm).
Dựa vào dữ kiện:
đều nên và Trên cạnh lấy các điểm sao cho
Xét
và có:
+)
+)
+)
Suy ra
(c.g.c), dẫn đến (hai góc tương ứng) và (hai cạnh tương ứng).
Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho
Xét
và có (đối đỉnh), suy ra (c.g.c).
Suy ra
(hai cạnh tương ứng).
Trong
, vì nên nằm giữa và chân đường cao hạ từ dẫn đến và
Vì
nên (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác).
Từ
và suy ra Mà nên
Trong
, do nên Mà (do ), suy ra
Ta có
Thay
ta được:
Vì
nên
Suy ra
hay (đpcm).
Câu 8 [1081863]: Cho 
có ba góc nhọn, 
là giao điểm hai đường trung trực của 
và 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
a) Chứng minh
thuộc đường trung trực của 
và 
b) Chứng minh các
vuông.
c) Biết
Hãy tính số đo 
có ba góc nhọn, là giao điểm hai đường trung trực của và Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho a) Chứng minh
thuộc đường trung trực của và b) Chứng minh các
vuông. c) Biết
Hãy tính số đo
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh
thuộc đường trung trực của 
và 
:
Dựa vào dữ kiện:
là giao điểm hai đường trung trực của 
và 
nên 
Kết hợp với dữ kiện:
ta có 
và 
Suy ra
thuộc đường trung trực của 
và đường trung trực của 
b) Chứng minh các
vuông:
Xét
cân tại 
nên 
Xét
cân tại 
nên 
Ta có
Vì
thẳng hàng nên 
suy ra 
Vậy
vuông tại 
Chứng minh tương tự ta có 
vuông tại 
c) Tính số đo
:
Kết hợp với dữ kiện:
Trong
vuông tại 
ta có 
Trong
vuông tại 
ta có 
Suy ra
Mà
Vậy
a) Chứng minh
thuộc đường trung trực của và :Dựa vào dữ kiện:
là giao điểm hai đường trung trực của và nên Kết hợp với dữ kiện:
ta có và Suy ra
thuộc đường trung trực của và đường trung trực của b) Chứng minh các
vuông:Xét
cân tại nên Xét
cân tại nên
Ta có
Vì
thẳng hàng nên suy ra Vậy
vuông tại Chứng minh tương tự ta có vuông tại c) Tính số đo
:Kết hợp với dữ kiện:
Trong
vuông tại ta có Trong
vuông tại ta có Suy ra
Mà
Vậy
Câu 9 [1081864]: Cho 
Hai điểm 
và 
theo thứ tự di chuyển trên các cạnh 
và 
sao cho 
Chứng minh rằng các đường trung trực của 
luôn đi qua một điểm cố định.
Hai điểm và theo thứ tự di chuyển trên các cạnh và sao cho Chứng minh rằng các đường trung trực của luôn đi qua một điểm cố định.
✍️ Hướng dẫn giải:
Trên cạnh
lấy điểm 
sao cho 
. Vì các đỉnh của 
cố định nên điểm 
là cố định.
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
có 
hai điểm 
và 
lần lượt di chuyển trên các cạnh 
và 
sao cho 
.
Xét các trường hợp biên:
+) Khi
trùng với 
thì 
trùng với 
, đường trung trực của 
chính là đường trung trực của 
.
+) Khi
trùng với 
thì 
trùng với 
(do 
), đường trung trực của 
là đường trung trực của 
.
Gọi
là giao điểm của đường trung trực đoạn 
và đường trung trực đoạn 
. Do 
và 
cố định nên 
là điểm cố định.
Ta chứng minh
luôn nằm trên đường trung trực của 
với mọi vị trí của 
Vì
nằm trên đường trung trực của 
và 
nên 
và 
.
Xét
và 
có: 
(theo cách dựng), 
và 
. Suy ra 
(c.c.c).
Từ đó suy ra
(hai góc tương ứng).
Xét
và 
có:
+)
(chứng minh trên)
+)
(chứng minh trên)
+)
(vì 
và 
nên 
)
Suy ra
(c.g.c), dẫn đến 
(hai cạnh tương ứng).
Vì
nên điểm 
luôn thuộc đường trung trực của đoạn thẳng 
. Vậy đường trung trực của 
luôn đi qua điểm 
cố định khi 
và 
di động.
Trên cạnh
lấy điểm sao cho . Vì các đỉnh của cố định nên điểm là cố định.
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
có hai điểm và lần lượt di chuyển trên các cạnh và sao cho .
Xét các trường hợp biên:
+) Khi
trùng với thì trùng với , đường trung trực của chính là đường trung trực của .
+) Khi
trùng với thì trùng với (do ), đường trung trực của là đường trung trực của .
Gọi
là giao điểm của đường trung trực đoạn và đường trung trực đoạn . Do và cố định nên là điểm cố định.
Ta chứng minh
luôn nằm trên đường trung trực của với mọi vị trí của
Vì
nằm trên đường trung trực của và nên và .
Xét
và có: (theo cách dựng), và . Suy ra (c.c.c).
Từ đó suy ra
(hai góc tương ứng).
Xét
và có:
+)
(chứng minh trên)
+)
(chứng minh trên)
+)
(vì và nên )
Suy ra
(c.g.c), dẫn đến (hai cạnh tương ứng).
Vì
nên điểm luôn thuộc đường trung trực của đoạn thẳng . Vậy đường trung trực của luôn đi qua điểm cố định khi và di động.
Câu 10 [1081865]: Hình dưới đây mô tả mặt cắt đứng của một chiếc thang chữ A, trong đó độ dài của bên thang được tính bằng độ dài đoạn thẳng OM, chiều cao của chiếc thang được tính bằng độ dài đoạn OH, với H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng d. Một người sử dụng thang này có thể đứng ở độ cao 4 m hay không nếu độ dài của một bên thang là 3,5 m? Vì sao?
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Độ dài một bên thang là
và một người sử dụng thang này có thể đứng ở độ cao 
nên 
và 
Vì
và 
lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm 
đến đường thẳng 
nên 
suy="" ra="" 
="" Vậy một người sử dụng thang này không thể đứng ở độ cao 
Dựa vào dữ kiện: Độ dài một bên thang là
và một người sử dụng thang này có thể đứng ở độ cao nên và
Vì
và lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng nên suy="" ra="" =""
Câu 11 [1081866]: Bạn Hoàng muốn đo chiều cao của một cây dừa mọc thẳng đứng trong sân, bạn dùng một cây cọc 
dài 1,5 m và chiều dài thân mình để đo. Bạn nằm cách gốc cây 3 m (tính từ chân của bạn) và bạn cắm cọc thẳng đứng dưới chân mình thì bạn thấy đỉnh thân cọc và đỉnh cây thẳng hàng với nhau. Em hãy giúp bạn tính chiều cao của cây dừa, biết bạn Hoàng cao 1,7 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
dài 1,5 m và chiều dài thân mình để đo. Bạn nằm cách gốc cây 3 m (tính từ chân của bạn) và bạn cắm cọc thẳng đứng dưới chân mình thì bạn thấy đỉnh thân cọc và đỉnh cây thẳng hàng với nhau. Em hãy giúp bạn tính chiều cao của cây dừa, biết bạn Hoàng cao 1,7 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
là chiều cao của cây dừa và 
là chiều cao của cây cọc. Vì cả cây dừa và cây cọc đều mọc thẳng đứng nên 
theo định lí Thalès (hệ quả) ta có 
Kết hợp với dữ kiện:
và 
Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
Vậy chiều cao của cây dừa xấp xỉ
Dựa vào hình vẽ:
là chiều cao của cây dừa và là chiều cao của cây cọc. Vì cả cây dừa và cây cọc đều mọc thẳng đứng nên theo định lí Thalès (hệ quả) ta có Kết hợp với dữ kiện:
và Thay số vào biểu thức:
Suy ra:
Vậy chiều cao của cây dừa xấp xỉ
Câu 12 [1081867]: Cho 
Kẻ trung tuyến 
Đặt 
Chứng minh rằng 
Kẻ trung tuyến Đặt Chứng minh rằng
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
có 
và trung tuyến 
nên 
là trung điểm của 
suy ra 
📒Nhắc lại kiến thức: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
+) Xét
ta có: 
+) Xét
ta có: 
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
Thay vào biểu thức:
Suy ra:
(*)
Trên tia đối của tia
lấy điểm 
sao cho 
.
Xét
và 
có: 
, 
(
là trung điểm 
), 
(đối đỉnh).
Suy ra
(c.g.c) 
.
Xét
, áp dụng bất đẳng thức tam giác: 
.
Thay vào biểu thức:
(**)
Từ (*) và (**) có điều phải chứng minh:
.
Dựa vào dữ kiện:
có và trung tuyến nên là trung điểm của suy ra
📒Nhắc lại kiến thức: Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
+) Xét
ta có:
+) Xét
ta có:
Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:
Thay vào biểu thức:
Suy ra:
(*)
Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho .
Xét
và có: , ( là trung điểm ), (đối đỉnh).
Suy ra
(c.g.c) .
Xét
, áp dụng bất đẳng thức tam giác: .
Thay vào biểu thức:
(**)
Từ (*) và (**) có điều phải chứng minh:
. Dạng 3: Câu hỏi “Tổng hợp”
Câu 13 [1081868]: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến 
cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB. lấy điểm E sao cho 
Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho 
Chứng minh:
a)
b)
và 
cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB. lấy điểm E sao cho Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho Chứng minh: a)
b)
và
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh
và 
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có hai đường trung tuyến 
và 
cắt nhau tại 
nên 
là trọng tâm của tam giác, suy ra 
và 
Kết hợp với dữ kiện:
+) Trên tia đối của tia
lấy điểm 
sao cho 
suy ra 
.
+) Trên tia đối của tia
lấy điểm 
sao cho 
, suy ra 
.
Vậy
và 
b) Chứng minh
và 
Xét
và 
có:
+)
(chứng minh trên)
+)
(hai góc đối đỉnh)
+)
(chứng minh trên)
Suy ra
(c.g.c).
Do đó ta có
(hai cạnh tương ứng).
Đồng thời
(hai góc tương ứng), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên 
a) Chứng minh
và Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại nên là trọng tâm của tam giác, suy ra và Kết hợp với dữ kiện:
+) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho suy ra .+) Trên tia đối của tia
lấy điểm sao cho , suy ra .Vậy
và b) Chứng minh
và Xét
và có:+)
(chứng minh trên)+)
(hai góc đối đỉnh)+)
(chứng minh trên)Suy ra
(c.g.c).Do đó ta có
(hai cạnh tương ứng).Đồng thời
(hai góc tương ứng), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên
Câu 14 [1081869]: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến 
cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
là trung điểm của đoạn thẳng 
Trên tia đối của tia 
lấy điểm 
sao cho 
là trung điểm 
Chứng minh:
a)
b)
và 
cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm Chứng minh: a)
b)
và
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh
và 
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có hai đường trung tuyến 
và 
cắt nhau tại 
nên 
là trọng tâm của tam giác, suy ra 
và 
Kết hợp với dữ kiện:
+)
là trung điểm của 
nên 
+)
là trung điểm của 
nên 
Vậy
và 
b) Chứng minh
và 
Xét
và 
có:
+)
(chứng minh trên)
+)
(hai góc đối đỉnh)
+)
(chứng minh trên)
Suy ra
(c.g.c).
Do đó
(hai cạnh tương ứng).
Đồng thời
(hai góc tương ứng), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên 
a) Chứng minh
và
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại nên là trọng tâm của tam giác, suy ra và
Kết hợp với dữ kiện:
+)
là trung điểm của nên
+)
là trung điểm của nên
Vậy
và
b) Chứng minh
và
Xét
và có:
+)
(chứng minh trên)
+)
(hai góc đối đỉnh)
+)
(chứng minh trên)
Suy ra
(c.g.c).
Do đó
(hai cạnh tương ứng).
Đồng thời
(hai góc tương ứng), mà hai góc này ở vị trí so le trong nên
Câu 15 [1081870]: Cho hai đường thẳng 
và 
cắt nhau tại 
Trên tia 
lấy hai điểm A, B sao cho 
nằm giữa 
và 
Trên 
lấy hai điểm 
và 
sao cho 
là trung điểm của LM. Nối 
với 
với 
và gọi 
là trung điểm của đoạn 
là trung điểm của đoạn 
Chứng minh rằng các đoạn thẳng 
và 
đi qua 
và cắt nhau tại Trên tia lấy hai điểm A, B sao cho nằm giữa và Trên lấy hai điểm và sao cho là trung điểm của LM. Nối với với và gọi là trung điểm của đoạn là trung điểm của đoạn Chứng minh rằng các đoạn thẳng và đi qua
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
lần lượt là trung điểm của 
nên tam giác 
có ba đường trung tuyến là 
Khi đó
là trọng tâm của tam giác, suy ra 
và 
Kết hợp với dữ kiện:
và 
khi đó 
, hay 
.
Suy ra
do đó các đoạn thẳng 
và 
đều đi qua điểm 
(đpcm).
Dựa vào dữ kiện:
lần lượt là trung điểm của nên tam giác có ba đường trung tuyến là Khi đó
là trọng tâm của tam giác, suy ra và Kết hợp với dữ kiện:
và khi đó , hay .
Suy ra
do đó các đoạn thẳng và đều đi qua điểm (đpcm).