Dạng 1: Câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”
Câu 1 [1081918]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Ta gọi tứ giác ABCD với
(Hình vẽ) là hình “cái diều”. Biết 
Khi đó 
[[21538756]] và 
[[21538754]].
Ta gọi tứ giác ABCD với
(Hình vẽ) là hình “cái diều”. Biết Khi đó [[21538756]] và [[21538754]].
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ hiện và hình vẽ:
xét 
và 
có
+)
+)
+)
là cạnh chung.
Suy ra
(c.c.c).
Khi đó
Kết hợp với dữ kiện:
nên 
Tứ giác
có 
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 135°; 95°.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ hiện và hình vẽ:
xét và có
+)
+)
+)
là cạnh chung.
Suy ra
(c.c.c).
Khi đó
Kết hợp với dữ kiện:
nên
Tứ giác
có
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 135°; 95°.
Câu 2 [1081919]: Kéo và thả các số thích hợp vào các chỗ trống.
Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông,
Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình vẽ).
Khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D lần lượt là [[21538770]] m, [[21538768]] m và [[21538769]] m.
Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông,
Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình vẽ). Khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D lần lượt là [[21538770]] m, [[21538768]] m và [[21538769]] m.
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Kéo thả đáp án đúng từ những đáp án cho trước”, học sinh chọn các phương án cho trước để kéo và thả vào các chỗ trống nhằm thu được các khẳng định đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ giác
có 
nên 
là hình chữ nhật.
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
nên
+)
+)
Suy ra
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 500; 300; 400.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ giác
có nên là hình chữ nhật.
Kết hợp với dữ kiện và hình vẽ:
nên
+)
+)
Suy ra
🔑 Đáp án các ô lần lượt là: 500; 300; 400.
Dạng 2: Câu hỏi “Điền đáp án đúng”
Câu 3 [1081920]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Tùng làm một con diều có dạng tứ giác ABCD. Cho biết AC là trung trực của BD và
Diện tích thân diều bằng __________
Tùng làm một con diều có dạng tứ giác ABCD. Cho biết AC là trung trực của BD và
Diện tích thân diều bằng __________
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ giác
hai đường chéo 
vuông góc với nhau (
là trung trực của 
) và 
nên
🔑 Điền đáp án: 2700.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ giác
hai đường chéo vuông góc với nhau ( là trung trực của ) và nên
🔑 Điền đáp án: 2700.
Câu 4 [1081921]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười thích hợp vào chỗ trống.
Hình vẽ mô tả mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của một chiếc tàu thuỷ. Chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó là __________ m.
Hình vẽ mô tả mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của một chiếc tàu thuỷ. Chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó là __________ m.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
+)Tam giác
vuông tại 
nên theo định lý Pythagore ta có:
+) Tam giác
vuông tại 
nên theo định lý Pythagore ta có:
+)
+)
+) Tam giác
vuông tại 
nên theo định lý Pythagore ta có:
Chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thủy là:
🔑 Điền đáp án: 102,4.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
+)Tam giác
vuông tại nên theo định lý Pythagore ta có: +) Tam giác
vuông tại nên theo định lý Pythagore ta có: +)
+)
+) Tam giác
vuông tại nên theo định lý Pythagore ta có: Chu vi mặt cắt dọc phần nổi trên mặt nước của chiếc tàu thủy là:
🔑 Điền đáp án: 102,4.
Câu 5 [1081922]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta là như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (Hình vẽ). Người ta đo được
Độ dài của AB bằng __________ m.
Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta là như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được; O là trung điểm của cả AC và BD (Hình vẽ). Người ta đo được
Độ dài của AB bằng __________ m.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Tứ giác
có hai đường chéo 
và 
cắt nhau tại trung điểm 
của mỗi đường nên 
là hình bình hành.
Khi đó
🔑 Điền đáp án: 100.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ: Tứ giác
có hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
Khi đó
🔑 Điền đáp án: 100.
Câu 6 [1081923]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị thích hợp vào chỗ trống.
Hình sau mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là __________mm.
Hình sau mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là __________mm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Giả sử một lưới mắt cáo được mô tả bởi hình thoi
như hình vẽ trên.
Khi đó
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
là hình thoi nên hai đường chéo 
và 
vuông góc với nhau tại trung điểm 
của mỗi đường.
Suy ra
Xét tam giác
vuông tại 
theo định lý Pythagore ta có:
🔑 Điền đáp án: 50.
✍️ Hướng dẫn giải:
Giả sử một lưới mắt cáo được mô tả bởi hình thoi
như hình vẽ trên.Khi đó
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
là hình thoi nên hai đường chéo và vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.Suy ra
Xét tam giác
vuông tại theo định lý Pythagore ta có:🔑 Điền đáp án: 50.
Câu 7 [1081924]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm thích hợp vào chỗ trống.
Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60°. Diện tích của viên gạch đó là __________
Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60°. Diện tích của viên gạch đó là __________
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Giả sử viên gạch trang trí được mô tả bởi hình thoi
như hình vẽ trên.
Dựa vào dữ kiện:
là hình thoi nên 
mà 
và 
nên hai tam giác 
và 
đều cạnh 
Diện tích hình thoi là
🔑 Điền đáp án: 1385,64.
✍️ Hướng dẫn giải:
Giả sử viên gạch trang trí được mô tả bởi hình thoi
như hình vẽ trên.
Dựa vào dữ kiện:
là hình thoi nên mà và nên hai tam giác và
đều cạnh
Diện tích hình thoi là
🔑 Điền đáp án: 1385,64.
Câu 8 [1081925]: Điền một số tự nhiên thích hợp vào chỗ trống.
Cho hình chữ nhật
Điểm 
nằm trong hình chữ nhật. Giá trị nhỏ nhất của tổng 
bằng __________.
Cho hình chữ nhật
Điểm nằm trong hình chữ nhật. Giá trị nhỏ nhất của tổng bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một số tự nhiên”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là hình chữ nhật nên 
Ta đặt
Xét ba điểm
ta có 
Suy ra
nên 
hay 
(1)
Mặt khác
hay 
(2)
Cộng (1) và (2) được
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
nằm giữa 
và 
và 
tức là 
là trung điểm của 
Chứng minh tương tự, ta có
và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
là trung điểm của 
Vậy
Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng
bằng 
, và đạt được khi 
là giao điểm của hai đường chéo 
và 
.
🔑 Điền đáp án: 100.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là hình chữ nhật nên Ta đặt
Xét ba điểm
ta có Suy ra
nên hay (1)Mặt khác
hay (2)Cộng (1) và (2) được
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
nằm giữa và và tức là là trung điểm của Chứng minh tương tự, ta có
và dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi là trung điểm của Vậy
Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng
bằng , và đạt được khi là giao điểm của hai đường chéo và .🔑 Điền đáp án: 100.
Câu 9 [1081926]: Điền kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười thích hợp vào chỗ trống.
Cho hai hình vuông có kích thước giống nhau và có cạnh bằng 1 được đặt nội tiếp một hình thang vuông như hình vẽ.
Khi đó giá trị lớn nhất của h bằng __________.
Cho hai hình vuông có kích thước giống nhau và có cạnh bằng 1 được đặt nội tiếp một hình thang vuông như hình vẽ.
Khi đó giá trị lớn nhất của h bằng __________.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Điền đáp án đúng” với dữ liệu điền vào chỗ trống là “một kết quả chính xác hoặc kết quả được làm tròn đến hàng phần mười”. Khi trả lời câu hỏi này, cần chú ý đến dữ liệu điền vào chỗ trống để tránh sai sót.
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ: Theo định lý Thales ta có
Suy ra
, tới đây ta được
Giải phương trình này ta tìm được
, do đó giá trị lớn nhất của 
đạt được khi 
và
🔑 Điền đáp án: 1,6.
✍️ Hướng dẫn giải:
Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ.
Dựa vào hình vẽ: Theo định lý Thales ta có
Suy ra
, tới đây ta đượcGiải phương trình này ta tìm được
, do đó giá trị lớn nhất của đạt được khi và🔑 Điền đáp án: 1,6.
Dạng 3: Câu hỏi “Tự luận”
Câu 10 [1081927]: Tứ giác Long Xuyên là một vùng đất hình tứ giác thuộc vùng đồng bằng sông Cửu Long trên địa phận của ba tỉnh thành: Kiên Giang, An Giang và Cần Thơ. Bốn cạnh của tứ giác này là biên giới Việt Nam – Campuchia, vịnh Thái Lan, kênh Cải Sắn và sông Bassac (sông Hậu). Bốn đỉnh của tứ giác là thành phố Long Xuyên, thành phố Châu Đốc, thị xã Hà Tiên và thành phố Rạch Giá (như hình vẽ). Tính góc còn lại của tứ giác 
Thị xã Hà Tiên, tỉnh Kiên Giang.
Thành phố Rạch Giá, Kiên Giang.
Thành phố Long Xuyên, tỉnh An Giang.
Thành phố Châu Đốc, tỉnh An Giang.
Thị xã Hà Tiên, tỉnh Kiên Giang. Thành phố Rạch Giá, Kiên Giang. Thành phố Long Xuyên, tỉnh An Giang. Thành phố Châu Đốc, tỉnh An Giang.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào hình vẽ:
Kết hợp với dữ kiện: Tứ giác
có 
và 
nên
Dựa vào hình vẽ:
Kết hợp với dữ kiện: Tứ giác
có và nên
Câu 11 [1081928]: Cho tứ giác 
Gọi 
là giao điểm của hai đường chéo 
và 
Gọi chu vi của tứ giác 
là 
Chứng minh:
a)
b) Nếu
thì 
Gọi là giao điểm của hai đường chéo và Gọi chu vi của tứ giác là Chứng minh: a)
b) Nếu
thì
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Dựa vào hình vẽ: Xét các tam giác được tạo bởi giao điểm
của hai đường chéo, áp dụng bất đẳng thức tam giác:
+)
: 
+)
: 
+)
: 
+)
: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên:
Suy ra
(đpcm).
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào các tam giác
, 
ta được:
và 
Tương tự
(đpcm).
a) Dựa vào hình vẽ: Xét các tam giác được tạo bởi giao điểm
của hai đường chéo, áp dụng bất đẳng thức tam giác:
+)
:
+)
:
+)
:
+)
:
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên:
Suy ra
(đpcm).
b) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào các tam giác
, ta được:
và
Tương tự
(đpcm).
Câu 12 [1081929]: Cho hình bình hành 
gọi 
là giao điểm của hai đường chéo. Gọi 
và 
lần lượt là trung điểm của 
Kẻ 
vuông góc với 
tại 
vuông góc với 
tại 
Chứng minh ba điểm 
thẳng hàng và các đường thẳng 
đồng quy.
gọi là giao điểm của hai đường chéo. Gọi và lần lượt là trung điểm của Kẻ vuông góc với tại vuông góc với tại Chứng minh ba điểm thẳng hàng và các đường thẳng đồng quy.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là hình bình hành nên 
Kết hợp với dữ kiện:
suy ra 
lại có 
nên 
Ta có
(cạnh huyền - góc nhọn) suy ra 
Từ
và 
suy ra tứ giác 
là hình bình hành.
Xét hình bình hành
có 
là trung điểm của 
suy ra 
là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành 
Do đó 3 điểm
thẳng hàng.
Suy ra
cùng đi qua 
Hay
đồng quy.
Dựa vào dữ kiện:
là hình bình hành nên
Kết hợp với dữ kiện:
suy ra lại có nên
Ta có
(cạnh huyền - góc nhọn) suy ra
Từ
và suy ra tứ giác là hình bình hành.
Xét hình bình hành
có là trung điểm của suy ra là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành
Do đó 3 điểm
thẳng hàng.
Suy ra
cùng đi qua
Hay
đồng quy.
Câu 13 [1081930]: Cho hình bình hành 
Gọi 
là giao điểm hai đường thẳng 
và 
Qua điểm 
vẽ đường thẳng 
cắt hai đường thẳng 
lần lượt tại 
Qua 
vẽ đường thẳng 
cắt hai cạnh 
lần lượt tại 
Chứng minh tứ giác 
là hình bình hành.
Gọi là giao điểm hai đường thẳng và Qua điểm vẽ đường thẳng cắt hai đường thẳng lần lượt tại Qua vẽ đường thẳng cắt hai cạnh lần lượt tại Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành 
nên 
Xét hai tam giác
và 
có:
(so le trong);
(đối đỉnh).
Suy ra
(g-c-g).
Do đó
(hai cạnh tương ứng), nghĩa là 
là trung điểm của 
.
Tương tự,
là trung điểm của 
Xét tứ giác
, có hai đường chéo 
cắt nhau tại trung điểm 
của mỗi đường; Do đó tứ giác 
là hình bình hành (đpcm).
Dựa vào dữ kiện:
là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành nên
Xét hai tam giác
và có:
(so le trong);
(đối đỉnh).
Suy ra
(g-c-g).
Do đó
(hai cạnh tương ứng), nghĩa là là trung điểm của .
Tương tự,
là trung điểm của
Xét tứ giác
, có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; Do đó tứ giác là hình bình hành (đpcm). Dạng 4: Câu hỏi “Tổng hợp”
Câu 14 [1081931]: Cho tam giác 
vuông cân tại 
đường cao 
Gọi 
là một điểm bất kì trên cạnh 
Vẽ 
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng
và 
c) Tính số đo các góc của tam giác
vuông cân tại đường cao Gọi là một điểm bất kì trên cạnh Vẽ a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng
và c) Tính số đo các góc của tam giác
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông cân tại 
và 
nên tứ giác 
có ba góc vuông, do đó 
là hình chữ nhật suy ra 
b) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông cân, 
là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên 
và 
Tam giác
vuông tại 
nên 
là tam giác vuông cân suy ra 
do đó 
Có
(c.g.c) suy ra 
và 
c) Ta có
Suy ra
hay 
Do đó
vuông cân suy ra 
a) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông cân tại và nên tứ giác có ba góc vuông, do đó là hình chữ nhật suy ra
b) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông cân, là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên và
Tam giác
vuông tại nên là tam giác vuông cân suy ra do đó
Có
(c.g.c) suy ra và
c) Ta có
Suy ra
hay
Do đó
vuông cân suy ra
Câu 15 [1081932]: Cho tam giác 
vuông tại 
đường cao 
đường trung tuyến 
Vẽ 
Gọi 
và 
lần lượt là trung điểm của 
và 
a) Chứng minh tứ giác
là hình chữ nhật và 
b) Gọi
là giao điểm của 
và 
Chứng minh rằng 
và 
c) Chứng minh rằng
vuông tại đường cao đường trung tuyến Vẽ Gọi và lần lượt là trung điểm của và a) Chứng minh tứ giác
là hình chữ nhật và b) Gọi
là giao điểm của và Chứng minh rằng và c) Chứng minh rằng
✍️ Hướng dẫn giải:
a) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông tại 
và 
nên tứ giác 
có ba góc vuông, suy ra 
là hình chữ nhật, nên 
.
Xét
vuông tại 
có 
là đường trung tuyến, suy ra 
Khi đó
cân tại 
suy ra 
Kết hợp với dữu kiện:
(cùng phụ với 
) và 
(hai góc ở đáy của tam giác cân), do đó 
.
b) Xét
vuông tại 
có 
là đường trung tuyến, suy ra 
Xét hai tam giác
và 
có:
+) Cạnh chung
+)
+)
Suy ra
(c.c.c), suy ra 
nên 
Chứng minh tương tự được
c) Xét
vuông tại 
có 
suy ra 
nên 
Do đó
Từ (1), (2), (3) suy ra
(vì đều vuông góc với 
).
a) Dựa vào dữ kiện: Tam giác
vuông tại và nên tứ giác có ba góc vuông, suy ra là hình chữ nhật, nên .Xét
vuông tại có là đường trung tuyến, suy ra Khi đó
cân tại suy ra Kết hợp với dữu kiện:
(cùng phụ với ) và (hai góc ở đáy của tam giác cân), do đó .b) Xét
vuông tại có là đường trung tuyến, suy ra Xét hai tam giác
và có:+) Cạnh chung
+)
+)
Suy ra
(c.c.c), suy ra nên Chứng minh tương tự được
c) Xét
vuông tại có suy ra nên Do đó
Từ (1), (2), (3) suy ra
(vì đều vuông góc với ).