Dạng 1: Câu hỏi “Chọn một trong bốn đáp án”
Câu 1 [1082771]: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A, Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường này thì song song với đường kia.
B, Cho đường thẳng
mọi mặt phẳng
chứa a thì 
mọi mặt phẳng
chứa a thì 
C, Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường thẳng kia.
D, Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng
chứa a và mặt phẳng
chứa b thì 
chứa a và mặt phẳng
chứa b thì 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét phát biểu thứ nhất: SAI vì mặt phẳng đó có thể chứa đường thẳng kia thay vì song song.
Xét phát biểu thứ hai: ĐÚNG vì nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Xét phát biểu thứ ba: SAI do điều này chỉ đúng khi hai đường thẳng đó vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau; nếu chúng không vuông góc, ta không thể tìm được mặt phẳng thỏa mãn.
Xét phát biểu thứ tư: SAI vì hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng vuông góc chưa chắc đã vuông góc với nhau (ví dụ: hai mặt phẳng này có thể cùng song song với một đường thẳng thứ ba).
🔑 Chọn đáp án: Cho đường thẳng
mọi mặt phẳng
chứa a thì
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Xét phát biểu thứ nhất: SAI vì mặt phẳng đó có thể chứa đường thẳng kia thay vì song song.
Xét phát biểu thứ hai: ĐÚNG vì nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Xét phát biểu thứ ba: SAI do điều này chỉ đúng khi hai đường thẳng đó vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau; nếu chúng không vuông góc, ta không thể tìm được mặt phẳng thỏa mãn.
Xét phát biểu thứ tư: SAI vì hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng vuông góc chưa chắc đã vuông góc với nhau (ví dụ: hai mặt phẳng này có thể cùng song song với một đường thẳng thứ ba).
🔑 Chọn đáp án: Cho đường thẳng
mọi mặt phẳng
chứa a thì
Đáp án: B
Câu 2 [1082772]: Cho hai mặt phẳng phân biệt
và
a là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng
Mệnh đề nào dưới đây sai?
và
a là một đường thẳng nằm trên mặt phẳng
Mệnh đề nào dưới đây sai? A, Nếu
với
thì 
với
thì 
B, Nếu
thì 
thì 
C, Nếu a cắt
thì
cắt 
thì
cắt 
D, Nếu
thì 
thì 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Xét mệnh đề 1:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu đường thẳng
không nằm trong mặt phẳng
và song song với một đường thẳng nằm trong
thì
song song với
Kết hợp với dữ kiện:
với
suy ra
vậy mệnh đề 1 đúng.
Xét mệnh đề 2:
📒 Nhắc lại kiến thức: Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó để
thì
cần vuông góc với giao tuyến của
và
vậy mệnh đề 2 sai.
Xét mệnh đề 3:
Gọi
Kết hợp với dữ kiện:
vậy mệnh đề 3 đúng.
Xét mệnh đề 4:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
Kết hợp với dữ kiện:
suy ra
vậy mệnh đề 4 đúng.
🔑 Chọn đáp án: Nếu
thì
Đáp án: B
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Xét mệnh đề 1:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu đường thẳng
không nằm trong mặt phẳng
và song song với một đường thẳng nằm trong
thì
song song với
Kết hợp với dữ kiện:
với
suy ra
vậy mệnh đề 1 đúng.
Xét mệnh đề 2:
📒 Nhắc lại kiến thức: Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Do đó để
thì
cần vuông góc với giao tuyến của
và
vậy mệnh đề 2 sai.
Xét mệnh đề 3:
Gọi
Kết hợp với dữ kiện:
vậy mệnh đề 3 đúng.
Xét mệnh đề 4:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.
Kết hợp với dữ kiện:
suy ra
vậy mệnh đề 4 đúng.
🔑 Chọn đáp án: Nếu
thì
Đáp án: B
Câu 3 [1082773]: Cho
và
là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi
là các đường thẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
và
là hai mặt phẳng vuông góc với nhau và giao tuyến của chúng là đường thẳng m. Gọi
là các đường thẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A, Nếu
và
thì 
và
thì 
B, Nếu
thì 
thì 
C, Nếu
thì
hoặc 
thì
hoặc 
D, Nếu
thì 
thì 
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau có giao tuyến
và
suy ra
🔑 Chọn đáp án: Nếu
và
thì
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
📒 Nhắc lại kiến thức: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
và
vuông góc với nhau có giao tuyến
và
suy ra
🔑 Chọn đáp án: Nếu
và
thì
Đáp án: A
Câu 4 [1082774]: Cho tứ diện
có các góc phẳng tại đỉnh S đều vuông. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng
là
có các góc phẳng tại đỉnh S đều vuông. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng
là A, trực tâm tam giác ABC.
B, trọng tâm tam giác ABC.
C, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
D, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ diện
có các góc phẳng tại đỉnh S đều vuông, tức
và
suy ra
Dựng
tại
và
tại
Xét
có
và
suy ra
Xét
có
và
suy ra
do đó
là hình chiếu vuông góc của
lên
Chứng minh tương tự, được
Từ (1) và (2) suy ra
là trực tâm tam giác
🔑 Chọn đáp án: trực tâm tam giác
Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Tứ diện
có các góc phẳng tại đỉnh S đều vuông, tức
và
suy ra
Dựng
tại
và
tại
Xét
có
và
suy ra
Xét
có
và
suy ra
do đó
là hình chiếu vuông góc của
lên
Chứng minh tương tự, được
Từ (1) và (2) suy ra
là trực tâm tam giác
🔑 Chọn đáp án: trực tâm tam giác
Đáp án: A
Câu 5 [1082775]: Cho hình chóp
có đáy là hình vuông tâm O,
Biết rằng I là trung điểm của AB. Khẳng định nào dưới đây là sai?
có đáy là hình vuông tâm O,
Biết rằng I là trung điểm của AB. Khẳng định nào dưới đây là sai? A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện:
là hình vuông tâm
có
và
là trung điểm của 
Xét phương án A:
.
Ta có
do
là hình vuông.
Lại có
nên
.
Mặt phẳng
chứa
nên
.
Phương án A đúng.
Xét phương án B:
.
Vì
và
chứa
nên
.
Phương án B đúng.
Xét phương án C:
.
Gọi
là trung điểm của
.
Ta có
và
nên
.
Vì
thẳng hàng nên
chính là
.
Do đó
.
Phương án C đúng.
Xét phương án D:
.
Hai mặt phẳng này lần lượt chứa các đường thẳng
và
song song nhau.
Không tồn tại đường thẳng nào trong
vuông góc với
theo giả thiết đã cho.
Do đó không có cơ sở để kết luận hai mặt phẳng này vuông góc.
Phương án D sai.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện:
là hình vuông tâm
có
và
là trung điểm của 
Xét phương án A:
.Ta có
do
là hình vuông.Lại có
nên
.Mặt phẳng
chứa
nên
.Phương án A đúng.
Xét phương án B:
.Vì
và
chứa
nên
.Phương án B đúng.
Xét phương án C:
.Gọi
là trung điểm của
.Ta có
và
nên
.Vì
thẳng hàng nên
chính là
.Do đó
.Phương án C đúng.
Xét phương án D:
.Hai mặt phẳng này lần lượt chứa các đường thẳng
và
song song nhau.Không tồn tại đường thẳng nào trong
vuông góc với
theo giả thiết đã cho.Do đó không có cơ sở để kết luận hai mặt phẳng này vuông góc.
Phương án D sai.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 6 [1082776]: Cho tứ diện
có
là đường cao của tam giác
và
lần lượt là đường cao trong các tam giác
và
Khẳng định nào sau đây là sai?
A, 
B, 
C, 
D, 
Đính chính: Nhóm tác giả xin gửi lời xin lỗi chân thành đến các em học sinh. Trong quá trình biên soạn tài liệu, không tránh khỏi có sơ sót. Các em sửa lại đề bài như trên web. Sai sót này sẽ được sửa trong lần tái bản sau. Cảm ơn các em!
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ và dữ kiện: Tứ diện
có
và
là đường cao của tam giác
nên
và
do đó 
Mặt khác,
nên theo định lý về hai mặt phẳng vuông góc, 
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Suy ra
Do đó phát biểu thứ tư ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện:
lần lượt là chân đường cao kẻ từ
đến
và
nên:
+) Xét mặt phẳng
có
và
(do
), suy ra

+) Xét mặt phẳng
có
vuông góc với cả
và
nên
mà
suy ra 
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Ta chỉ có
và không có đủ cơ sở để chứng minh
vuông góc với một đường thẳng khác trong mặt phẳng
như
hay 
Do đó phát biểu thứ ba SAI.
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: C
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ và dữ kiện: Tứ diện
Mặt khác,
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Suy ra
Do đó phát biểu thứ tư ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện:
+) Xét mặt phẳng
+) Xét mặt phẳng
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Ta chỉ có
Do đó phát biểu thứ ba SAI.
🔑 Chọn đáp án:
Câu 7 [1082777]: Cho hình chóp
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có 

và
Gọi
là số đo của góc nhị diện
Giá trị của
bằng
có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có 

và
Gọi
là số đo của góc nhị diện
Giá trị của
bằng A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
khi đó
Dựa vào dữ kiện:
là hình thang vuông tại
và
với các cạnh
nên tứ giác
là hình vuông cạnh
do đó
và
Xét tam giác
có
là trung điểm của
và
nên
vuông tại
, hay
.
Xét mặt phẳng
có
và
(do
), suy ra
Xét hai mặt phẳng
và
có giao tuyến là
và
nên góc nhị diện cần tìm là
Kết hợp với dữ kiện:
xét tam giác
vuông tại
có:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
khi đó
Dựa vào dữ kiện:
là hình thang vuông tại
và
với các cạnh
nên tứ giác
là hình vuông cạnh
do đó
và
Xét tam giác
có
là trung điểm của
và
nên
vuông tại
, hay
.
Xét mặt phẳng
có
và
(do
), suy ra
Xét hai mặt phẳng
và
có giao tuyến là
và
nên góc nhị diện cần tìm là
Kết hợp với dữ kiện:
xét tam giác
vuông tại
có:
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 8 [1082778]: Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông tại
có 
tam giác
đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa
và mặt phẳng đáy là
có đáy là tam giác vuông tại
có 
tam giác
đều và mặt trong mặt phẳng vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa
và mặt phẳng đáy là A, 30°.
B, 45°.
C, 60°.
D, 90°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
đều nên
Kết hợp với dữ kiện: Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
nên
Do đó
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
Góc giữa
và
chính là góc
Xét tam giác vuông
vuông tại
ta có:
Tam giác
đều cạnh
nên
Trong tam giác vuông
là trung tuyến ứng với cạnh huyền
nên
Xét tam giác vuông
tại
ta có:
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: 60°. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
đều nên
Kết hợp với dữ kiện: Mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
nên
Do đó
là hình chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
Góc giữa
và
chính là góc
Xét tam giác vuông
vuông tại
ta có:
Tam giác
đều cạnh
nên
Trong tam giác vuông
là trung tuyến ứng với cạnh huyền
nên
Xét tam giác vuông
tại
ta có:
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: 60°. Đáp án: C
Câu 9 [1082779]: Cho hình hộp chữ nhật
có
(tham khảo hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
có
(tham khảo hình vẽ).
Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng A, 30°.
B, 45°.
C, 60°.
D, 90°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
là hình hộp chữ nhật nên hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
là điểm
do đó hình chiếu của đường thẳng
lên
là đường thẳng
Vì vậy góc giữa
và
là góc
Xét tam giác
vuông tại
có
+)
+)
Khi đó
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: 30°. Đáp án: A
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện và hình vẽ:
là hình hộp chữ nhật nên hình chiếu của điểm
lên mặt phẳng
là điểm
do đó hình chiếu của đường thẳng
lên
là đường thẳng
Vì vậy góc giữa
và
là góc
Xét tam giác
vuông tại
có
+)
+)
Khi đó
Suy ra
🔑 Chọn đáp án: 30°. Đáp án: A
Câu 10 [1082780]: Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại B với
Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng
và
bằng 60°. Cosin của góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
bằng
có đáy là tam giác vuông cân tại B với
Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng
và
bằng 60°. Cosin của góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng
bằng A, 

B, 

C, 

D, 

📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
và tam giác
vuông tại
nên
Kết hợp với dữ kiện: Góc giữa mặt phẳng
và
bằng 60°, khi đó
Ta có
Khi đó
Do đó
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
và tam giác
vuông tại
nên
Kết hợp với dữ kiện: Góc giữa mặt phẳng
và
bằng 60°, khi đó
Ta có
Khi đó
Do đó
🔑 Chọn đáp án:
Đáp án: D
Câu 11 [1082781]: Cho tứ diện
có
vuông góc với mặt phẳng
Biết tam giác
vuông góc tại
và
Gọi
là trung điểm của 
Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng
có
vuông góc với mặt phẳng
Biết tam giác
vuông góc tại
và
Gọi
là trung điểm của 
Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng
A, 30°.
B, 45°.
C, 60°.
D, 90°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm của
suy ra
là đường trung bình của tam giác
nên
Do đó góc giữa
là góc giữa
và
và
Kết hợp với dữ kiện:
+)
nên
+)
và tam giác
vuông tại
nên
+)
và tam giác
vuông tại
nên
Tam giác
vuông tại
nên
do đó
Vậy góc giữa
và
bằng
🔑 Chọn đáp án: 60°. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Gọi
là trung điểm của
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm của
suy ra
là đường trung bình của tam giác
nên
Do đó góc giữa
là góc giữa
và
và
Kết hợp với dữ kiện:
+)
nên
+)
và tam giác
vuông tại
nên
+)
và tam giác
vuông tại
nên
Tam giác
vuông tại
nên
do đó
Vậy góc giữa
và
bằng
🔑 Chọn đáp án: 60°. Đáp án: C
Câu 12 [1082782]: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng
Biết tam giác BCD vuông tại C và 

Gọi E là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng
Biết tam giác BCD vuông tại C và 

Gọi E là trung điểm của AC. Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng A, 45°.
B, 90°.
C, 30°.
D, 60°.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi trắc nghiệm bốn phương án lựa chọn, thí sinh chỉ chọn một phương án.
💡 Phương pháp: Chứng minh các tam giác vuông cần thiết, tính các đoạn thẳng liên quan, sử dụng định lý cosin trong tam giác để xác định góc cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
vuông tại
.
Ta có
vuông tại
.
Lại có
vuông tại
.
Xét
vuông tại
ta có
.
Gọi
là trung điểm
,
là trung điểm
là đường trung bình của
.
Xét
vuông tại
, có
.
Xét
vuông tại
, có
.
Vì
góc giữa
và
bằng
.
Áp dụng định lý cosin trong
ta có
.
Thay số
.
Suy ra
.
🔑 Chọn đáp án: D.
Đáp án: D
💡 Phương pháp: Chứng minh các tam giác vuông cần thiết, tính các đoạn thẳng liên quan, sử dụng định lý cosin trong tam giác để xác định góc cần tìm.
✒️ Lời giải chi tiết:
Ta có
vuông tại
.Ta có
vuông tại
.Lại có
vuông tại
.Xét
vuông tại
ta có
.Gọi
là trung điểm
,
là trung điểm
là đường trung bình của
.Xét
vuông tại
, có
.Xét
vuông tại
, có
.Vì
góc giữa
và
bằng
.Áp dụng định lý cosin trong
ta có
.Thay số
.Suy ra
.🔑 Chọn đáp án: D.
Đáp án: D
Câu 13 [1082783]: Bạn Hải mua một mô hình kim tự tháp Ai Cập thu nhỏ để tặng sinh nhật bạn. Mô hình này có đáy là hình vuông, cạnh đáy bằng 10 cm, cạnh bên bằng nhau và có độ dài 10 cm. Bạn Hải muốn cho mô hình này vào một hộp quà hình hộp chữ nhật. Em hãy giúp bạn Hải chọn hộp quà có chiều cao tối thiểu bao nhiêu để cho vừa kim tự tháp trên (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
A, 5,2 cm.
B, 8,6 cm.
C, 7,1 cm.
D, 6,9 cm.
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn”, với phần chọn phương án được cho bởi “hình tròn”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đáy
của kim tự tháp là hình vuông cạnh 10 cm, nên
Kết hợp với dữ kiện: Các cạnh bên của mô hình bằng nhau và có độ dài 10 cm, suy ra tam giác
là tam giác vuông cân, do đó chiều cao của kim tự tháp là:
Vậy chiều cao hộp quà hình hộp chữ nhật tối thiểu là 7,1cm.
🔑 Chọn đáp án: 7,1 cm. Đáp án: C
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn một trong bốn đáp án”, có nghĩa là chỉ có một phương án đúng duy nhất trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Đáy
của kim tự tháp là hình vuông cạnh 10 cm, nên
Kết hợp với dữ kiện: Các cạnh bên của mô hình bằng nhau và có độ dài 10 cm, suy ra tam giác
là tam giác vuông cân, do đó chiều cao của kim tự tháp là:
Vậy chiều cao hộp quà hình hộp chữ nhật tối thiểu là 7,1cm.
🔑 Chọn đáp án: 7,1 cm. Đáp án: C
Dạng 2: Câu hỏi “Chọn nhiều đáp án đúng”
Câu 14 [1082784]: Cho hai mặt phẳng
vuông góc với nhau. Những phát biểu nào dưới đây đúng?
vuông góc với nhau. Những phát biểu nào dưới đây đúng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
vuông góc với nhau nên:
+) Mệnh đề thứ nhất đúng vì hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
+) Mệnh đề thứ hai sai vì đường thẳng này còn cần thỏa mãn điều kiện vuông góc với giao tuyến của
+) Mệnh đề thứ ba đúng vì theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+) Mệnh đề thứ tư sai vì
có thể trùng với
🔑 Chọn phát biểu thứ nhất và phát biểu thứ ba.
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hai mặt phẳng
vuông góc với nhau nên:
+) Mệnh đề thứ nhất đúng vì hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng
+) Mệnh đề thứ hai sai vì đường thẳng này còn cần thỏa mãn điều kiện vuông góc với giao tuyến của
+) Mệnh đề thứ ba đúng vì theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc với nhau, điều kiện cần và đủ là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
+) Mệnh đề thứ tư sai vì
có thể trùng với
🔑 Chọn phát biểu thứ nhất và phát biểu thứ ba.
Câu 15 [1082785]: Cho hình chóp
có đáy là hình thoi. Gọi
theo thứ tự là trung điểm của đoạn 
Những phát biểu nào dưới đây đúng?
có đáy là hình thoi. Gọi
theo thứ tự là trung điểm của đoạn 
Những phát biểu nào dưới đây đúng?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
theo thứ tự là trung điểm của đoạn
nên xét tam giác
có
là đường trung bình, suy ra
(1)
Kết hợp với dữ kiện: Đáy
là hình thoi nên
(hai đường chéo trong hình thoi). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
hay
🔑 Chọn phát biểu thứ ba và phát biểu thứ tư.
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
theo thứ tự là trung điểm của đoạn
nên xét tam giác
có
là đường trung bình, suy ra
(1)
Kết hợp với dữ kiện: Đáy
là hình thoi nên
(hai đường chéo trong hình thoi). (2)
Từ (1) và (2) suy ra
hay
🔑 Chọn phát biểu thứ ba và phát biểu thứ tư.
Câu 16 [1082786]: Cho hình chóp
có ABCD là hình vuông tâm
và
Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD.
Những phát biểu nào dưới đây sai?
có ABCD là hình vuông tâm
và
Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD.Những phát biểu nào dưới đây sai?
📌 Chú ý: Đây là kiểu câu hỏi “Nhiều lựa chọn” với phần chọn phương án được cho bởi “hình vuông”
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện:
và
là hình vuông nên
và
nên 
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Có
nên 
Kết hợp với dữ kiện:
là hình chiếu vuông góc của
lên
nên
do đó
suy ra 
Vì vậy hai đường thẳng
và
không thể vuông góc với nhau.
Do đó phát biểu thứ hai SAI.
Có
suy ra 
Tương tự:
mà
nên

Từ (1) và (2) suy ra
Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
Nếu
thì
mà tam giác
vuông tại H nên điều này vô lý.
Do đó phát biểu thứ tư SAI.
🔑 Chọn phát biểu thứ hai và phát biểu thứ tư.
câu hỏi này thuộc dạng “Chọn nhiều đáp án đúng” có nghĩa là có nhiều hơn một phương án đúng trong câu hỏi này.✍️ Hướng dẫn giải:

Dựa vào dữ kiện:
và
là hình vuông nên
và
nên 
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Có
nên 
Kết hợp với dữ kiện:
là hình chiếu vuông góc của
lên
nên
do đó
suy ra 
Vì vậy hai đường thẳng
và
không thể vuông góc với nhau.Do đó phát biểu thứ hai SAI.
Có
suy ra 
Tương tự:
mà
nên

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
Nếu
thì
mà tam giác
vuông tại H nên điều này vô lý. Do đó phát biểu thứ tư SAI.
🔑 Chọn phát biểu thứ hai và phát biểu thứ tư.
Dạng 3: Câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai”
Câu 17 [1082787]: Trong hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
có tất cả các cạnh đều bằng nhau.Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác
đều là hình thoi, do đó:
mà
🔑 Đáp án: Sai – Đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện: Hình hộp
có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác
đều là hình thoi, do đó:
mà
🔑 Đáp án: Sai – Đúng.
Câu 18 [1082788]: Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
và có 
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC.
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
có đáy là hình thoi tâm
và có 
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC.Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là hình thoi tâm
suy ra
hay
Kết hợp với dữ kiện: Tam giác
có
nên
cân tại
suy ra
do đó
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có
nên
cân tại
suy ra
vậy
Khi đó
là hình chiếu của
lên
suy ra hình chiếu vuông góc của tam giác
lên mặt phẳng
là tam giác 
Do đó phát biểu thứ hai SAI.
Có
và
suy ra
Kết hợp với dữ kiện:
lần lượt là trung điểm của các cạnh
suy ra
Vậy
Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
🔑 Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là hình thoi tâm
suy ra
hay
Kết hợp với dữ kiện: Tam giác
có
nên
cân tại
suy ra
do đó
Do đó phát biểu thứ nhất ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện: Tam giác
có
nên
cân tại
suy ra
vậy
Khi đó
là hình chiếu của
lên
suy ra hình chiếu vuông góc của tam giác
lên mặt phẳng
là tam giác 
Do đó phát biểu thứ hai SAI.
Có
và
suy ra
Kết hợp với dữ kiện:
lần lượt là trung điểm của các cạnh
suy ra
Vậy
Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
🔑 Đáp án: Đúng – Sai – Đúng.
Câu 19 [1082789]: Cho hình lăng trụ tam giác đều
có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
có cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng 
Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm
mà
là tam giác đều cạnh
nên
và
Do đó phát biểu thứ nhất SAI.
Kết hợp với dữ kiện:
là lăng trụ đứng nên
Suy ra
hay
Vậy
là góc phẳng nhị diện
Xét tam giác
vuông tại
nên:
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm
suy ra
là đường trung bình của hình chữ nhật
Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm
mà
là tam giác đều cạnh
nên
và
Do đó phát biểu thứ nhất SAI.
Kết hợp với dữ kiện:
là lăng trụ đứng nên
Suy ra
hay
Vậy
là góc phẳng nhị diện
Xét tam giác
vuông tại
nên:
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Dựa vào dữ kiện:
là trung điểm
suy ra
là đường trung bình của hình chữ nhật
Do đó phát biểu thứ ba ĐÚNG.
🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.
Câu 20 [1082790]: Hình gồm hai nửa mặt phẳng
và
có chung bờ d được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu
Từ một điểm O thuộc d, kẻ các tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng
và
và cùng vuông góc với d. Góc xOy được gọi là góc phẳng nhị diện của
Số đo của góc xOy được gọi là số đo của góc 

Gọi A, B lần lượt là 2 điểm thuộc
và
Khi đó ta coi
như là góc nhị diện
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, 


Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
và
có chung bờ d được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu
Từ một điểm O thuộc d, kẻ các tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng
và
và cùng vuông góc với d. Góc xOy được gọi là góc phẳng nhị diện của
Số đo của góc xOy được gọi là số đo của góc 

Gọi A, B lần lượt là 2 điểm thuộc
và
Khi đó ta coi
như là góc nhị diện
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, 


Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?
📌 Chú ý: Đây là câu hỏi “Chọn đáp án Đúng/Sai” dạng bảng. Khi trả lời câu hỏi này, học sinh cần chú ý đến các phát biểu theo thứ tự từ trên xuống dưới. Rất có thể các phát biểu trước là gợi ý để trả lời các phát biểu sau. Thí sinh cần chọn hoặc đúng hoặc sai cho tất cả các ý trong câu hỏi này.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
nên
Vì vậy
là góc phẳng nhị diện của
Do đó phát biểu thứ nhất SAI.
Kết hợp với dữ kiện: Tam giác
vuông cân tại
nên
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Có
nên
mà
nên
Vì vậy góc
là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện
Kết hợp với dữ kiện:
là trung điểm của
nên góc
bằng
Xét tam giác vuông
có 
nên:
🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.
✍️ Hướng dẫn giải:
Dựa vào dữ kiện:
nên
Vì vậy
là góc phẳng nhị diện của
Do đó phát biểu thứ nhất SAI.
Kết hợp với dữ kiện: Tam giác
vuông cân tại
nên
Do đó phát biểu thứ hai ĐÚNG.
Có
nên
mà
nên
Vì vậy góc
là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện
Kết hợp với dữ kiện:
là trung điểm của
nên góc
bằng
Xét tam giác vuông
có 
nên:
🔑 Đáp án: Sai – Đúng – Đúng.