Câu 1 [1041623]: Cho 
và 
là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 
Mệnh đề nào sau đây đúng?
và là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ Mệnh đề nào sau đây đúng? A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng công thức định nghĩa tích vô hướng 
2. Cách giải: Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ là
Theo giả thiết, vì
và 
cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 
Suy ra
Thay vào công thức ta được
Chọn đáp án C. Đáp án: C
2. Cách giải: Ta có công thức tích vô hướng của hai vectơ là
Theo giả thiết, vì
và cùng hướng nên góc giữa chúng bằng
Suy ra
Thay vào công thức ta được
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 2 [863824]: Cho hai vectơ 
có 
và góc giữa hai vectơ 
bằng 
Tích vô hướng 
bằng
có và góc giữa hai vectơ bằng Tích vô hướng bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có 
Chọn B. Đáp án: B
Chọn B. Đáp án: B
Câu 3 [239602]: Cho hai vectơ 
và 
thỏa mãn 
và 
Xác định góc 
giữa hai vectơ 
và 
và thỏa mãn và Xác định góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto.
2.Cách giải:
Ta có
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Ta có
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 4 [41624]: Trong không gian 
gọi 
là đường thẳng đi qua 
thuộc mặt phẳng 
và cách điểm 
một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa 
và trục tung bằng
gọi là đường thẳng đi qua thuộc mặt phẳng và cách điểm một khoảng nhỏ nhất. Côsin của góc giữa và trục tung bằng A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: D
Câu 5 [380262]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình chữ nhật, 
Cạnh bên 
vuông góc với mặt phẳng 
và 
Hãy xác định góc giữa hai vectơ 
và 
có đáy là hình chữ nhật, Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và Hãy xác định góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Ta có:
vuông cân tại 
nên 
Khi đó:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2.Cách giải:
Ta có:
vuông cân tại nên Khi đó:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 6 [380265]: Cho hình lập phương 
Góc giữa hai vectơ 
và 
là?
Góc giữa hai vectơ và là? A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Dễ thấy tam giác
là tam giác đều cạnh 
nên 
Xét hình bình hành
ta có 
( hai vecto đối song song và bằng nhau).
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Dễ thấy tam giác
là tam giác đều cạnh nên Xét hình bình hành
ta có ( hai vecto đối song song và bằng nhau).Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [1041625]: Cho hình lập phương 
Góc giữa hai vectơ 
và 
bằng
Góc giữa hai vectơ và bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Tịnh tiến vectơ 
về vectơ 
để chuyển về góc giữa hai vectơ chung gốc.
2. Cách giải: Ta có
là hình vuông nên 
Khi đó góc giữa hai vectơ là
Xét hình vuông đáy
, ta có đường chéo 
là phân giác của góc vuông 
Suy ra
Chọn đáp án B. Đáp án: B
về vectơ để chuyển về góc giữa hai vectơ chung gốc.
2. Cách giải: Ta có
là hình vuông nên
Khi đó góc giữa hai vectơ là
Xét hình vuông đáy
, ta có đường chéo là phân giác của góc vuông
Suy ra
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 8 [380263]: Cho hình chóp tứ giác đều 
có tất cả các cạnh bằng 
Góc giữa hai vectơ 
và 
là?
có tất cả các cạnh bằng Góc giữa hai vectơ và là? A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto đã cho thành 2 vecto có chung gốc.
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
2.Cách giải:
Ta có:
3. Kết luận:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 9 [716838]: Cho lăng trụ đều 
Góc giữa hai vectơ 
và 
bằng bao nhiêu?
Góc giữa hai vectơ và bằng bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Ta có
Đáp án: C
Ta có
Đáp án: C
Câu 10 [379534]: Cho hình lập phương 
có cạnh bằng 
Tính 
có cạnh bằng Tính A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Biến đổi 2 vecto thành 2 vecto chung gốc và áp dụng công thức tính tích vô hướng.
2.Cách giải:
Xét hình vuông
ta có 
Suy ra:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2.Cách giải:
Xét hình vuông
ta có
Suy ra:
3. Kết luận:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 11 đến 14
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a.
Câu 11 [1063876]: Góc giữa hai vectơ 
và 
là
và là A, 
B, 
C, 
D, 
Quan sát hình lập phương, ta có 
(hai vectơ đường chéo của hai mặt bên đối diện 
và 
).
Khi đó góc giữa hai vectơ cần tìm là:
Xét mặt bên
là hình vuông, 
và 
là hai đường chéo.
Theo tính chất hình vuông, hai đường chéo vuông góc với nhau
Vậy góc giữa hai vectơ
và 
là 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
(hai vectơ đường chéo của hai mặt bên đối diện và ).
Khi đó góc giữa hai vectơ cần tìm là:
Xét mặt bên
là hình vuông, và là hai đường chéo.
Theo tính chất hình vuông, hai đường chéo vuông góc với nhau
Vậy góc giữa hai vectơ
và là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 12 [1063877]: Tính 
A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Phân tích vectơ 
thành tổng các vectơ và sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để triệt tiêu các tích vô hướng bằng 0.
2. Cách giải: Ta phân tích vectơ
theo quy tắc ba điểm: 
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Vì cạnh bên
vuông góc với mặt đáy 
chứa 
nên 
Trong hình vuông đáy
ta có 
Suy ra
Do
nên tích vô hướng của chúng bằng 
còn 
nên 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
thành tổng các vectơ và sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để triệt tiêu các tích vô hướng bằng 0.
2. Cách giải: Ta phân tích vectơ
theo quy tắc ba điểm:
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Vì cạnh bên
vuông góc với mặt đáy chứa nên
Trong hình vuông đáy
ta có
Suy ra
Do
nên tích vô hướng của chúng bằng còn nên
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 13 [1063878]: Tính 
A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Tịnh tiến vectơ 
về 
sau đó dùng công thức tích vô hướng dựa trên góc hoặc phân tích vectơ.
2. Cách giải: Quan sát hình lập phương, ta thấy
(do 
là hình vuông).
Khi đó:
Trong hình vuông đáy
góc giữa đường chéo 
và cạnh 
là 
Ta có
và 
Áp dụng công thức:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
về sau đó dùng công thức tích vô hướng dựa trên góc hoặc phân tích vectơ.
2. Cách giải: Quan sát hình lập phương, ta thấy
(do là hình vuông).
Khi đó:
Trong hình vuông đáy
góc giữa đường chéo và cạnh là
Ta có
và
Áp dụng công thức:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 14 [1063879]: Gọi 
là trung điểm cạnh 
Tính 
là trung điểm cạnh Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Ta phân tích 
bằng cách chèn các điểm 
để đi từ 
đến 
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Do
và 
(tính chất hình lập phương) nên hai tích vô hướng đầu tiên bằng 
Biểu thức chỉ còn lại:
Quan sát đáy
ta thấy vectơ 
cùng hướng với 
(vì 
thuộc 
và chiều từ 
đến 
cùng chiều 
đến 
).
Độ dài
Vậy
bằng cách chèn các điểm để đi từ đến
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Do
và (tính chất hình lập phương) nên hai tích vô hướng đầu tiên bằng
Biểu thức chỉ còn lại:
Quan sát đáy
ta thấy vectơ cùng hướng với (vì thuộc và chiều từ đến cùng chiều đến ).
Độ dài
Vậy
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 15 đến 16
Câu 15 [1063880]: Khi 
thì giá trị của 
bằng bao nhiêu?
thì giá trị của bằng bao nhiêu? A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng tính chất điểm chia đoạn thẳng 
để phân tích vectơ 
theo 
và 
2. Cách giải: Từ giả thiết
ta chèn điểm 
vào hai vế: 
Chuyển vế các hạng tử chứa
sang một bên: 
So sánh với đẳng thức đề bài
ta thấy hệ số của 
tương ứng là 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
để phân tích vectơ theo và
2. Cách giải: Từ giả thiết
ta chèn điểm vào hai vế:
Chuyển vế các hạng tử chứa
sang một bên:
So sánh với đẳng thức đề bài
ta thấy hệ số của tương ứng là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 16 [1063881]: Tích vô hướng 
bằng
bằng A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Phân tích vectơ 
theo hai vectơ cạnh 
và 
dựa trên hệ thức trung điểm mở rộng, sau đó sử dụng công thức tích vô hướng cho tứ diện đều (góc giữa các cạnh bằng 
2. Cách giải: Từ giả thiết
ta chèn điểm 
để phân tích: 
Biến đổi đẳng thức trên ta thu được:
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Vì
là tứ diện đều cạnh 
nên các mặt là tam giác đều, suy ra góc giữa các vectơ cạnh xuất phát từ một đỉnh đều bằng 
Ta có:
Tương tự:
Thay các giá trị này vào biểu thức
Chọn đáp án B. Đáp án: B
theo hai vectơ cạnh và dựa trên hệ thức trung điểm mở rộng, sau đó sử dụng công thức tích vô hướng cho tứ diện đều (góc giữa các cạnh bằng
2. Cách giải: Từ giả thiết
ta chèn điểm để phân tích:
Biến đổi đẳng thức trên ta thu được:
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Vì
là tứ diện đều cạnh nên các mặt là tam giác đều, suy ra góc giữa các vectơ cạnh xuất phát từ một đỉnh đều bằng
Ta có:
Tương tự:
Thay các giá trị này vào biểu thức
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 17 đến 18
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2.
Câu 17 [1063882]: Tính tích vô hướng 
A, 
B, 
C, 
D, 
Ta biến đổi biểu thức cần tính bằng cách nhân phân phối: 
Áp dụng tính chất vectơ đối
biểu thức trở thành: 
Vì
là tứ diện đều nên các mặt là tam giác đều, suy ra góc giữa hai vectơ 
và 
là 
Ta tính giá trị các thành phần:
Ta có
Thay vào biểu thức
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Áp dụng tính chất vectơ đối
biểu thức trở thành:
Vì
là tứ diện đều nên các mặt là tam giác đều, suy ra góc giữa hai vectơ và là
Ta tính giá trị các thành phần:
Ta có
Thay vào biểu thức
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 18 [1063883]: Gọi 
lần lượt là trung điểm của 
Tính 
lần lượt là trung điểm của Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Ta biểu diễn các vectơ cần tính theo hệ vectơ cơ sở xuất phát từ đỉnh 
Vì
là trung điểm 
nên 
Vì
là trung điểm 
nên 
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Khai triển biểu thức:
Do tứ diện đều cạnh bằng 2 nên độ dài các cạnh bằng 2 và góc xen giữa các vectơ chung đỉnh bằng
Ta có:
Các tích vô hướng
Thay các giá trị vào biểu thức
Vậy
Vì
là trung điểm nên
Vì
là trung điểm nên
Khi đó tích vô hướng cần tính là:
Khai triển biểu thức:
Do tứ diện đều cạnh bằng 2 nên độ dài các cạnh bằng 2 và góc xen giữa các vectơ chung đỉnh bằng
Ta có:
Các tích vô hướng
Thay các giá trị vào biểu thức
Vậy
Câu 19 [0]:
Câu 20 [380273]: Cho tứ diện 
có các cạnh 
đôi một vuông góc và 
Gọi 
là trung điểm của cạnh 
Tính góc của hai vectơ 
và 
có các cạnh đôi một vuông góc và Gọi là trung điểm của cạnh Tính góc của hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
Tam giác
vuông tại O nên 
Theo định lý Py-ta-go ta có:
Ta có:
Khi đó
Vậy
Đáp án: C
Câu 21 [865580]: Cho hình chóp 
có đáy 
là hình bình hành. Mặt bên 
là tam giác vuông cân tại 
và 
Tính tích vô hướng của hai vectơ 
và 
có đáy là hình bình hành. Mặt bên là tam giác vuông cân tại và Tính tích vô hướng của hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1.Phương pháp: Áp dụng công thức:
, trong đó 
là góc giữa hai vector.
2.Cách giải:
Ta có:
(Vì 
là hình bình hành).
Tìm
:
Xét
vuông cân tại S, ta có:
(
)
Tính tích vô hướng
:
Xét tam giác vuông cân
tại 
có: 
3. Kết luận: Tích vô hướng của hai vector
và 
là 
.
Chọn đáp án A. Đáp án: A
, trong đó là góc giữa hai vector.
2.Cách giải:
Ta có:
(Vì là hình bình hành).
Tìm
:
Xét
vuông cân tại S, ta có:
()
Tính tích vô hướng
:
Xét tam giác vuông cân
tại có:
3. Kết luận: Tích vô hướng của hai vector
và là .
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 22 [379535]: Cho tứ diện đều 
có các cạnh bằng 
là trung điểm của cạnh 
Tính 
có các cạnh bằng là trung điểm của cạnh Tính A, 
B, 
C, 
D, 
Chọn đáp án C.
Đáp án: C
Đáp án: C
Câu 23 [1041626]: Cho hai vectơ 
vuông góc với nhau và 
Tính giá trị của biểu thức 
vuông góc với nhau và Tính giá trị của biểu thức A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Khai triển biểu thức tích vô hướng và áp dụng tính chất: hai vectơ vuông góc thì tích vô hướng bằng 0 (
2. Cách giải: Ta khai triển biểu thức cần tính:
Rút gọn biểu thức (lưu ý tích vô hướng có tính giao hoán
): 
Vì hai vectơ
và 
vuông góc với nhau nên tích vô hướng 
Ta có bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài:
và 
Thay các giá trị vào biểu thức đã rút gọn:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
2. Cách giải: Ta khai triển biểu thức cần tính:
Rút gọn biểu thức (lưu ý tích vô hướng có tính giao hoán
): Vì hai vectơ
và vuông góc với nhau nên tích vô hướng Ta có bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài:
và Thay các giá trị vào biểu thức đã rút gọn:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 24 [1041627]: Cho hình chóp 
có 
và 
Tính góc giữa hai vectơ 
và 
có và Tính góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng công thức 
kết hợp phân tích vectơ để tính tích vô hướng.
2. Cách giải: Ta xét các mặt của hình chóp: Tam giác
đều (cạnh 
) nên 
Tam giác
có 
suy ra tam giác vuông tại 
do đó 
Tính tích vô hướng
Ta phân tích
Khi đó
Thay các giá trị vào:
Tính cosin góc giữa hai vectơ:
Vậy góc giữa hai vectơ
và 
là 
Chọn đáp án D. Đáp án: D
kết hợp phân tích vectơ để tính tích vô hướng.
2. Cách giải: Ta xét các mặt của hình chóp: Tam giác
đều (cạnh ) nên
Tam giác
có suy ra tam giác vuông tại do đó
Tính tích vô hướng
Ta phân tích
Khi đó
Thay các giá trị vào:
Tính cosin góc giữa hai vectơ:
Vậy góc giữa hai vectơ
và là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 25 [863813]: Cho hình chóp tứ giác đều 
có tất cả các cạnh đều bằng 
Gọi 
là giao điểm của 
và 
có tất cả các cạnh đều bằng Gọi là giao điểm của và 
Ý a) đúng:
.Ý b) sai:
.Ý c) đúng: Do
nên 
.Ý d) sai:
Câu 26 [863814]: Cho hình lăng trụ tam giác đều 
cạnh đáy bằng 
cạnh bên bằng 
Gọi 
là góc giữa hai vectơ 
và 
cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Gọi là góc giữa hai vectơ và 
Ta có:
.
Câu 27 [380268]: Cho tứ diện 
biết 
và 
Tính tích vô hướng 
biết và Tính tích vô hướng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Chọn D. Đáp án: D
Câu 28 [379540]: Cho tứ diện đều 
có các cạnh bằng 
Gọi 
lần lượt là trung điểm các cạnh 
và 
Tính tích vô hướng 
có các cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và Tính tích vô hướng A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có:
Chọn C. Đáp án: C
Câu 29 [239704]: Cho các vectơ 
có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 
. Tính 
.
có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện . Tính . A, 
.
.B, 
.
.C, 
.
.D, 
.
.
Đáp án: C
Câu 30 [380687]: [Trích SGK Cùng Khám Phá]: Cho tứ diện 
có 
và 
Tính góc giữa hai vectơ 
và 
có và Tính góc giữa hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
Ta có: 
, 
Suy ra
Đáp án: C
, Suy ra
Đáp án: C
Câu 31 [380274]: Cho hình lăng trụ tam giác đều 
có cạnh đáy bằng 
và chiều cao bằng 
Tính cosin góc tạo bởi hai vectơ 
và 
có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng Tính cosin góc tạo bởi hai vectơ và A, 
B, 
C, 
D, 
Mặt khác
Suy ra
Đáp án: A
Câu 32 [380275]: Cho hình lăng trụ tam giác đều 
có đáy là tam giác đều cạnh 
biết rằng 
tính độ dài cạnh bên của hình lăng trụ theo 
có đáy là tam giác đều cạnh biết rằng tính độ dài cạnh bên của hình lăng trụ theo A, 
B, 
C, 
D, 
Đáp án: B
Câu 33 [380280]: Cho tứ diện 
có 
Gọi 
là góc giữa hai vectơ 
và 
Chọn khẳng định đúng.
có Gọi là góc giữa hai vectơ và Chọn khẳng định đúng. A, 
B, 
C, 
D, 
Đặt
ta có: 
Suy ra
Đáp án: B Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 33 đến 34
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 2a, AD = 3a, AA' = 4a.
Câu 34 [1063884]: Độ dài của vectơ 
là
là A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Sử dụng quy tắc hình hộp để thu gọn tổng các vectơ về một vectơ đường chéo duy nhất, sau đó tính độ dài.
2. Cách giải:
Trong hình hộp chữ nhật
ta có 
(hai vectơ bằng nhau).
Biểu thức vectơ trở thành:
Áp dụng quy tắc hình hộp (tổng ba vectơ xuất phát từ cùng một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó), ta có:
Độ dài của vectơ
chính là độ dài đường chéo 
của hình hộp chữ nhật.
Vậy độ dài của vectơ
là 
Chọn đáp án A. Đáp án: A
2. Cách giải:
Trong hình hộp chữ nhật
ta có (hai vectơ bằng nhau).Biểu thức vectơ trở thành:
Áp dụng quy tắc hình hộp (tổng ba vectơ xuất phát từ cùng một đỉnh bằng vectơ đường chéo xuất phát từ đỉnh đó), ta có:
Độ dài của vectơ
chính là độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật.Vậy độ dài của vectơ
là Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 35 [1063885]: Gọi 
là trọng tâm tam giác 
Tính 
là trọng tâm tam giác Tính A, 
B, 
C, 
D, 
1. Phương pháp: Phân tích các vectơ 
và 
theo ba vectơ đôi một vuông góc là 
rồi thực hiện tích vô hướng.
2. Cách giải:
Ta có
là trọng tâm tam giác 
nên theo tính chất trọng tâm: 
Do hình hộp chữ nhật có các cạnh song song và bằng nhau, ta thay thế:
và 
Suy ra
Phân tích vectơ
theo quy tắc chèn điểm 
Phân tích vectơ
theo quy tắc hiệu: 
Xét tích vô hướng
Khi nhân phân phối, ta lưu ý rằng trong hình hộp chữ nhật, ba kích thước chiều dài, chiều rộng, chiều cao đôi một vuông góc
nên các tích vô hướng chéo nhau bằng 
Thay số liệu
vào biểu thức thu gọn: 
Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
và theo ba vectơ đôi một vuông góc là rồi thực hiện tích vô hướng.2. Cách giải:
Ta có
là trọng tâm tam giác nên theo tính chất trọng tâm: Do hình hộp chữ nhật có các cạnh song song và bằng nhau, ta thay thế:
và Suy ra
Phân tích vectơ
theo quy tắc chèn điểm Phân tích vectơ
theo quy tắc hiệu: Xét tích vô hướng
Khi nhân phân phối, ta lưu ý rằng trong hình hộp chữ nhật, ba kích thước chiều dài, chiều rộng, chiều cao đôi một vuông góc
nên các tích vô hướng chéo nhau bằng Thay số liệu
vào biểu thức thu gọn: Vậy
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 36 [1041628]: Cho hai vectơ 
và 
thỏa mãn 
và 
Giá trị của 
bằng bao nhiêu?
và thỏa mãn và Giá trị của bằng bao nhiêu?
1. Phương pháp: Bình phương hai vế của đẳng thức độ dài 
để xuất hiện tích vô hướng cần tìm.
2. Cách giải: Ta có giả thiết
Bình phương hai vế ta được: 
Khai triển bình phương vô hướng:
Áp dụng tính chất bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài (
ta thay các giá trị 
vào:
Vậy giá trị của
bằng 
Điền đáp án: -2.
để xuất hiện tích vô hướng cần tìm.
2. Cách giải: Ta có giả thiết
Bình phương hai vế ta được:
Khai triển bình phương vô hướng:
Áp dụng tính chất bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài (
ta thay các giá trị vào:
Vậy giá trị của
bằng
Điền đáp án: -2.
Câu 37 [1005567]: Điền số thích hợp vào chố trống.
Cho hai vectơ đơn vị
và 
có độ dài đều bằng 1 thỏa mãn 
Khi đó
__________.
Cho hai vectơ đơn vị
và có độ dài đều bằng 1 thỏa mãn Khi đó
__________. 
, 
.
Câu 38 [1041629]: Cho tứ diện đều 
có thể tích bằng 
Tính tích vô hướng 
có thể tích bằng Tính tích vô hướng
1. Phương pháp: Tính cạnh của tứ diện từ công thức thể tích 
sau đó tính tích vô hướng dựa trên độ dài cạnh và góc 
2. Cách giải:
Gọi
là độ dài cạnh của tứ diện đều. Ta có công thức thể tích: 
Theo giả thiết:
Biến đổi biểu thức tích vô hướng để đưa về chung gốc
Vì
là tam giác đều nên góc giữa 
và 
bằng 
Điền đáp án: -18.
sau đó tính tích vô hướng dựa trên độ dài cạnh và góc 2. Cách giải:
Gọi
là độ dài cạnh của tứ diện đều. Ta có công thức thể tích: Theo giả thiết:
Biến đổi biểu thức tích vô hướng để đưa về chung gốc
Vì
là tam giác đều nên góc giữa và bằng Điền đáp án: -18.
Câu 39 [379556]: Cho tứ diện đều 
có cạnh bằng 
Trên đoạn 
lấy điểm 
sao cho 
và trên đoạn 
lấy điểm 
sao cho 
Tính độ dài vectơ 
(làm tròn đến hàng phần mười).
có cạnh bằng Trên đoạn lấy điểm sao cho và trên đoạn lấy điểm sao cho Tính độ dài vectơ (làm tròn đến hàng phần mười). 
Đặt
thì 
và 
Ta có:
Câu 40 [379555]: Cho hình hộp 
có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh 
các góc 
Tính độ dài đường chéo 
có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh các góc Tính độ dài đường chéo
Đặt 
thì 
và 
Ta có:
thì và Ta có:
Câu 41 [379544]: Cho tứ diện đều 
có cạnh bằng 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
trong đó 
là một điểm bất kì trong không gian.
có cạnh bằng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó là một điểm bất kì trong không gian. 
Gọi
là điểm thoả mãn hệ thức 
cố định (do 
cố định).Ta có
Do đó
nhỏ nhất khi và chỉ khi 
Gọi
là trọng tâm của tam giác 
ta có 
Kết hợp với
Suy ra
là trung điểm 
Khi đó
