Quay lại
Đáp án
Câu 1 [1046222]: Trong không gian cho vectơ Toạ độ của là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Xác định toạ độ dựa vào hệ số của (theo đúng thứ tự ) rồi nhân với hệ số
2. Cách giải: Ta viết lại vectơ theo đúng thứ tự các vectơ đơn vị:
Suy ra toạ độ
Toạ độ vectơ là:
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 2 [1046223]: Trong không gian cho hai vectơ và Toạ độ của vectơ là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Nhân vectơ với số 2, sau đó lấy toạ độ của trừ đi toạ độ tương ứng của
2. Cách giải: Ta tính toạ độ vectơ
Thực hiện phép trừ:
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 3 [1046227]: Trong không gian cho điểm Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Khi chiếu vuông góc một điểm lên trục tọa độ nào thì giữ nguyên thành phần tọa độ tương ứng với trục đó, các thành phần còn lại cho bằng
2. Cách giải: Điểm chiếu lên trục thì giữ nguyên hoành độ còn tung độ và cao độ đều bằng
Vậy tọa độ hình chiếu là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 4 [380488]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm Điểm đối xứng với qua trục có toạ độ là
A,
B,
C,
D,
Hình chiếu vuông góc của trên trục là điểm
Điểm là trung điểm của với là điểm đối xứng của qua trục
Khi đó Chọn D. Đáp án: D
Câu 5 [280802]: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng có tọa độ là
A, .
B, .
C, .
D, .
Chọn A
Tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng là
Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng có tọa độ là Đáp án: A
Câu 6 [1046228]: Trong không gian khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ bằng trị tuyệt đối của tung độ
2. Cách giải: Điểm có tung độ
Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 7 [1046224]: Trong không gian cho các điểm Biết rằng Giá trị của là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tính tọa độ hai vectơ sau đó áp dụng công thức tích vô hướng để thiết lập phương trình tìm
2. Cách giải: Ta tính tọa độ các vectơ:


Tính tích vô hướng:
Theo giả thiết ta có phương trình:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 8 [1046226]: Trong không gian côsin của góc giữa hai vectơ và là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:
2. Cách giải: Ta tính tích vô hướng:
Ta tính độ dài các vectơ: và
Thay các giá trị vào công thức:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 9 đến 11
Câu 9 [1064071]: Khi góc giữa hai vectơ và là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tính tọa độ hai vectơ thành phần và sau đó sử dụng công thức
2. Cách giải: Với ta có
Tính tọa độ các vectơ thành phần:

Tính tích vô hướng:
Tính độ dài các vectơ:

Cosin góc giữa hai vectơ là:
Vậy góc giữa hai vectơ là (xấp xỉ
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 10 [1064072]: Tích các giá trị của tham số để độ dài vectơ bằng là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tính toạ độ vectơ tổng hợp áp dụng công thức độ dài để giải phương trình tìm
2. Cách giải: Ta có tọa độ vectơ
Tọa độ vectơ hiệu là
Theo giả thiết độ dài bằng ta bình phương hai vế:
Phương trình tương đương:
Khai căn ta được hai trường hợp: hoặc
Vậy tích các giá trị của tham số là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 11 [1064073]: Gọi là tập hợp các giá trị để hai vectơ và tạo với nhau một góc Tổng số phần tử của là bao nhiêu?
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ để thiết lập phương trình tìm
2. Cách giải: Ta có tích vô hướng
Độ dài các vectơ là và
Theo giả thiết góc bằng ta có phương trình:
Điều kiện để phương trình có nghiệm (vế trái dương) là
Bình phương hai vế:
Thu gọn ta được phương trình bậc hai:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt là và
Tổng các giá trị của là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 12 [1046225]: Trong không gian cho hai điểm Tìm toạ độ điểm sao cho ba điểm thẳng hàng.
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Điểm thuộc mặt phẳng có cao độ bằng 0. Ba điểm thẳng hàng khi hai vectơ tạo bởi chúng cùng phương (tỉ lệ toạ độ tương ứng bằng nhau).
2. Cách giải: Vì nên
Ta có và
Để thẳng hàng thì cùng phương với suy ra tỉ lệ:
Từ đó ta có hệ:
Vậy tọa độ điểm cần tìm là
Chọn đáp án B. Đáp án: B
Câu 13 [358969]: Trong không gian với hệ toạ độ cho và Góc giữa hai vectơ và bằng:
A,
B,
C,
D,
Ta có
Suy ra Chọn A. Đáp án: A
Câu 14 [1044959]: Trong không gian cho điểm Tìm toạ độ điểm nằm trên trục sao cho
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tham số hóa điểm thuộc trục sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuông góc thì tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0.
2. Cách giải: Vì điểm nằm trên trục nên toạ độ của có dạng
Ta tính toạ độ các vectơ: và
Để (tức là tam giác vuông tại ) thì
Tương đương với:
Vậy toạ độ điểm cần tìm là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 15 [1044960]: Trong không gian cho hai điểm và Tìm toạ độ điểm đối xứng với qua
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Vì đối xứng với qua nên là trung điểm của đoạn thẳng ta sử dụng công thức toạ độ trung điểm suy rộng: (tương tự cho và
2. Cách giải: Áp dụng công thức với toạ độ và
Hoành độ:
Tung độ:
Cao độ:
Vậy toạ độ điểm cần tìm là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Câu 16 [1044961]: Trong không gian cho tam giác có và trọng tâm là Toạ độ của đỉnh là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác suy rộng để tìm đỉnh còn thiếu: (tương tự với và
2. Cách giải: Áp dụng công thức với các giá trị đã cho:
Hoành độ:
Tung độ:
Cao độ:
Vậy tọa độ đỉnh là
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 17 [1044963]: Trong không gian cho ba điểm và
a) Ta tính tọa độ các vectơ:

Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Tọa độ trọng tâm của tam giác được tính bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:



Vậy
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta tính độ dài các cạnh:



Ta thấy nên tam giác cân tại chứ không phải tam giác đều.
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có
Tích vô hướng
Vậy
Suy ra
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 18 [1046229]: Trong không gian cho ba điểm
a) Tọa độ trọng tâm của tam giác là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:
Vậy
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Để tứ giác là hình bình hành thì
Ta có
Gọi ta có
Suy ra:
Vậy
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Ta có
Vectơ
Theo giả thiết
Khi đó
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Điểm thuộc trục nên có tọa độ suy ra
Ta có và
Để thì tích vô hướng
Giá trị biểu thức:
Suy ra mệnh đề d) sai.
Câu 19 [1046230]: Trong không gian cho tam giác với và
a) Ta có tọa độ vectơ
Suy ra mệnh đề a) đúng.
b) Ta có
Côsin góc được tính bằng công thức:
Vậy góc
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Diện tích tam giác là
Suy ra mệnh đề c) đúng.
d) Gọi là chân đường phân giác trong góc Theo tính chất đường phân giác ta có:
Áp dụng công thức chia đoạn thẳng:

Vậy tọa độ điểm là
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Câu 20 [1044964]: Trong không gian cho hình vuông có
a) Tâm của hình vuông là trung điểm của đoạn
Tọa độ
Tung độ như trong mệnh đề.
Suy ra mệnh đề a) sai.
b) Theo quy tắc hình bình hành, tổng hai vectơ cạnh bên bằng vectơ đường chéo xuất phát từ cùng một đỉnh:
Ta có
Vậy
Giá trị biểu thức:
Suy ra mệnh đề b) đúng.
c) Độ dài đường chéo hình vuông là
Diện tích hình vuông
Suy ra mệnh đề c) sai.
d) Ta có hình vuông tâm bán kính
Vectơ là vectơ đường chéo nên
Vectơ
Suy ra
Do hai đường chéo vuông góc nên
Độ dài vectơ tổng là:
Suy ra mệnh đề d) đúng.
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 21 đến 22
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2; - 1), B(2;1;1), C(0;1;2).
Câu 21 [1064074]: Gọi là điểm thuộc mặt phẳng và cách đều ba điểm Tổng bằng
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Điểm thuộc mặt phẳng có tung độ bằng Thiết lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn từ điều kiện cách đều và để tìm toạ độ.
2. Cách giải: Vì nên Điểm có toạ độ
Từ điều kiện , ta có:
Rút gọn: (1).
Từ điều kiện , ta có:
Rút gọn: (2).
Thay (1) vào (2) ta được:
Suy ra
Vậy
Giá trị biểu thức cần tìm là
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 22 [1064075]: Gọi là trực tâm của tam giác Tổng bằng
A,
B,
C,
D,
Ta tính toạ độ các vectơ xuất phát từ đỉnh : và
Xét tích vô hướng:
Vì tích vô hướng bằng 0 nên , suy ra tam giác vuông tại
Trong tam giác vuông, trực tâm trùng với đỉnh góc vuông. Do đó
Suy ra Tổng cần tìm là
Chọn đáp án D. Đáp án: D
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 23 đến 24
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3), B(3;2;1), C(2; - 1;2).
Câu 23 [1064076]: Hoành độ điểm trên trục để vuông góc với là
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Tham số hóa điểm thuộc trục , sau đó giải phương trình tích vô hướng
2. Cách giải: Vì điểm nằm trên trục nên
Ta tính tọa độ các vectơ: và
Để thì tích vô hướng
Ta có phương trình:
Chọn đáp án A. Đáp án: A
Câu 24 [1064077]: Tính tổng tung độ các điểm thuộc mặt phẳng sao cho tam giác vuông cân tại
A,
B,
C,
D,
1. Phương pháp: Điểm có hoành độ bằng 0. Sử dụng hai điều kiện của tam giác vuông cân tại là (tích vô hướng bằng 0) và (bình phương độ dài bằng nhau).
2. Cách giải: Ta có .
Gọi , suy ra .
Điều kiện vuông tại : .
Điều kiện cân tại : .
Thu gọn phương trình: .
Khai triển ra . Theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm của phương trình là .
Chọn đáp án C. Đáp án: C
Câu 25 [1044966]: Trong không gian cho hai vectơ Vectơ là vectơ vuông góc đồng thời với hai vectơ và Giá trị của bằng bao nhiêu?
1. Phương pháp: Sử dụng điều kiện tích vô hướng bằng 0: và để thiết lập hệ phương trình tìm
2. Cách giải: Ta thiết lập hệ phương trình dựa trên tích vô hướng:
Cộng vế theo vế hai phương trình ta được Thay vào phương trình thứ hai ta được
Giá trị của biểu thức là
Điền đáp án: -126.
Câu 26 [1044967]: ong không gian cho các vectơ và Biết rằng Tính
1. Phương pháp: Lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn bằng cách đồng nhất các thành phần toạ độ (hoành độ, tung độ, cao độ) ở hai vế của đẳng thức vectơ .
2. Cách giải: Từ đẳng thức vectơ đã cho, ta thiết lập hệ phương trình tương ứng với các toạ độ
Giải hệ phương trình trên (bằng phương pháp thế hoặc máy tính cầm tay), ta thu được nghiệm: , , .
Thay các giá trị vừa tìm được vào biểu thức cần tính: .
Điền đáp án: 0,25.
Câu 27 [1044968]: Trong không gian cho ba điểm Khi thẳng hàng thì giá trị biểu thức bằng bao nhiêu?
1. Phương pháp: Ba điểm thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương (tức là tỉ lệ các thành phần toạ độ tương ứng của chúng bằng nhau).
2. Cách giải: Ta tính toạ độ các vectơ: và
Lập tỉ lệ toạ độ:
Giải tìm :
Giải tìm :
Vậy giá trị biểu thức là
Điền đáp số: -8.
Câu 28 [383111]: Trong không gian , cho tam giác có Trong tam giác gọi là chân đường phân giác trong góc Giá trị của bằng __________.
Điền đáp án: 5.
11280495.png
Ta có
Khi đó
Vậy
Câu 29 [216405]: Trong không gian tọa độ cho điểm Đường thẳng đi qua điểm cắt tia tại và cắt mặt phẳng tại sao cho Độ dài đoạn thẳng bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Điền đáp án: 6,18.
là giao điểm của và là giao điểm của và
Ta có
.
TH1:
.
TH2:


Khi đó và
Câu 30 [1044970]: Trong hệ trục tọa độ cho tam giác vuông tại có thuộc tia thuộc tia và trọng tâm tam giác thuộc tia Tính tỉ số
Gọi và với Vì trọng tâm thuộc trục nên hoành độ và tung độ của đều bằng
Theo công thức trọng tâm: và Vậy
Ta có các vectơ: và
Tam giác vuông tại nên
Suy ra (do cùng dấu dương trên tia hoặc xét độ dài đại số). Khi đó
Vậy tỉ số
Điền đáp số: 0,71.